基于G－S正交化方法的寬零陷方向圖綜合?

王劍輝，黃龍楊，潘衛軍

（中國民航飛行學院空中交通管理學院，四川廣漢618307）

基于G－S正交化方法的寬零陷方向圖綜合?

王劍輝，黃龍楊，潘衛軍

（中國民航飛行學院空中交通管理學院，四川廣漢618307）

在線性陣列天線方向圖無約束Gram-Schmidt（G-S）正交化綜合方法基礎上加入零點導數約束條件實現寬零陷波束圖綜合。此方法保持了無約束正交化方法中因采用對陣列導向矢量正交化處理而使得計算簡便的優點，適合均勻或非均勻直線陣的綜合。實驗結果表明，此零點約束正交方法能很好實現在零階、一階和二階導數約束條件下線性陣列波束圖的綜合。

線性陣列；方向圖綜合；寬零陷；Gram-Schmidt正交化；導數約束

1 引言

利用陣列天線產生定向波束技術已經被廣泛應用于雷達、聲納、通信以及衛星導航等領域［1］，可充分利用空間維度來提高系統性能。在民用航空管理自動化智能系統中衛星定位導航模塊的構建過程中，由于數據鏈信號內容信息復雜且具有多向性，在原有的衛星接收機中，接收到的衛星信號非常微弱，很容易受到其它信號的干擾，所以將方向圖主瓣對準期望信號方向，而將零陷對準干擾信號方向，從而大幅提高信噪比就顯得尤為重要。然而在一般情況下，優化算法得到的方向圖干擾零陷非常窄，且非常陡峭，這就使得如果對干擾信號波達方向的估計存在偏差，則系統性能會大大降低。同時，在實際應用中，由于受到算法本身復雜程度以及實現硬件條件的限制，使得方向圖綜合的實時性也受到限制。另外，由于航空器飛行速度較快，對于機載衛星導航接收設備而言，干擾信號移動較快，很容易出現數據失配。

解決以上問題的一種有效方法就是加寬干擾零陷，展寬方向圖的零陷寬度，使得在一定的角度范圍內都能對干擾實現很好的抑制，從而提高系統抗干擾魯棒性。協方差矩陣錐化［2－4］和干擾方向約束［5－7］是兩種研究較多的方法，這兩種方法本質上是等效的［8］。文獻［9］和［10］分別推導出干擾正態分布和干擾兩點分布時的零陷加寬技術，這些方法都能有效展寬零陷寬度，提高算法的穩健性。文獻［11］通過構造離散的附加干擾源的數學模型，導出了適用于對協方差矩陣進行Gram-Schmidt（G－S）正交化算法的自適應天線方向圖零陷加寬方法。本文在線陣波束圖無約束G－S正交化綜合的基礎上，引入零點處的導數約束從而形成寬零陷波束圖。此方法能保持無約束G－S正交綜合計算簡單的優點，同時可以根據所需要零陷深度的不同而方便選擇相應的導數約束的階數。

2 直線陣天線方向圖正交綜合

考慮一典型線性陣列，陣元布置如圖1所示，N個相同的各向同性陣元都位于z軸上，以坐標原點為參考點，則陣列的方向圖F()θ可以表示為

式中，λ是天線工作波長；θ是主波束方向與線陣法線所成夾度；dn是第n個陣元在z軸上的坐標，此處亦為離參考點的距離；In是第n個陣元的激勵；j是虛數單位。

通常情況下，函數族{φn(u)}不是正交函數族，為求取In方便，利用類似于G－S正交化方法，將函數族{φn(u)}在(－π，π)間實行正交化處理，得到標準正交基函數{ψn(u)}。則方向圖亦可以表示為

式中，Bn是方向圖函數F( u)在ψn(u)基函數下的投影分量，亦為實際激勵，其與中間激勵的關系為［12］

可見，采用正交方法的直線陣方向圖綜合問題可表述為：首先根據實際系統的要求確定陣列單元數目和間距，然后在正交函數下實現綜合設計，最后計算在實際非正交化函數下所需要的實際激勵［12］。

3 導數約束下的正交綜合

設期望陣列方向圖為Fd(u)，實際設計得到的方向圖為F( u)。由上節的分析可知：

式中，ψ（u）＝（ψ1（u），ψ2（u），…，ψn（u），…，ψN（u））T，中間激勵矢量B＝（B1，B2，…，Bn，…，BN）T。則最小二乘誤差為

定義向量Γ＝(Γ1，Γ2，…，Γn，…，ΓN)T，其中Γn＝〈Fd(u)，ψn(u)〉，〈〉表示作內積運算，即期望方向圖在每個正交基函數上投影分量。展開式（6）得：

可見，最小二乘誤差e是關于中間激勵B的開口向上的超拋物面函數，在最低點具有最小的函數值。將式（7）兩邊對激勵矢量共軛B*求偏導后化簡得：

令式（8）為0（N×1維0向量），得到B＝Γ，即無約束條件下的最小二乘誤差綜合就是正交綜合。

設希望在方向圖的M0個位置產生M0個相互獨立的零陷，且M0≤N－1，則：

式中，m＝1，2，3，…，M0。定義一個N×M0約束矩陣C0：

為展寬波束圖的零點，可以采用零點處波束圖施加導數約束的方法。首先考慮波束方向圖對u的一階導數約束。設M0位置的一個子集為Ω1，且Ω1的元素為M1個，則：

同樣定義一個N×M1約束矩陣C1：

同理，波束方向圖對u的r階導數為

其中，Ωr是Ωr－1的一個子集，有Mr個元素。

那么總的約束矩陣為C＝[C0C1…Cr]，令Mc＝M0＋M1＋…＋Mr，要求Mc＜N。假設C的列矢量是線性獨立的，則CTC*是非奇異的，且秩為Mc。約束條件即為CTB＝0，也即CHB*＝0。

