直線運動模糊圖像復原的截斷奇異值分解方法

周 俊，吳傳生，朱華平

（武漢理工大學 理學院，武漢 430070）

通常，由平移不變模糊函數和噪聲所導致的圖像降質離散模型可表示為

其中，f（k，l）為M×N 的原始圖像；g（i，j）是帶有噪聲的模糊圖像，大小為（2 m－1）×（2n－1）的h（s，t）為成像系統的二維點擴散函數（PSF）.

為減少圖像邊界處的振鈴現象，本文假設原始圖像具有Neumann邊界條件（反射邊界條件）.假定離散的點擴散函數h（s，t）是對稱的（散焦模糊、水平運動和垂直運動模糊所對應的點擴散函數是對稱的），此處的對稱是指

模型（1）可以轉化為如下模型：

1 具有對稱性的點擴散函數的圖像復原的 TSVD 方法［3－7］

sR2（M－1）×2（N－1）表示2（M－1）×2（N－1）的實對稱矩陣，此處的對稱是指：X ∈ R2（M－1）×2（N－1），

以F ∈sR（2M－2）×（2N－2）表示f ∈ RM×N的偶延拓，將h周圍補零擴充為M×N的矩陣并延拓為（2 M－2）×（2 N－2）的矩陣，記為H，如下所示：

顯然 H ∈sR（2M－2）×（2N－2）.

“否”在《齊》中未見，“否”在《周》中僅4見，位于句末作否定副詞，此用法在《國語》中已經出現，“‘否’是一個用法較特殊的否定副詞：它不作狀語，用于肯定否定迭用的句子中，表示否定的一面?！盵5]《戰國策》中“否”也是此用法。例2“否”位于疑問句末時省略謂語中心，可補全。

以Fext，Hext表示F與H的周期延拓滿足，顯然Fext，Hext滿足

將模糊圖像g以圖像中心點作為對稱中心進行對稱交換并延拓為（2 M－2）×（2 N－2）的矩陣，記為G，從而模型（2）可轉化為以下解卷問題：

對于X ∈Cp×q，離散卷積算子TX：Cp×q→Cp×q定義如下：

于是式（3）寫成

此處

通過計算方程（4）的正則解，可得到復原的圖像.

因為H是對稱的，TH的奇異系通過余弦變換容易得到，從而得到如下的TSVD算法：

步驟1 H0＝DTC（H（1：M，1：N）），

步驟2 k＝k＋1，按如下公式計算矩陣S：

步驟3 如果β（ik，jk）＜α轉步驟4，否則轉步驟2；

步驟4 計算fk＝IDCT（Sk），fk即為復原的圖像.

2 直線運動模糊圖像復原的TSVD方法

任意方向直線運動模糊所對應的點擴散函數并不是對稱的，所以以上方法并不適用，下面考慮將不具有對稱性的任意直線運動模糊轉化為具有對稱性的水平直線運動模糊.目前已有許多關于任意方向直線運動模糊的點擴散函數的參數的確定方法［8－11］，本文假設點擴散函數的參數已知，即已知模糊的角度θ和模糊的長度I.

而直線運動模糊圖像僅僅由該運動方向上的像素相互作用形成，沿角度θ方向，以1像素為步長作一系列平行直線，對模糊圖像進行劃分，每條直線上的像素按從圖像頂部到圖像底部的順序進行排列，這樣就構成了一個水平像素列，而該直線上的運動模糊近似可看作水平直線運動模糊，即該水平像素列可以看作由水平直線運動模糊形成，水平直線運動的模糊參數（模糊長度）仍然為l.轉化示意見圖1.而水平直線運動模糊的點擴散函數是對稱的，從而可以利用TSVD方法復原模糊圖像.

任意方向的直線運動模糊轉換為水平直線運動模糊可以采用以下簡單方法：將模糊圖像進行－θ角度的旋轉，則模糊方向變為水平，對每一行分別進行復原，然后進行θ角度的旋轉即可得復原圖像.

圖1 任意方向的直線運動模糊轉換為水平直線運動模糊Fig.1 Transform random orientation＇s linear motion’s fuzzy image into horizontal orientation＇s linear motion’s fuzzy image

上述TSVD算法可改寫為如下算法：

步驟1 沿θ方向以像素為單位作一系列平行直線劃分模糊圖像g，把每條直線上像素按從上到下的順序排列成一行，假設共有R行，則得到R個行向量，記為Gr（r＝1，2，…，R），模糊長度為l，可得水平直線運動模糊的點擴散函數h，對h進行延拓 記 為 H，H0＝ DTC（H（1：M，1：N）），βi，j＝H0（i，j），對｜βi，j｜從大到小排序，即：β（i1，j1）≥β（i2，j2）≥ …β（in，jn）r＝0；

步驟2 r＝r＋1，G0＝DCT（Gr），

步驟3 k＝k＋1，按如下公式計算矩陣S

步驟4 如果β（ik，jk）＜αr轉步驟5，否則轉步驟3；

步驟5 計算fk＝IDCT（Sk），把fk轉換到相應圖像位置，記為F；

步驟6 若r＜R，轉步驟2，否則轉步驟7；

步驟7 F即為復原圖像.

3 圖像恢復實驗

實驗由Matlab 7.0實現，算法中τ＝1.5，復原圖像fk的相對誤差定義為

大小為256×256的原始圖像f為Matlab中的＇cameraman＇圖像（見圖2）.

圖2 原始圖像Fig.2 Primitive image

實驗中，原始圖像被長度為10、角度為30的離散點擴散函數模糊，所得模糊圖像大小為246×246.CPU運行時間為1.094 000s，復原圖像的相對誤差為0.007 6，運動模糊圖像及復原圖像見圖3和圖4.

圖3 長度為10、角度為30°的模糊圖像Fig.3 Fuzzy image whose length is 10 and angle is 30degree

圖4 復原圖像Fig.4 Image restoration

4 結論

本文的方法是將任意方向直線運動的模糊圖像沿模糊角度的方向用一系列平行直線進行劃分，把每條直線上的運動模糊看做水平直線運動模糊，分別采用TSVD方法進行復原，TSVD方法的最大優點是對噪聲不敏感，可以有效避免噪聲對復原圖像的影響.通過數值實驗表明，該方法對任意方向直線運動模糊圖像的復原問題有很好的效果，而且速度很快.但是本文的方法依賴于模糊長度與模糊角度這兩個參數，參數的準確性對復原效果的優劣有很大影響.

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