新上市變質品的EPQ模型研究

陳六新 ，李 軍，謝天帥

(1.西南交通大學 經濟管理學院，成都 610031；2.重慶郵電大學 經濟管理學院，重慶 400065)

0 引言

變質產品廣泛存在于日常生產和生活中，如生鮮食品、水果、蔬菜、海鮮、電子類產品等，在存儲流通過程中隨時間的增加，其數量會因腐爛、損壞等原因而減少。目前我國變質商品在流通過程中造成的各種損耗非常大(水果、蔬菜采后的損失高達35%，肉類及水產品亦達10～15%)，每年僅變質食品采后的各種損耗之和高達千億元之巨[1]。因而，對變質品生產庫存控制規律的研究具有極強的現實意義。

經典的經濟訂貨模型(EOQ)適用于產品成熟期(即需求為常數)，沒有考慮產品具有變質的現象。1963年Ghare和Schrader研究了變質率為常數處于成熟期的變質品瞬時補貨策略[2]。由于任何新上市產品都要經歷市場擴張或成長期，在這一時期單位時間的需求隨時間而增加，經過一段時間增長之后，進入成熟期，產品的需求相對穩定[3]。關于新上市變質品的瞬時補貨策略研究較多。1995年Hill建立了需求在成長期呈指數增加，在成熟期穩定為常數的訂貨模型[4]。Hill的研究沒有考慮零售商可以缺貨的情形，1998年Mondal和Pal將Hill的研究擴展為允許缺貨且缺貨完全拖后供給，給出了先補給后缺貨情形的訂貨策略[5]。1999年Wu等建立了缺貨部分拖后供給的變質品訂貨模型，認為在缺貨期間愿意等待的顧客會隨等待時間的增加而減少，拖后供給因子是實際等待時間的減函數，研究了缺貨部分拖后供給情形下的訂貨策略[6]。2000年Wu和Ouyang研究了在先缺貨后補給和先補給后缺貨兩種情形下且缺貨完全拖后供給的零售商訂貨策略[7]。2001年Wu[8]和 2003年Giri[9]建立變質率時變且服從weibull分布、缺貨部分拖后供給的EOQ模型，研究了零售商的補貨策略。2007年Deng等研究了在先補給后缺貨、成長期可以缺貨且缺貨完全拖后供給情形下的訂貨策略，并指出文獻[5]和文獻[7]在模型求解中存在的問題[10]。Skouri等將文獻[10]的模型擴展到了先缺貨后補給且缺貨部分拖后供給的情形[11]。文獻[2～10]的新上市變質品庫存研究主要考慮了變質率是否時變、是否允許缺貨、先補給還是先缺貨、缺貨是否完全拖后供給等因素，研究了零售商的訂貨策略，沒有考慮邊補貨邊需求的EOQ模型(即經濟生產批量模型，EPQ)。

對于邊補貨邊需求新上市變質品EOQ模型的研究很少。2008年張旭梅等研究了新上市變質品在成長期的生產庫存[12]。2006年Manna和Chaudhuri建立了在不允許缺貨或允許缺貨且缺貨完全拖后供給情形下單位生產成本隨生產規模的擴大而降低的經濟生產批量模型[13]。但是，其在模型中假定“成長期不停止生產”，對于某些成長期較長的新上市變質品(如電子類產品)而言，若成長期不停止生產，會使庫存成本和損耗成本過大、生產庫存策略非最優，導致不經濟現象。故需要取消文獻[13]的該項假定，即在“成長期也可以停止生產”的條件下來研究新上市變質品的生產庫存策略。

1 假定與符號

由于電子元件對存放環境的溫度和濕度要求苛刻，在存放過程中易出現品質下降的問題，例如由于溫度和濕度的影響而使得產品失去功能，該類產品具有變質的特征。電子類產品由于市場競爭激烈和產品生命周期縮短，在成長期內產品的需求快速增長，需求不可能無限制地增長，在成熟期需求相對穩定。因此對新上市變質品要考慮成長期和成熟期需求不同而制定庫存策略[13]。本文的研究基于以下假設：

