不同梯度變化方式的不規則多孔結構設計與力學性能分析

湯永鋒 路 平 劉 斌 江開勇 顏丙功 劉嘉偉 韓 偉

1.華僑大學福建省特種能場制造重點實驗室，廈門，361021

2.華僑大學廈門市數字化視覺測量重點實驗室，廈門，361021

0 引言

多孔結構因具有結構輕量化、比強度高、吸能減振、生物相容性好等優秀的性能，在航天航空、汽車、骨植入體等領域有著廣泛的應用[1-5]。均勻的多孔結構力學性能單一，無法滿足復雜多樣的力學和生物性能要求，相比而言，梯度多孔結構通過調節孔隙率改變結構局部的力學性能，能夠滿足復雜多變的設計要求，如在骨組織工程中，梯度多孔結構能夠更好地模擬低孔隙率的皮質骨到高孔隙的松質骨梯度變化[6-7]。

多孔結構從形態上可以分為規則多孔結構和不規則多孔結構，規則多孔結構主要通過單元陣列獲得，建模簡單，力學性能可控。例如，Van GRUNSVEN等[8]通過電子束熔融(electron beam melting，EBM)技術制備Ti6Al4V梯度鉆石晶格，并利用混合原則預測了梯度多孔結構的壓縮性能。ZHANG等[9]采用試驗和有限元方法研究了梯度多孔結構在縱向上的壓縮變形行為。規則多孔結構因受限于單元陣列建模方式，在形成梯度多孔結構時會存在明顯的結構分層現象，這會對結構的制造和力學性能產生不利影響。不規則多孔結構不受單元結構限制，設計自由高，可以通過改變桿徑或調整密度的方式生成平滑過渡的梯度多孔結構。目前，基于Voronoi圖構建的梯度不規則多孔結構由于與自然界的多孔結構相似而受到大家的關注，如人體骨和天然海綿。GMEZ等[10]通過提取人體骨的CT圖像結合Voronoi圖原理來重建精確匹配人體骨小梁的多孔結構。WANG等[11]基于Voronoi圖原理設計梯度多孔結構，通過激光選區熔化(selective laser melting，SLM)技術制備實驗模型并進行壓縮實驗，研究了其力學性能和變形特點。LIU等[12]基于Voronoi圖設計出目標驅動的幾何和力學性能連續的梯度多孔結構。然而，目前對梯度多孔結構力學性能的研究主要集中于規則多孔結構，梯度變化方式簡單，對不同變化方式的梯度不規則多孔結構的力學性能研究仍較少。

本文首先利用Rhino軟件自帶的參數化設計插件Grasshopper提出了一種基于Voronoi圖的梯度不規則多孔結構設計方法，并設計了4種不同梯度變化方式的多孔結構；然后通過橫向壓縮和縱向壓縮實驗，研究不同梯度變化方式對多孔結構力學性能和變形行為的影響；最后引入等應力復合模型[13]和Voigt模型[14-15]結合Gibson-Ashby模型[1]預測梯度多孔結構的彈性模量。

1 材料和方法

1.1 均勻不規則多孔結構建模

本文的不規則多孔結構建模方法基于Voronoi圖[16]原理。Voronoi圖是以特定區域內的不同點作為種子點，通過相鄰種子點連線的垂直平分線對空間進行劃分。其定義如下：

V(Pi)={x∈Ω|d(x，Pi)

i，j∈In={1，2，…，N}}

(1)

在特定區域Ω中，Pi表示區域Ω中的種子點，d表示任意點到種子點的距離，V(Pi)表示以Pi為種子點的Voronoi單元，其示意圖見圖1。

(a)二維Voronoi圖 (b)三維Voronoi圖

利用三維建模軟件Rhino 6內置的Grasshopper插件對不規則多孔結構進行建模，均勻不規則多孔結構的設計流程圖見圖2。首先確定空間中的設計域，在該區域中生成規則點陣，接著以規則點陣中的每個點為中心生成概率球并在球內隨機生成新的點，將新的隨機點作為種子點對設計域進行Voronoi剖分，最后以Voronoi多邊形的邊線為基礎生成多孔結構。這種設計方法主要涉及不規則度ε、種子點數N和縮放系數K3個變量[11]。

(a)確定設計域 (b)分布規則點陣 (c)以每個點陣為中心生成概率球

在本文的研究中，將不規則度ε固定為0.5。由文獻[11]可知，種子點數N對多孔結構孔隙率基本沒有影響?？紫堵蔖與縮放系數K之間成線性關系(圖3)，縮放系數K增大，多孔結構支桿直徑減小，孔隙率增大。

圖3 孔隙率P與縮放系數K之間的關系

1.2 梯度不規則多孔結構設計

由1.1節可知，3個設計參數中，縮放系數K通過調節多孔結構支桿直徑的方式控制孔隙率，不規則度為定值，種子點數對孔隙率的影響較小，因此可以通過控制縮放系數K來改變支桿直徑大小，實現孔隙率的梯度變化。

