快速計算一維分層粗糙面之間金屬目標復合散射的互耦迭代算法

姬偉杰 童創明②

①(空軍工程大學導彈學院 三原 713800)

②(毫米波國家重點實驗室 南京 210096)

1 引言

粗糙面和目標的復合散射在雷達探測、目標識別和遠程遙感等領域有著重要的應用。近年來，計算粗糙面和目標的混合場的數值解法引起了諸多學者的興趣。例如：Johnson[1]曾用“四路徑”模型計算無限大介質平板上介質目標的散射，文獻[2]利用GFBM/SAA研究低掠角入射時動態分形粗糙面和2維艦船目標的雙站散射模擬， 文獻[3,4]利用互耦迭代方法計算了金屬粗糙面與上方目標的差場散射，文獻[5]等用矩量法計算了粗糙面與上方或下方目標的復合散射，文獻[6]等基于互易定理和矩量法研究了平面上方2維介質目標對高斯波束的電磁散射，文獻[7]等研究了粗糙海面上方金屬目標復合散射的解析-數值混合算法。

在實際自然界中，分層媒質粗糙面更具有實際意義，比如覆蓋植被或雪的地面?？赡苡捎谟嬎懔窟^于龐大，大多數學者都研究單層粗糙面和目標的復合散射，只有少數學者研究了更具有實際意義的分層粗糙面和目標復合散射。例如：文獻[8]研究了雙層隨機粗糙面和地下目標的復合散射。文獻[9]研究了分界面是平面的分層媒質上方目標的散射。文獻[10]用FDTD研究了雙層粗糙面上方金屬目標的散射，文獻[11]中用EBCM計算了分層粗糙面和下方目標的復合散射，但是該算法只限于計算微粗糙面和小目標的復合散射(例如半徑為0.16λ的圓柱)，不能計算中等程度粗糙面與較大目標的復合散射。

由于不受粗糙面參數和目標尺寸的限制，因此，數值算法的研究顯得更有意義。以前的研究都將目標和分層粗糙面一起看成一個組合散射體，電磁積分方程離散后產生了巨大的未知量，需要龐大的計算量和存儲量，對計算機硬件和程序員編程技巧提出了很高的要求，這在很大程度上限制了數值算法的應用。

在分層粗糙面與目標的復合散射計算中，粗糙面的未知量占絕大多數，而目標的未知量只占一小部分。因此如何有效計算粗糙面的電磁散射是一個很重要的問題。近年來發展的前后向迭代法(FBM)[12]對粗糙面這類散射問題有很好的收斂性，在文獻[13]中，Moss C D等人進一步將其與譜加速(SAA)結合并應用于計算分層粗糙面的電磁散射特性。本文結合FBM和Bi-CG，基于物理散射機理，提出一種計算雙層介質粗糙面及下方金屬目標復合電磁散射的快速互耦迭代數值算法(CCIA)。建立了目標與分層粗糙面的耦合積分方程，將其分解為含有兩個方程的方程組，對分層粗糙面的散射方程用FBM求解，目標的散射方程用雙共軛梯度法(Bi-CG)[14]求解，粗糙面與目標的耦合作用通過更新兩方程的激勵項來實現，每次迭代過程中，粗糙面的激勵項中不僅有錐形入射波還有目標對其的散射波；同樣，目標的激勵項中也包括上層粗糙面的透射波和下層粗糙面的反射波。由于FBM和Bi-CG的計算量均為O(N2)，因此該算法的計算量為O(N2)，而傳統的矩量法(如高斯消元法)的計算量為O(N3)，因此計算效率大大提高。經過計算，該算法具有良好的收斂性，當目標趨于無窮小時復合散射系數與只有分層粗糙面時的散射系數相吻合，驗證了算法的有效性。最后，討論了目標尺寸與深度變化對復合散射系數的影響。

2 基本理論

2.1 電場積分方程(EFIE)

設無限長金屬圓柱目標位于雙層粗糙面中間，如圖1所示。ψin為入射場，ψl為區域l中的場(l=0,1,2)。當入射波為TE和TM波時，ψ分別表示電場和磁場(本文只考慮TE波入射)，在各區域中應用格林定理：

n表示分界面表面法向向量。邊界條件為

2.2 耦合積分方程組

設粗糙面長度為L，離散密度Δx，離散總數為N，粗糙面Sl的高度用fl(xn)來表示。目標表面用Δx0均勻離散，離散總數為M，目標表面用z0(xn)表示。結合邊界條件，式(1)-式(3)整理為

