一維帶限Weierstrass分形粗糙面電磁散射的微擾法研究

孫 樂，任新成，田 煒，牛文軍

（延安大學物理與電子信息學院，陜西延安716000）

一維帶限Weierstrass分形粗糙面電磁散射的微擾法研究

孫 樂，任新成*，田 煒，牛文軍

（延安大學物理與電子信息學院，陜西延安716000）

運用微擾法研究了平面波入射粗糙面的電磁散射問題。采用一維Weierstrass分形粗糙面模擬實際的粗糙面，結合其功率譜密度導出了散射系數計算公式；通過數值計算得到HH極化狀態下散射系數的角分布曲線，討論了分維、標度區間、空間基頻、粗糙面高度起伏均方根以及入射波頻率的變化對散射系數的影響；得到了平面波入射一維帶限Weierstrass分形粗糙面散射系數的分形特征、基本特征、分區特征和隨頻率變化的特征。

電磁散射；一維帶限Weierstrass分形粗糙面；微擾法；散射系數

粗糙面電磁散射是一個有著大量實際應用且為多學科領域共同研究的熱門課題，從原子物理、醫學成像、地球科學到遙感等都有粗糙面電磁散射的應用［1－7］。當兩種均勻介質的交界面不規則時，只有交界面上散射單元的大小較入射波長小得多或者大得多的時候，才可以運用Kirchhoff近似（KA）［8］、微擾法（SPM）［9］和雙尺度理論（TS）［10］等得出近似解析解。

圖1 粗糙面電磁散射幾何示意圖

1 微擾法理論

如圖1所示為粗糙面電磁散射的幾何示意圖。若粗糙面統計參數滿足微擾法的條件，即kδ＜0.32，21／2δ／l＜0.3，其中k為入射電磁波波數、δ為粗糙面高度起伏均方根，l為粗糙面高度起伏相關長度，則應用矢量場的一階近似理論可以導出單位照射面積的非相干散射截面為［11］

2 一維帶限Weierstrass分形粗糙面模型及其散射系數

3 數值計算結果和討論

3.1 分維等分形描述量對散射系數的影響

3.1.1 分維對散射系數的影響

取δ＝0.10／k，ε＝1.6，b＝1.01，N1＝0，N2＝9，分別取D＝1.1，D＝1.5，D＝1.9，研究分維D對散射系數σ的影響，計算結果如圖2所示。

圖2 分維對散射系數的影響

由圖2可以看出，不同分維對應的曲線區別較為明顯，分維對散射系數的影響比較大，在其他條件保持不變的情況下，分維越大，散射系數越小，總體上，散射系數隨著散射角的增大而減小，減小的快慢隨散射角的增大而增大，當散射角θs＞70°時，散射系數隨著散射角的增大急劇減小。

3.1.2 標度區間N（諧波次數）對散射系數的影響

取δ＝0.10／k，ε＝1.6，b＝1.01，N1＝0，D＝1.5，分別取N2＝9，N2＝25，N2＝50，研究標度區間N對散射系數σ的影響，計算結果如圖3所示。

從圖3可以看出，不同的標度區間對應的曲線區別較大，標度區間對散射系數的影響比較大，在其他條件保持不變的情況下，標度區間N2越大，散射系數越小，總體上散射系數隨著散射角的增大而減小，減小的快慢隨散射角的增大而增大，當散射角θs＞70°時，散射系數隨著散射角的增大急劇減小。

3.1.3 空間基頻對散射系數的影響

取δ＝0.10／k，ε＝1.6，D＝1.5，N1＝0，N2＝9，分別取b＝1.01，b＝1.05，b＝1.10，研究空間基頻b對散射系數σ的影響，計算結果如圖4所示。

圖3 標度區間N（諧波次數）對散射系數的影響

圖4 空間基頻對散射系數的影響

從圖4可以看出，不同空間基頻的大小對應的曲線區別較大，在其他條件保持不變的情況下，空間基頻越大，散射系數越大，總體上散射系數隨著散射角的增大而減小。

3.2 粗糙面高度起伏均方根對散射系數的影響

取ε＝1.6，D＝1.5，N1＝0，N2＝9，b＝1.01，分別取δ＝0.05／k，δ＝0.10／k，δ＝0.20／k，研究粗糙面度低起伏均方根δ對散射系數σ的影響，計算結果如圖5所示。