（1）需求呈階梯型。具有廣泛接受度的新產品在生命周期的成長期其需求隨時間變化呈遞增趨勢，在成熟期需求相對穩定。本文考慮新產品的第一生產周期長于成長期。

（2）生產率為需求率的倍數。

（3）生產有規模效應，生產成本隨生產規模的增大而減少。

（4）物品存在變質現象，產品進入庫存系統就開始變質損耗，變質率為常數。

（5）生產庫存系統不允許缺貨。

文中符號規定如下：p為產品的銷售價格；C表示固定啟動成本；C2表示單位產品單位時間的庫存費用；t1是生產期；t2是生產周期；產品的需求率為，其中需求增長率D和成長期μ均為正常數 (如圖1)；R=βq表示生產率(常數 β 大于 1)；C1=α1q-γ表示單位生產成本，其中 α1、γ 為正常數且γ≠2，可以看出，單位生產成本是生產率的減函數[13]；θ表示產品的變質率(0＜θ＜1為常數)。

2 模型建立及求解

根據上述假定知，庫存函數應滿足的微分方程為：

本文的主要目的是尋求新上市產品第一個生產周期的最優生產策略①若第一周期的長度小于 T1＜μ，則第二周期的計算只需將式(1)的 t∈(0＜t1)和 t∈(t1，t2)分別更改為 t∈(T1，T1+t1)和 t∈(T1+t1，T1+t2)，重復本文后面的運算過程即可得到最優生產策略；當T1≥μ時，則有q(t)為常數，已有經典文獻研究。其余周期以此類推。，由于其需求率為一個階梯型分段函數，所以需分三種情況進行討論：(1)成長期不停止生產(庫存示意如圖2)；(2)成長期大于生產期小于生產周期(庫存示意如圖3)；(3)成長期大于生產周期。

2.1 成長期不停止生產模型(t1≥μ)

在成長期不停止生產的情況下，根據式(1)，可以求得庫存函數為：

由于在t1時刻庫存函數是連續變化的，即，由(2)式可得

由式(2)和式(3)可得，賣出產品的數量為：

庫存費用為：

生產批量為

由式(3)～(6)，得到總利潤函數為：

2.2 成長期大于生產期小于生產周期(t1≤μ＜t2)

在成長期大于生產期小于生產周期的情況下，根據式(1)，庫存函數應為：

由于在t1時刻庫存函數是連續變化的，故有

生產批量為：

類似于2.1節的計算，可得總利潤函數為：

2.3 成長期大于生產周期模型(t2≤μ)

在成長期大于生產周期的情況下，根據式(1)，庫存函數應為：

由于在t1時刻庫存函數是連續變化的，故有

類似于2.1節的計算，可得總利潤函數為：

以 π(t1，t2)表示在(0，t2)的單位時間平均利潤，由式(7)、式(9)和式(11)可得，平均利潤函數為：

2.4 最優生產策略的確定

為了得到使 π(t1，t2)最大的 t1和 t2，由式（3）、（8）式和式（10），可得 t1是 t2的函數，π(t1，t2)實際是 t2的一元分段函數π*(t2)，不能從整體上說明它的凹凸性。為了得到最優的生產策略，給出如下引理。

引理 若f(x)是定義在[0，+∞)中的關于x的嚴格凹函數，x0＞0 為其駐點，則的最大值點必不大于x0。

證明 f(x)是定義在[0，+∞)中的關于x的嚴格凹函數，對于 x1＞x0＞0，有 f(x0)＞f(x1)，即故引理成立。

下面根據式(12)，分析π*(t2)特性，得到最優解的存在區間，并得到求最優解的步驟：

(1)當 t1≥μ 時，由式(3)可得 t1是 t2的函數，則 Π1(t1，t2)和π(t1，t2)均是 t2的一元函數，分別用 Π1*(t2)和 π1(t2)表示。 設的解為 t2=μ1，當 t1=μ 時使式(3)成立的 t2為 μ2。 若μ2＞μ1，則此種情形不存在最優策略。 若 μ2≤μ1，則由Π1*為嚴格凹且由引理知，π1(t2)滿足條件的最大值點 t2*1必存在于[μ2，μ1]中。

