對應，植樹問題的靈魂

張秀清

一、初步感知規律

聽寫：圓、三角形、圓、三角形、圓、三角形。

師：這里有幾個圓、幾個三角形?圓與三角形的個數怎么樣?接下去會畫嗎?(學生接著畫)

師：怎么不畫了?能畫完嗎?怎么辦?

生：用“……”表示。

師：誰來解釋一下“……”的意思?

生1：“……”表示有很多很多，畫不完。

師：圓有多少個？三角形有多少個?

生：圓有無數個，三角形有無數個。

師：圓和三角形哪個多?

生：一樣多。

師：為什么?

生2：都是無數個，所以一樣多。

生3：圓和三角形是一組，所以圓和三角形一樣多。

師：誰上來一組一組地畫出來?(生畫略)

師：圓和三角形是對應的，圓和三角形的排列是有規律的，有什么規律?

(引導學生觀察兩個圓中間一個三角形、兩個三角形中間一個圓，發現圓和三角形是一一對應、間隔排列的，所以圓與三角形一樣多)

師：我接著再畫一個圓，圓和三角形的個數有什么關系?

生：原來一樣多，現在圓比三角形多了一個。

師：用“對應”二字會說嗎?

生4：圓和三角形原來是對應的，現在多了一個。

……

學生理解了間隔排列、一一對應后，再添加一個圓，在這種排列下，添加的圓沒有對應的三角形，讓學生感受到兩端物體相同時兩種物體之間的數量關系。植樹問題中，如果兩端都種樹，樹和間隔的對應關系就是上面三角形與圓的對應關系。

二、加深認識規律

出示例題(兔子與蘑菇、木樁與網、手帕與夾子圖)

師：圖中有哪些物體是間隔排列的?兔子與蘑菇有什么關系?(引導學生用“對應”二字說一說)

……

師：用圓代替柱子，用三角形代替網。

多媒體演示把三幅圖合并成一幅圖，如下：

○△○△○△……○△○△○

師：看到這幅圖，你想到什么?

生1：圓和三角形是一一對應的，圓的個數比三角形多一個。

多媒體演示把最后的圓去掉，變為下圖：

○△○△○△……○△○△

師：現在呢?

生2：圓和三角形是一一對應的，圓的個數和三角形一樣多。

師：生活中有沒有這樣間隔排列的問題？

(學生舉例，如會場坐椅的扶手、電燈等等)

師：馬路邊有25根電線桿，每兩根電線桿之間有一個廣告牌，一共有多少個廣告牌?(生答略)

師：教室里男女同學的座位也有間隔排列的情況。每兩個男生之間插一個女生，插了幾個女生?(3個)

多媒體出示○●○●○●○，然后變成了弧形，如右圖。

師：現在男生幾個?(4個)女生幾個?(3個)

多媒體把弧形變成圓形，如右圖。

師：現在幾個男生?(4個)幾個女生?(3個)

最后多媒體動態顯示在兩個男生之間插入一個女生，如右圖。(男生和女生同樣多了)

這由“開”到“合”的過程，設計得實在太妙了!賁老師利用圖形的變形，輕而易舉地解決了物體“開”“合”不同排列之間的聯系與區別。

感悟：

從以上教學過程中，筆者深深體會到我們的學生做“植樹問題”為什么會出現那么多的錯。

原因一：對“間隔”的含義理解不深刻。人教版教材沒有“間隔排列”這樣一節教學內容。二、三年級的“找規律”主要讓學生感受排列組合的數學思想和有序思考的學習方法，到四年級教學“植樹問題”時才出現“間隔”一詞。一般教師對“間隔”一詞的含義，教學時間花的較少，學生對“間隔”的理解也僅僅停留在“兩點之間的一段距離”的認識上。蘇教版教材專門安排了“間隔排列”的教學內容，使學生在大量感性認識的基礎上，能更深層次地理解“間隔”的本質。賁友林老師精彩的教學設計，更是把“間隔排列”和“植樹問題”有機地結合了起來。

原因二：我們以往總是把“植樹問題”分成三類教學，通過一些實際例子讓學生找到規律：兩端都種樹，棵數=間隔數+1；兩端都不種，棵數=間隔數-1；一端種一端不種或封閉的時候，棵數=間隔數。這樣教學，實際上是人為地把知識之間的內在聯系割裂了，不但加重了學生記憶的負擔，而且還容易混淆。

賁友林老師用對應的數學思想統領整節課，緊緊抓住間隔問題的本質就是對應問題進行教學。植樹問題的三種情況實質上就是間隔排列的不同情況，因此植樹問題的本質也是對應問題。當樹和間隔一一對應，這時棵數與間隔數一樣多；當樹和間隔一一對應，最后還多出了一棵樹，這時棵數就比間隔數多一；當間隔和樹一一對應，最后樹沒有了，而間隔還有一個，這時樹比間隔少一。封閉圖形中的植樹問題也是對應問題，此時棵數和間隔數正好一一對應。至于對應時“一對多”的情況，筆者認為，只要“一對一”理解透徹了，“一對多”只是舉一反三的事情，不難理解。

總之，用對應思想統領植樹問題，在整個教學過程中貫穿始終，就不必再分類型記規律，植樹問題就不再那么難解決了。