整理式(4)便可得到分層粗糙面與下方金屬目標耦合矩陣方程組：

其中式(5a)是求解分層粗糙面表面電流的方程，而式(5b)則是求解目標表面電流的方程。該方程組表明粗糙面不僅受到初始入射波的影響，同時還要受到目標對其散射的影響，目標則只受到分層粗糙面對其散射的影響。=Cl?U，表示目標對第l個0分界面的散射。ψSur=E(l)?Ul+F(l)?ψl，表示上層分界面的透射波與下層分界面反射波之和。

2.3 用CCIA求解耦合積分方程組

式(5)若直接用傳統矩量法求解則計算量為O(N3)，需要耗費大量的時間。這里介紹一種新的迭代算法來快速求解該方程組，其中第i步的迭代方程如下：

其中Z0和Z1分別為分層粗糙面與目標的阻抗矩陣，V0(i)表示第i次迭代過程中粗糙面的總入射波，包括錐形入射波和目標對粗糙面的散射波。V1(i)表示第i次迭代過程中目標總的入射波，包括上層粗糙面的透射波與下層粗糙面的反射波。

對式(6a)，采用FBM求解，將各子矩陣分解為上、下和對角矩陣，分別用U、D和L表示。例如，對上標為(l, l, l)的子矩陣有

將未知向量分解為前后向分量，Ul=+，ψl=+，這里，和是前向分量，和是后向分量。于是，式(6a)中前向電流迭代公式寫為

類似地可得到后向電流的迭代公式。由迭代求解，第i次迭代的未知量為迭代算法以=0，=0，=0，=0為初始值，迭代至指定收斂精度。

用Bi-CG解式(6b)，FBM和Bi-CG求解均為循環迭代過程，稱為內循環，設其各自的收斂精度為γ=10?4。而式(6a)和式(6b)的互耦迭代過程稱為外循環。由于FBM的計算量為O()(NSur為粗糙面的未知量個數)，Bi-CG的計算量為O()(NTar為目標的未知量個數)，外循環迭代一次計算量為O()(N為總的未知量個數)，因此該算法總Total的計算量為O()，較之傳統矩量法O()計算效率大為提高。

定義第n步外循環迭代誤差為

其中Ztotal和Itotal分別表示分層粗糙面與目標總的阻抗矩陣和表面電流向量。從Itotal(n)=0開始迭代計算，此時粗糙面的入射波只有錐形波。計算得到粗糙面的表面電流分布，代入式(6b)右端激勵項計算目標的總激勵，此時目標的入射波包括上層粗糙面的透射波和下層粗糙面對反射波。計算得到目標的表面電流再代入式(6a)右端更新粗糙面的激勵，如此反復迭代直至達到指定收斂精度。

2.4 錐形入射波和雙站散射系數

為減小人為截斷引起的誤差，采用Thorsos錐形波，表達式為[15]

其中θi為入射角(相對于z軸逆時針方向)，k表示上半空間的波數，g是波束寬度。

定義雙站散射系數[5]為

其中θ為散射角，ψs(θo, θi)為散射場。

3 數值計算和討論

本文中所有分界面均采用高斯粗糙面，長度為L，相關長度為li(i=1,2)，均方根高度為hi(i=1,2)，i=1,2分別表示上層和下層分界面，計算過程中應避免上層分界面與下層分界面相重疊，金屬目標位于兩層粗糙面之間。媒質的相對介電常數為εr1，εr2，上層介質厚度為d。求解時采用脈沖基函數離散粗糙面表面電流分布，剖分單元為Δx=λ/10，圓柱半徑為R，深度dp為目標與上層粗糙面的距離，xp為目標中心的水平位置，剖分單元總數為120。如無特殊說明，文中參數的設置如下：εr1=4.0+0.01i ，εr2=7.0，d=6.0λ，R=1.0λ，dp=2.0λ，xp=0.0λ，θi=30o，g=L/4 ，L=40λ，h1=h2=0.1λ，l1=l2=1.0λ，文中所有結果均是對50個樣本取均值得到的。所用計算機配置為：主頻：1.65 GHz ，內存：1 GB。

