偶極子對動態性能影響可忽略的充分條件

李 娟,高鴻雁,李勝多,岳丹松

(青島農業大學機電工程學院,山東青島 266109)

0 引言

“自動控制原理”是一門重要的電氣化和電自化等專業的基礎必修課,在本課程中對系統的動態性能的分析中,一般教材都要講偶極子對系統性能的影響。但對于偶極子對系統動態性能的影響何時可以忽略的問題上,不同的教材有不同說法。綜合可見有三種說法:①不十分接近坐標原點的偶極子對動態性能的影響可忽略,而十分接近坐標原點的偶極子對動態性能的影響必須考慮[1-2];②不十分接近虛軸的偶極子對動態性能的影響可忽略,而十分接近虛軸的偶極子對動態性能的影響必須考慮[3-5];③在分析高階系統的性能時,可以忽略偶極子的影響,而沒有指明條件[6]。當然也有個別教材在提及偶極子對系統動態性能的影響可以忽略的條件時,將接近虛軸和接近坐標原點這兩者混為一談。

教材[1]和[2]都指出不十分接近原點的偶極子對動態性能的影響可忽略,并以實數偶極子的情況給出了證明。但偶極子有實數偶極子和復數偶極子之分。對實數偶極子而言,偶極子接近虛軸就是接近原點,但對復數偶極子而言,接近虛軸和接近原點是不一樣的。因而從已有的證明中無法看出是十分接近原點還是十分接近虛軸的偶極子可以忽略。而能查閱到的其它教材都沒有給出證明。那么對所有類型的偶極子而言,究竟是在什么條件下偶極子對系統動態特性影響才可以忽略呢?換句話說,偶極子對系統動態特性的影響可以忽略的充分條件是什么?

1 偶極子影響可忽略的充分條件

關于偶極子對系統動態性能的影響可忽略的條件,我們給出如下定理。

【定理】對于線性定常系統,偶極子對系統動態性能的影響可忽略的充分條件是:偶極子不十分接近坐標原點。而對于十分接近坐標原點的偶極子對動態性能的影響必須考慮。

證明:研究含有一對復數偶極子的具有下列閉環傳遞函數的單輸入單輸出SISO線性定常系統:

其中,a、b和δ是正實數。

在式(1)描述的閉環系統中,有一對復數極點s1,2=-a±jb、一個實數極點s3=-1和一對復數零點z1,2=-(a+δ)±jb。

假定δ※0,即復數閉環零點z1,2和復數極點s1,2十分接近,從而構成復數偶極子。則式(1)的單位階躍響應的拉氏變換為

其中:

由式(3)可得

將式(4)代入式(2)得

對式(5)取拉氏反變換,則得單位階躍響應為

考慮到δ※0,則式(6)可簡化為

下面對式(7)分兩種情況討論。

(1)a趨向0但b不趨向0

復數偶極子十分接近虛軸而不十分接近原點,則式(7)可簡化為

注意到式(8)的結果恰與忽略式(1)中的偶極子所得的結果一致,因而此時偶極子的影響可以完全略去不計,系統的單位階躍響應由主導極點決定。

[注1]該情況下的結果充分說明:偶極子對系統動態性能的影響是否能被忽略不取決于偶極子是否十分接近虛軸。

(2)a※0,b※0

復數偶極子十分接近原點,則式(7)可簡化為

此時,式中的兩個系數分式2aδ/(a2+b2)和δ[2a-2a2+2b2]/(a2+b2)中的分子和分母是可比的,其對應的兩項不能略去不計,所以接近坐標原點的偶極子對系統動態性能的影響必須考慮。

綜合以上(1)和(2)兩種情況,便可得到上述的定理。

[注2]從上面的證明可看出,就對系統動態性能的影響而言,偶極子接近虛軸和接近原點是不一樣的,因而不能將兩者混為一談。

[注3]實數偶極子可以看作復數偶極子的一種特例,當復數偶極子的虛部取為零,即b=0時,上述證明就簡化為教材[1-2]中關于實數偶極子的證明。

2 應用實例

對于由式(1)描述的系統,考慮下列兩種情況:

(1)a=0.1,b=0.1,δ=0.01

s1,2=-0.1±j0.1,z1,2=-0.11±j0.1。由偶極子的定義知,s1,2和z1,2構成了接近原點的偶極子。

(2)a=0.1,b=50,δ=0.01

s1,2=-0.1±j50,z1,2=-0.11±j50。由偶極子的定義知,s1,2和z1,2構成了遠離原點但接近虛軸的偶極子。用Matlab進行仿真,以上兩種情況下的系統的單位階躍響應曲線如圖1所示。

圖1 單位階躍響應

由圖1可看出,當偶極子接近原點時的動態響應和偶極子遠離原點但接近虛軸時的動態響應有較大差異。以調節時間為例,取誤差帶為 Δ=0.02。在偶極子接近原點時(對應虛線),調節時間為ts=6.77s;在偶極子遠離原點但接近虛軸時(對應實線),調節時間為ts=3.92s。當將系統中的偶極子忽略時,則可計算出調節時間為ts=3.998s。比較忽略偶極子前后的調節時間可看出:遠離原點但接近虛軸的偶極子對系統動態性能的影響甚微,可忽略;而接近原點的偶極子對系統動態性能的影響較大,必須考慮。

3 結語

本文針對《自動控制原理》教材中關于偶極子對動態性能的影響出現的分歧,從理論上證明并給出了偶極子對動態性能的影響可忽略的充分條件,從而統一了教材中的說法。

[1] 胡壽松.自動控制原理(第五版)[M].北京:科技出版社,2007

[2] 黃家英.自動控制原理(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2003

[3] 董明曉,李娟.機械工程控制基礎[M].北京:電子工業出版社,2010

[4] 厲玉鳴,馬召坤,王晶.自動控制原理[M].北京:化學工業出版社,2005

[5] 高飛,袁遠能,楊晨陽.自動控制原理[M].北京:北京航空航天大學出版社,2009

[6] 王孝武,方敏,葛鎖良.自動控制理論[M].北京:機械工業出版社,2009