圖5 粗糙面高度起伏均方根對散射系數的影響

從圖5可以看出，不同δ對應的曲線區別是很明顯的，在其他條件保持不變的情況下，粗糙面高度起伏均方根δ越大，σ就越大，總體上散射系數隨著散射角的增大而減小。

4 散射系數的特征分析

根據上節中的數值計算結果，可以得到一維帶限Weierstrass分形粗糙面散射系數的分形特征和基本特征。

4.1 分形特征

（1）分維對散射系數的影響很大，在其他條件保持不變的情況下，分維越大，散射系數越小，因此在使用分形粗糙面代替真實粗糙面時，一定需要注意選取合適的分維。

（2）標度區間N對散射系數的影響也比較大，在其他條件保持不變的情況下，標度區間N越大，散射系數就越小。

（3）空間基頻對散射系數的影響比較明顯，在其他條件保持不變的情況下，空間基頻越大，散射系數越大。

4.2 基本特征

粗糙面高度起伏均方根對散射系數的影響比較大，在其他條件保持不變的情況下，高度起伏均方根越大，散射系數就越大。

4.3 分區特征

從圖2～圖5可以看出，散射系數隨散射角變化的規律是很相似的，取其中之一并進行分區如圖6所示。

圖6 分區特征

從圖6可以看出，散射系數隨散射角的變化大致可以分為2個區域，Ⅰ區為緩變區，Ⅱ區為近平行平均平面散射區。在緩變區，散射系數隨散射角的增大而減小，但減小得較慢；在近平行平均平面散射區，散射系數隨散射角的增大而減小，但是減小得急劇。

4.4 隨頻率變化的特征

為了進一步研究散射系數σ隨入射波頻率f變化的特征，這里進行數值計算，圖7給出了相應數值計算的結果，計算時各種參數的取值如下，ε＝1.6，D＝1.5，N1＝0，N2＝0，δ＝0.10／k，b＝1.01，分別取θs＝20°，θs＝80°。

圖7 σ隨f的變化

5 結束語

當平面電磁波入射到一分形粗糙面上時，發生在介質表面的電磁散射在諸多實際問題中有著廣泛的應用。本文運用微擾法得到了平面電磁波入射到一維帶限Weierstrass分形粗糙面上時散射系數的表達式，通過數值計算得到了一維帶限Weierstrass分形粗糙面電磁散射的分形特征、基本特征、分區特征和隨頻率變化的特征。毫無疑問，這些結果在環境遙感、探地雷達、無線電傳播與通信等電磁逆散射問題中有著廣泛的應用。當然，這里只是研究了分維、空間基頻、標度區間、粗糙面高度起伏均方根及入射波頻率對一種比較簡單的一維帶限Weierstrass分形粗糙面HH極化散射系數的影響，對于其他譜分布以及更加復雜的粗糙面散射問題還有待進一步的研究。

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［責任編輯 賀小林］

Electromagnetic Scattering from 1D Band Lim ited Weierstrass Fractal Rough Surface Using the Small Perturbation M ethod

SUN LE，REN Xin-cheng，TIANWEI，NIUWen-jun
（School of Physics and Electronic Information，Yanan University，Yanan 716000，China）

The electromagnetic scattering from the rough surface with the plane wave incident is studied using the small perturbation method，the actual rough surface is simulated with lD band limited weierstrass fractalrough surface，the formula of the scattering coefficient is derived combined with the power spectral density of the 1D band limited fractal rough surface.The angular distribution of the scattering coefficient of HH polarization isobtained by numerical implementation.The influence of fractal dimension，the dimension interzone，the spatial fundamental frequency，the RMS of rough surface fluctuation and the frequency of the incidentwave on the scattering coefficient is discussed.The fractal characteristics，the basic characteristics，the zonal characteristics and the characteristicswith varying of incident wave frequency of the electromagnetic scattering from the lD band limited weierstrass fractal rough surface are obtained.

electromagnetic scattering；1D limited weierstrass fractal rough surface；the small perturbationmethod；the scattering coefficient

TN011

A

1004－602X（2014）04－0019－04

10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.04.019

2014-07-06

2012年地方高校國家級大學生創新創業訓練計劃項目（1070110014003）

孫 樂（1990—），男，陜西高陵人，延安大學物電學院學生。*通訊作者