定義目標函數：

其中ζ＝(ζ1，ζ2，…，ζm，…ζMc)T是待定常數向量?，F對ζ使用Lagrange常數法：

將式（17）代入零點約束條件得到：

將式（19）代入式（17），即：

這樣就得到了中間激勵矢量，代入式（4）就能得到實際設計需要的激勵矢量。若CTC*條件數較差，可采用先進行奇異值分解，保留主奇異值項來形成約束矩陣C，保證中間計算誤差在可接受范圍內。

4 設計實例

（1）設計實例1

設天線陣元數N＝11，各個陣元是相同的各向同性陣元，間距為0.5λ的均勻直線陣，理想方向圖為－30 dB的Chebyshev方向圖?，F在干擾方向30°的位置分別產生零階、一階和二階導數約束零陷，方向圖分別如圖2～4所示，對應陣元激勵如表1所示。

（2）設計實例2

設天線陣元數N＝11，非均勻間距陣具體如表2所示，設天線的工作頻率為300 MHz，首先利用無約束正交化方法在－45°方向產生最大方向性方向圖，然后在－30°、－10°和30°方向分別產生一階、二階和三階導數約束的零陷，結果如圖5所示，激勵系數如表2所示。

從實例結果中可以看到，通過導數約束很好地實現了方向圖零陷展寬，且隨著導數約束階數的提高，零陷也逐步加寬，但更高的約束會消耗更多的天線自由度，實際應用中一般都在三階以下的導數約束。

5 結論

在非約束G－S正交化方法的基礎上分別引入零點導數約束實現了方向圖零陷展寬，仿真驗證了本方法的有效性。該方法可以根據實際零陷寬度的大小來靈活選擇約束導數的階數，同時本方法還保持了非約束正交化方法計算簡單、計算量小的優點。但多個零點很靠近時約束矩陣接近奇異情況下的算法還需要進一步的研究。

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WU Si-jun，ZHANG Jin-zhong，ZHANG Shu.Research on beamforming of wide nulling algorithm［J］.Journal of Harbin Engineering University，2004，10（5）：658－661.（in Chinese）

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TAO Qing-chang，GAO Mei-guo，HUANG Gui-gen.Adapted pattern trough widening technique on GS algorithm［J］. Journal of Beijing Institute of Technology，2006，26（9）：836－839.（in Chinese）

［12］Salialos J N.A Solution of the General Non-uniformly Spaced Antenna Array［J］.Proceedings of IEEE，1974（68）：1292－1294.（in Chinese）

WANG Jian-hui was born in Guanghan，Sichuan Province，in 1974.He is now a lecturer with the M.S.degree.His research interests include air traffic programming，CNS information management and air law researching.

Email：atcerwjh＠sina.com

黃龍楊（1973－），男，安徽霍山人，博士，講師，主要研究方向為陣列信號處理、衛星導航、空中交通管理；

HUANG Long-yang was born in Huoshan，Anhui Province，in 1973.He is now a lecturer with the Ph.D.degree.His research interests include array signal processing，satellite navigation and air traffic management.

Email：longyanghuang＠gmail.com

潘衛軍（1969－），男，湖北英山人，碩士，教授，主要研究方向交通運輸規劃、空管系統信息管理。

PAN Wei-jun was born in Yingshan，Hubei Province，in 1969. He is now a professor with the M.S.degree.His research interests include air traffic programming and information management of air traffic control system.

Synthesizing Pattern with Broad Nulls Based on Gram-Schmidt Orthogonal Method

WANG Jian-hui，HUANG Long-yang，PAN Wei-jun
（Air Traffic Management College，Civil Aviation Flight University of China，Guanghan 618307，China）

Based on the Gram-Schmidt（G-S）orthogonal method for pattern synthesis of linear array without constraints，null derivative constraints are proposed to implement pattern synthesis with broad nulls.The advantage of the simplified computation due to steering vector orthogonalization in unconstrained orthogonal approach is maintained，and the uniform or non-uniform linear array pattern synthesis can be realized by this method.The experimental results show that the null constrained orthogonal approach can fulfill linear array pattern synthesis with constrains such as null constrains，first-order and second-order derivative null constraints.

linear array；pattern synthesis；broad null；Gram－Schmidt orthogonalization；derivative constraints

The Key National Natural Science Foundation of China（No.60832011）

TN957.2

A

10.3969／j.issn.1001－893x.2010.06.012

王劍輝（1974－），男，四川廣漢人，碩士，講師，主要研究方向為交通運輸規劃、通訊導航監視信息處理、航空技術法規；

1001－893X（2010）06－0054－05

2010－03－05；收回日期：2010－04－16

國家自然科學基金重點項目（60832011）