冪律流體在可滲透性管壁圓管中的流動

肖 明

（湖北第二師范學院 物理與電子信息學院，武漢 430205）

冪律流體在可滲透性管壁圓管中的流動

肖 明＊

（湖北第二師范學院 物理與電子信息學院，武漢 430205）

為了解冪律流體在可滲透性管壁圓管中的流動機制，基于廣義達西定理和冪律流體的本構方程，通過嚴格數學推導，得到了冪律流體在具有滲透性管壁的單根圓管中流動的速度分布和流量分布表達式.研究結果表明：冪律流體在可滲透性管壁的圓管中流動時的流量將比在剛性管壁圓管中的流量大，并且還得出冪指數n越大，通過圓管中的流量也越大的結論.

冪律流體；滲透的；本構方程；哈根－泊肅葉方程

長期以來，由于非牛頓流體在油田開采和生物醫學等工程與科學應用領域得到了日益廣泛的應用，人們越來越多地使用非牛頓流體如聚合物溶液、泡沫液和乳狀液等作為驅油劑來提高采油量［1-6］；在生物滲流和工程滲流中，非牛頓流體更具有普遍性，例如，血液在血管中的流動，就明顯呈現出其具有非牛頓流體的特性［7-8］.因此，非牛頓流體在單根圓管中的流動特性的研究就成了廣大學者關注的熱點.凡是滿足流體應力－應變關系式τ＝的流體，都被稱為牛頓流體，其中τ為剪切應力為應變率，μ為動力粘度.牛頓流體具有一個可嚴格稱之為粘度的特性參數，即牛頓應力－應變關系式中的μ.并不是所有的流體都滿足牛頓應力－應變關系，把不服從牛頓應力－應變關系的流體統稱非牛頓流體.冪律流體是非牛頓流體中的一種，自然界中常見的冪律流體有人體的血液、膠體、牛奶、凝膠等.而所有的非牛頓流體，其本構方程都要求有兩個或兩個以上的特性參數.為了方便起見，通常引進一個所謂非牛頓流體的視粘度，其視粘度定義為切應力與應變速率絕對值˙γ之比，用μa表示，即μa＝.冪律型流體的本構方程為τ＝，根據視粘度的定義，冪律型流體的視粘度μa＝，其中τ、˙γ、n、μa、μ分別為剪切應力、應變速率、冪指數、視粘度和稠度系數.當n＝1，冪律型流體的本構方程退化成牛頓流體的本構方程式；n＜1，代表擬塑性非牛頓流體；n＞1，表示膨脹性非牛頓流體.稠度系數μ的范圍通常在103Pa·sn（聚對苯二甲酸乙二酯樹脂）到105Pa·sn（高粘度硬聚氯乙烯），其中n為冪指數.對于石油工程的鉆井完井液，冪指數n通常取值在0.2～1之間.

Zhang等人［3］基于多孔介質具有分形特征的事實，提出了冪律流體在多孔介質中滲透率的分形模型.Balhoff和 Thompson［9］用有限單元方法模擬了軸對稱收縮管道中冪律流體的流動.Yun等人［10］從理論上分析了冪律流體在單根收縮毛細管中流動情況，并給出了冪律流體的速度分布和流量分布的分形解析表達式.Vajravelu等人［11］研究了Bingham流體在管壁具有可滲透性圓管中流動情況，并得出了流體的速度表達式和流量表達式.Govier等人［12］研究了冪律流體在單根毛細管中的流動，但是他們并沒有考慮到毛細管的管壁滲透性影響；然而這些影響將會對人體健康造成嚴重問題，譬如由于動脈壁中膽固醇的沉積和結締組織的增生一方面會引起斑狀硬皮等疾??；另一方面還會在一定程度上阻礙血管中血液的流動.本文主要考慮了管壁滲透性影響，詳細推導冪律流體在單根圓管中的速度和流量的解析表達式.研究結果表明冪律流體在圓管中的流速和流量取決于管壁的滲透率k，并得出冪律型流體在可滲透性管壁的圓管中流動時流量將比在剛性管壁圓管中流量大，隨著冪指數n的增加，通過圓管中的流量也增加的結論.

1 冪律流體在可滲透性圓管中的流量

考慮冪律流體在一段具有滲透性管壁的圓管中流動，設圓管內徑為R，管壁是均質的各向同性多孔介質，其滲透率為k.若在圓管的兩端壓降為Δp，則流體就會在壓力梯度作用下在圓管內沿軸向流動.如圖1所示為冪律流體在單根圓管中流動示意圖.設冪律流體沿z軸流動，流體在圓管內半徑為r處受到與流動方向相反的剪切力τ.在圓管內取半徑為r的一段圓柱體流體，根據圓柱體中流體受力平衡得

圖1 冪律流體在單根圓管中流動示意圖Fig.1 Schematic of flow for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall

剪切力τ的大小為

冪律流體的本構方程為［12］

聯立方程（2）和（3）并整理得

邊界條件為［13］

式中，vB為壁面處的滑移速度，α為滑移參數.