(2)當 t1≤μ≤t2時，由式(8)可得 t1是 t2的函數，則 π(t1，t2)實際是 t2的一元函數 π2(t2)。 當 t1=μ時，式(3)與式(8)相同，故使得式(8)成立的 t2仍為μ2。若 μ＞μ2，則此種情形不存在最優策略。若 μ≤μ2，則由連續函數 π2(t1)的滿足條件的最大值點 t2*2必存在于[μ，μ2]中。

(3)當 t2≤μ 時，由式(10)可得 t1是 t2的函數，π(t1，t2)是 t2的一元函數在(0,μ]上連續，所以 π3(t2)在(0,μ]存在最大值點t2*3。

綜上所述，可以得到問題最優解的確定步驟：

①根據已知參數，如上確定三個搜索區間，編寫Matlab程序，在相應的區間搜索出對應的最大值點t2*i。

②將 t2*i代入 πi(t2)(i=1，2，3)中，使 πi(t2)最大的 t2*i即為最優解t2*，并求出最優的t1，從而得到最優生產批量Q*。

3 算例及參數分析

某制造企業主要生產某種變質品，相關的參數如下：C=100,θ=0.1,p=15,D=200，C2=1.5,μ=5,α1=2000,β=4,γ=0.95。 按文獻[13]的模型，借助數學軟件Matlab7.1可得t1=5.0016，t2=9.9458，第一周期的生產批量為10006，最優平均利潤為1945.70；根據本文模型可得t1=4.6066，t2=8.9940，第一周期的生產批量8488，最優平均利潤為2003.25，很明顯本文得到的生產策略優于前者。故文獻[13]的模型“成長期不停止生產”的限制條件不合理，得到的策略可能是低效的(見表1(a),表1(b))。

將上例的單位庫存成本、變質率和需求增長率分別取不同的值，按照文獻[13]的模型計算得表1(a)、表2(a)和表3(a)，利用本文的模型計算得表1(b)、表2(b)和表3(b)，將所得數據進行比較可以得到如下結論：

本模型得到的策略是有效的，而且庫存成本越高、變質率越低和需求增長率越大，本文策略的有效性越明顯；當庫存成本增加時生產周期縮短，生產期可能從大于成長期變為小于需求增長期，平均利潤降低；反之亦然。變質率增加時生產期增加，生產周期縮短，平均利潤減??；反之亦然。需求增長率增加時生產期縮短，生產周期縮短，平均利潤增加；反之亦然。

在實際生活中，單位庫存成本和變質率增加必然會引起庫存費用和損耗費用的增加，利潤減少，適當縮短經營周期，減少庫存和損耗，可以增加收益，從變化的結果看與實際情況相符合。根據靈敏度分析，庫存和損耗變化的情況下，要獲取最大利潤，管理者應該通過有效辦法減少庫存成本和損耗成本。

4 結束語

本文研究了新上市變質品的生產策略，通過分析得到了尋求最優生產策略的方法，擴展了文獻[13]的模型，豐富了庫存理論。利用數值仿真，對參數變化在本文和在文獻[13]下所得結果進行比較，說明“成長期不停止生產”的限制條件是不合理的，可能導致所得到的策略是低效的。這一結論為生產管理部門的決策提供了有力的理論依據。該問題可以考慮允許缺貨經濟生產批量做進一步研究。

表1 (a)庫存成本對平均利潤及生產策略影響

表1 (b)庫存成本對平均利潤及生產策略影響

表2 (a)變質率對平均利潤及生產策略影響

表2 (b)變質率對平均利潤及生產策略影響

表3 (a)需求增長率對平均利潤及生產策略影響

表3 (b)需求增長率對平均利潤及生產策略影響

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