算法有效性的驗證。令目標尺寸趨于零，比較此時的散射系數與由矩量法得到的相同介質參數、粗糙度參數對應的分層粗糙面(粗糙面之間無目標)電磁散射系數的差異即可驗證該算法的有效性。圖2所示為圓柱目標半徑退化10?4λ時的散射系數與只有粗糙面時的散射系數相比較。 由圖可知，目標尺寸趨于零時的散射系數與無目標時的結果吻合得很好，驗證了算法的有效性。

算法的計算精度與收斂性。其它參數不變，令上下層分界面均方根高度分別取0.1 λ，0.3 λ，0.5 λ。圖3 給出了外循環迭代誤差τ隨迭代步數的變化關系。圖中還給出了當目標邊長為a=1.0λ的無限長立方柱，上下層分界面均方根高度為0.1 λ時的情況。 由圖可知，對不同粗糙度的粗糙面，經過15步迭代，外循環收斂精度都能達到10?5以下，遠遠滿足計算精度要求。經過驗證，通常收斂精度為τ=10?2即可滿足精度要求，因此經過4步迭代即可終止，并且不論是圓柱目標還是立方柱目標該算法都具有良好的收斂性，同時由圖可知，由于立方柱周長小于圓柱周長，對于相同參數的粗糙面，目標為方柱時的收斂性較好。

圖4 給出了內循環FBM的迭代次數隨外循環迭代步數的關系，由圖可知，經過4步外循環之后，FBM只需迭代1次即可收斂，具有很好的收斂速度。由于計算分層粗糙面與目標復合電磁散射過程中，計算分層粗糙面表面電流占用了大量時間，因此FBM迭代次數的減少大大節省了時間，提高了計算效率。值得指出的是，當目標為圓柱，h1=h2=0.1λ，收斂精度取τ=10?2時，用互耦迭代算法實現一次需要240 s，而用傳統高斯消元法需要485 s，節省了約一半時間，實現50次可節省3個多小時，較傳統矩量法計算速度大為提高。

圖5給出了分層粗糙面中間存在無限長金屬圓柱和立方柱時的散射系數，其中立方柱邊長為a=1.0λ，圓柱半徑為1.0 λ。圖中還給出了只有分層粗糙面時的散射系數，由圖可知，當粗糙面中間存在目標時，后向散射方向散射系數明顯增大，而前向散射方向散射系數有所減小，并且當目標為圓柱時變化更為明顯，這是因為圓柱目標的周長比立方柱稍大(2πR＞4a)，所以圓柱與分層粗糙面的作用更加明顯。因此，當分層粗糙面中間存在目標時，由于目標與粗糙面之間的相互耦合作用，散射系數明顯發生改變，當計算目標與環境的相關問題時，必須考慮兩者之間的相互作用。

圖2 算法驗證

圖3 τ隨迭代步數的變化關系

圖4 內循環迭代次數

討論圓柱目標大小對散射系數的影響。令其他參數不變，目標半徑取0.5 λ，1.0 λ，1.5 λ，收斂精度取τ=10?2。雙站散射系數見圖6，由圖可知，隨著圓柱目標半徑的增大，目標與分層粗糙面的相互作用增強，復合散射系數增大，尤其在鏡面反射方向附近以外的很大范圍內這一結論表現的尤為明顯?？梢妶A柱目標的半徑大小對復合雙站散射系數有明顯影響，同時也驗證了該算法對不同尺寸目標均具有良好的收斂性。

圖7給出了當R=1.0λ時，由文獻[4]中方法計算的單層粗糙面下方金屬圓柱目標復合散射系數與分層粗糙面之間金屬圓柱目標復合散射系數的對比結果。由圖可知，與單層粗糙面相比較，由于存在下層粗糙面與上層粗糙面的相互作用，以及下層粗糙面與目標的相互作用，使得復合散射系數增大，尤其在鏡面反射方向附近范圍內變化更為明顯。