對于流體在管壁多孔介質區域的流動，滿足達西定理

式中，k為多孔介質材料的滲透率，μa為冪律流體的視粘度（μa＝μ0˙γn－1）；QV為流體流過單位橫截面積的體積流量，此處的QV代表流體在多孔介質中的滲透速度，而不是流體在多孔介質中真正的流速.

方程（4）兩邊積分，并代入邊界條件（5a）

根據邊界條件（5b）和方程（4）可以得到滑移速度vB的大?。?/p>

通過可滲透性圓管的總流量為

圖2為根據方程（10）比較冪律流體在可滲透性圓管中和剛性管壁圓管（k＝0）中流量與壓強降的關系.其中非牛頓流體的稠度系數μ0＝0.1，圓管壁的滲透率大小為k＝10－12m2，管壁的滑移參數α＝0.1，冪律流體的冪指數n＝0.3，圓管內半徑r＝10－6m.從該圖中我們可以看出，冪律流體在管壁可滲透性圓管中的流量要比剛性管壁圓管中流量大，這與文獻［14］給出的結論相一致，這可能是因為圓管壁外的冪律流體通過管壁多孔介質流入圓管內的流量大于從圓管內流出的流體流量.

圖2 冪律流體在可滲透性圓管中流量與壓強降的關系Fig.2 Flow rate vs.pressure drop for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall

圖3顯示了冪律型流體（n＝0.8）和牛頓流體（n＝1）在可滲透性圓管中流量隨壓強降的變化關趨勢圖，該圖表明了無論是冪律流體還是牛頓流體，它們的流量都隨圓管兩端的壓強差的增加而增加，并且冪指數n越大，流量就越大.這是因為冪指數n是流體的非牛頓特點程度的量度，n越大，流體的非牛頓特性程度就越弱，流動的粘滯阻尼越小，因此通過可滲透性圓管的流量也就越大.

2 結果分析與討論

圖3 比較冪律流體和牛頓流體在可滲透性圓管中流量隨壓強降的變化關系Fig.3 Comparing flow rate for power－law fluids with that for Newtonian fluids through a circular pipe with permeable wall atμ0＝0.1mPa·s，k＝10－10 m2，α＝0.1，r＝10－6 m

1）若管壁是剛性的、具有不可滲透性，則滲透率k趨近于0，根據方程（6）和（9），此時管壁的滑移速度vB趨近于0，此時通過圓管的總流量為：

此結果正好與Govier G.W.等人［12］得出的冪律流體在單根毛細管中流量結論一致，從而驗證了本文對邊界條件設置的合理性和推導過程的正確性.

2）當n＝1，該非牛頓流體蛻變為牛頓流體，根據方程（9），此時壁面的滑移速度為

將方程（12）代入方程（8），得出牛頓流體在圓管內徑r處的流速為

將n＝1代入方程（10），并假設管壁是剛性、不可滲透性的材料，即vB＝0，方程（10）可以化簡為

這正是圓管中完全發展的不可壓縮層流所滿足的Hagen－Posieulle方程［15-16］.

3 結論

本文通過理論推導得到了冪律型流體在具有滲透性管壁單根圓管中流動的速度和流量的解析表達式，結果表明其速度和流量不僅與冪律流體的冪指數n有關，還與管壁的滲透率k及圓管的半徑R有關，這些都與物理實際情況相吻合.該理論模型可能為石油工程、生物系統（譬如支氣管樹、血管系統及其與之相關的一些真實物理系統等）等提供一些有價值的理論指導.當然，實際的血管系統可能是由一些血管組成分叉網絡，如果考慮這些分叉管道管壁的滲透性，研究冪律流體在由這種可滲透性管壁組成的分叉網絡中的流量和速度分布問題，將會是更有實際意義的課題，這方面的工作正在進行中.

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Power－law fluids flow in a circular tube with naturally permeable walls

XIAO Ming
（School of Physics and Electronic Information，Hubei University of Education，Wuhan 430205）

In order to understand the flow behavior mechanics of power－law fluids，the analytical expressions of velocity and flow rate for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall are derived based on generalized Darcy's law and constitutive equation for power－law fluids.It is found that the flow rate for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall is larger than that through a circular pipe with impermeable wall and the flow rate increases with the increase of power index n.

power－law fluids；permeable；constitutive equations；Hagen－Poiseuille equation

O373

A

1000－1190（2011）04－0561－04

2011－05－21.

＊E－mail：mxiaohwbei＠sina.com.