本文在多孔結構z方向上實現梯度分布。在保證可制造性的前提下，取較大的孔隙率變化范圍，縮放系數K的變化范圍設置為0.5～0.75。為了避免隨機性對實驗結果的影響，每個方向上取10個種子點[17]，每個種子點在3個方向的距離為4 mm，最后模型的設計尺寸為40 mm×40 mm×40 mm，如圖4所示。

圖4 梯度多孔結構三維模型

為了模擬自然界和工程應用中各種復雜的梯度變化方式，本文設計了4種不同梯度變化方式的多孔結構，分別是線性函數(Lin)，二次函數(Quad)以及兩種不同梯度變化率的S形函數(Sig)，表達式分別為

P(z)=az+b

(2)

P(z)=az2+bz+c

(3)

(4)

其中，z表示模型高度方向上的位置，式(4)(S形函數)中的a、b分別控制梯度多孔結構的起始孔隙率和變化范圍，c控制梯度變化率，S形函數的兩種梯度變化方式分別記為Sig1和Sig2(圖5a)。

如圖5所示，對4種函數在水平方向進行10等分，將每等分處的縱坐標值分別賦給10層種子點的縮放系數K，以實現孔隙率在高度方向上的梯度分布。設計4種梯度變化方式的模型如圖6所示。

(a)z方向上縮放系數與種子點層號之間的關系

(a)Sig1 (b)Sig2

根據種子點層數將設計模型等分成10層，計算每層的孔隙率并擬合4種函數(圖7)以檢驗設計的可靠性。擬合4種函數的相關系數R2均接近于1，擬合結果良好?？s放系數K與層號q的關系以及孔隙率P在高度方向(z)的梯度變化關系見表1。

表1 4種梯度變化方式函數表達式

(a)等分成10層的梯度多孔結構

1.3 不規則多孔結構制造與壓縮實驗

使用光固化成形設備(Lite 600，上海聯泰科技有限公司)制造實驗樣品，材料為白色樹脂C-UV9400A(東莞愛的合成材料科技有限公司)，具體工藝參數為：層厚0.1 mm，掃描間距0.07 mm，掃描速度4000 mm/s。所有類別的模型均打印3個樣品。

對4種不同梯度多孔結構試樣分別進行縱向(載荷方向平行于梯度方向)和橫向(載荷方向垂直于梯度方向)壓縮實驗(圖8)，同時加入一組孔隙率相近的均勻多孔結構進行對比。壓縮實驗遵循GB/T 1041-2008國家標準，壓縮設備采用TSE504D(深圳萬測試驗設備有限公司)，壓縮速度為1 mm/min，并以50 Hz的頻率采集實驗數據，用攝像機記錄所有試樣的壓縮過程，并獲得其工程應力-應變曲線。彈性模量通過擬合工程應力-應變曲線在彈性階段的斜率獲得。

(a)縱向壓縮 (b)橫向壓縮

2 結果與分析

2.1 變形特點

由于4種不同變化方式的梯度多孔結構壓縮變形特點相似，因此以Lin型梯度多孔結構為例介紹其變形特點。選取應變ε為0、0.1、0.3、0.6時壓縮過程的圖像進行分析，如圖9所示。在應變為0.1時可以觀察到多孔結構支桿的屈服變形，縱向壓縮時的變形主要發生在高孔隙率部分。在應變為0.3時，已有部分支桿出現斷裂失效，縱向壓縮時高孔隙率部分的多孔結構表現出致密化的趨勢。在應變為0.6時，支桿基本上完全破壞，并逐漸致密化。梯度多孔結構橫向壓縮變形特點與均勻多孔結構十分相似，都是整個模型均勻地發生變形。這主要是因為這兩種結構在載荷方向上的孔隙率都是均勻的，這也說明在橫向壓縮過程中梯度結構不會改變多孔結構的變形特點。而在縱向壓縮時，梯度多孔結構則表現為從高孔隙率部分逐漸向低孔隙率部分坍塌變形，這主要是因為高孔隙率的多孔結構支桿直徑更細，結構強度更低，更容易失效。梯度不規則多孔結構在縱向壓縮時的變形特點與其他研究中的梯度規則多孔結構相似[18-19]。

圖9 不同應變下均勻和Lin型梯度多孔結構壓縮變形圖

2.2 力學性能

4種不同梯度變化方式的多孔結構縱向壓縮和橫向壓縮的應力-應變曲線見圖10，其中，(1)、(2)、(3)表示3次重復性實驗的數據。從圖10中的曲線可以清楚地分辨出線彈性階段、平臺階段和致密化階段[1]。在平臺階段橫向壓縮時應力基本不變，縱向壓縮時應力則表現為逐漸上升的趨勢。在平臺階段結束后進入致密化階段，致密化階段起始應變通過能量吸收效率法確定[20-21]，根據多孔結構壓縮的應力-應變曲線，能量吸收效率η可定義為