圖5 有無目標時分層粗糙面的散射系數

圖6 不同尺寸目標對應的散射系數

圖7 與單層粗糙面結果對比

討論目標位置對散射系數的影響。其余參數不變，目標深度取1.5 λ，2.0 λ和2.5 λ收斂精度取τ=10?2。相應的散射系數如圖8所示，圖中還給出了目標深度取1.5λ，2.0λ時單層粗糙面下方金屬圓柱目標的散射結果。由圖可知，當目標深度增大時，分層粗糙面與下方目標的復合散射系數變化不明顯，而單層面與下方目標的散射系數明顯減小。這是由于對于雙層粗糙面，當目標深度增加時，目標與上層粗糙面的距離增大，相互作用減小，但與下層粗糙面的卻又距離減小，相互作用增大，因此目標與分層粗糙面的相互作用變化不是特別明顯。

4 結論

圖8 不同目標深度對應的散射系數

用基于FBM和Bi-CG的互耦迭代算法(CCIA)快速獲取了1維分層媒質粗糙面之間無限長金屬圓柱目標和無限長立方柱目標的復合電磁散射特性，并對計算結果進行了驗證，討論了算法的收斂性，當目標周長較小時，算法具有更好的收斂速度。計算了不同目標尺寸對應的復合散射系數，結果表明，隨著目標尺寸的增大，分層粗糙面與目標的相互耦合作用增強，散射系數增大，反之則減小。將計算結果與單層粗糙面下方金屬目標結果相比較。結果表明，由于下層粗糙面與上層粗糙面以及目標的相互作用，散射系數明顯增大。同時，討論了目標深度變化對復合散射系數的影響，結果表明，當目標深度變化時，分層粗糙面與下方目標的復合散射系數變化不明顯。

[1] Johnson J T. A study of the four-path model for scattering form an object above a halfspace[J]. Microwave Optical Technology Letters, 2001, 30(2): 130-134.

[2] Jin Y Q and Li Z. Simulation of scattering form complex rough surface at low grazing angle GFBM/SAA method [J].IEEE Transactions on Fundamentals and Materials Society(A), 2001, 121(10): 917-921.

[3] Ye Hong-xia and Jin Ya-qiu. Fast iterative approach to difference scattering from the target above a rough surface[J].IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2006,44(1): 108-115.

[4] Ye Hong-xia and Jin Ya-qiu. A hybrid analytical-numerical algorithm for scattering froma3-D target above a randomly rough surface[J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(2): 839-846.

[5] Wang X, Wang C F, and Gan Y B. Electromagnetic scattering from a circular target above or below rough surface[J]. Progress in Electromagnetics Research, 2003, 40:207-227.

[6] Wang Yun-hua, Zhang Yan-min, and Guo Li-xin.Investigation of the scattered field form a two-dimensional dielectric target above the planar surface with a Guass beam incidence[J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(9): 5529-5535.

[7] Wang Rui, Guo Li-xin, Qin San-tuan, and Wu Zhen-sen.Hybrid method for investigation of electromagnetic scattering interaction between the conducting target and rough sea surface[J]. Acta Physica Sinica. 2008, 57(6):3473-3480.

[8] Magda El-Shenawee. Polarimetric scattering from twolayered two dimensional random rough surfaces with and without buried objects[J]. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2004, 42(1): 67-76.

[9] Chew W C, Jin J M, Michielssen E, and Song J M. Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics[M].Norwood: Artech House Publishers, 2001: 40-65.

[10] Li J, Guo L X, and Zeng H. FDTD Investigation on Electromagnetic Scattering form the PEC Cylinder above Two_Layered Rough Surfaces[C]. ICMMT, Nanjing 2008:531-534.

[11] Kuo Chih-hao and Moghaddam M. Electromagnetic scattering from a buried cylinder in layered media with rough interfaces[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2006, 54(8): 2392-2401.

[12] Holliday D, DeRaad L L, and StCyrGJ. Forward backward:a new method for computing low-grazing angle scattering[J] .IEEE Transactions on Antennas Propagation, 1996, 44(5):722-729.

[13] Moss C D, Grzegorczyk T M, Han H C, and Kong J A.Forward-backward method with spectral acceleration for scattering from layered rough surfaces[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2006, 54(3): 1006-1016.

[14] Lin J H and Chew W C. BiCG-FFT T-Matrix method for solving for the scattering solution from inhomogeneous bodies[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1996, 44(7): 1150-1155.

[15] Thorsos A. The validity of the Kirchhoff approximation for toygh surface scattering using a Guassian roughness spectrum[J]. Journal of the Acoustical Society of America,1988, 83(1): 78-92.