(a)Sig1 (b)Sig2

(5)

將能量吸收效率最大時的應變作為致密化起始應變，即

(6)

式中，σ為應力；εcd為致密化階段的起始應變。

4種不同梯度變化方式的多孔結構致密化階段的起始應變見表2，此時支桿完全破壞并相互接觸，致密化的多孔結構與實體相似，應力快速上升。對于同一種梯度變化方式的多孔結構，在小應變階段，橫向壓縮時的應力相比縱向壓縮時的應力更大；隨著應變的增大，縱向壓縮的應力逐漸增大并超過橫向壓縮的應力?？v向壓縮中，梯度不規則多孔結構在平臺階段的應力-應變曲線并沒有出現像梯度規則多孔結構那樣的明顯“臺階”狀[8，18-19]，主要因為本文設計的梯度不規則多孔結構孔隙率變化更加平滑，結構上沒有明顯的分層。

表2 4種不同變化方式的梯度多孔結構縱向和橫向壓縮力學性能

在縱向壓縮過程中，Sig1型和Sig2型梯度多孔結構在應變為0.15左右時，應力出現一個小幅度下降隨后又快速上升。由圖7b可知多孔結構梯度按S形函數變化時，高孔隙率的多孔結構占整體結構的比重更大，高孔隙率的多孔結構桿徑更細，孔隙更大，壓縮過程更容易因結構失效而出現失穩的情況，從而導致應力出現一個短暫的下降。同時S形函數梯度方式的多孔結構從高孔隙率過渡到低孔隙率變化斜率更大，高孔隙率結構致密化后直接進入低孔隙率部分的變形階段，低孔隙率的多孔結構孔隙更小，支桿變形后更容易相互接觸，從而導致應力的快速上升。相比而言，Lin型和Quad型梯度多孔結構高孔隙率部分占比較少而且從高孔隙部分到低孔隙率部分過渡比較平緩，則沒有出現這種情況。

4種不同梯度變化方式的多孔結構的縱向和橫向壓縮的力學性能見表2。對于梯度變化方式相同的多孔結構，橫向壓縮時的彈性模量和屈服強度均大于縱向壓縮的彈性模量和屈服強度，主要是因為縱向壓縮時多孔結構從強度較小的高孔隙率處開始變形，而橫向壓縮時低孔隙率和高孔隙率處的材料同時發生變形，低孔隙率部分具有更好的強度，使得整體結構在壓縮過程中表現出更高的彈性模量和屈服強度。在平均孔隙率相近的情況下，改變梯度變化方式并不會對縱向和橫向壓縮的彈性模量和屈服強度造成太大的影響。Quad型梯度多孔結構由于平均孔隙率最低，故其彈性模量和屈服強度都最大。

4種不同梯度變化方式的多孔結構橫向和縱向壓縮應力-應變曲線對比見圖11。由圖7b可知Sig1和Sig2型多孔結構相比于Lin型多孔結構在上半部分具有更高的孔隙率，在下半部分具有更低的孔隙率，這導致了在縱向壓縮中，平臺階段Lin型多孔結構在低應變時的應力大于Sig1型和Sig2型多孔結構，隨著應變的增大，Sig1型和Sig2型多孔結構的應力值逐漸超過Lin型多孔結構的應力值。對于橫向壓縮，在平均孔隙率相近情況下，改變梯度變化方式對應力-應變曲線幾乎沒有影響。Quad型多孔結構幾乎在每一層的孔隙率均低于其他3種梯度多孔結構，因此在相同應變下的應力大于其他結構的應力。

(a)縱向壓縮

2.3 彈性性能預測

Gibson-Ashby模型是由大量實驗和有限元分析結果總結得到的經驗公式，是描述多孔結構力學性能和體積分數關系的重要數學模型，常用來預測均勻多孔結構彈性模量：

E=EsCωn

(7)

式中，Es為基體材料的彈性模量；ω為多孔結構的體積分數；C、n為常數。

通過對6組不同體積分數的均勻多孔結構進行壓縮實驗來確定本文均勻不規則多孔結構的Gibson-Ashby模型，如圖12所示，表達式為

圖12 彈性模量E與體積分數ω之間的關系

E=865.15ω1.75

(8)

結合表1中孔隙率與高度的關系，可以得到梯度多孔結構在不同高度上的彈性模量：

E(z)=865.15(1-P(z))1.75

(9)

Gibson-Ashby模型對多孔結構彈性模量的表征沒有考慮結構內部存在梯度的情況，無法準確預測梯度多孔結構的彈性模量[18]。本文將梯度多孔結構看成由n層具有不同彈性模量材料組合而成的復合材料，如圖13所示。

(a)縱向壓縮 (b)橫向壓縮

對于縱向壓縮，假設每層材料受到的應力相等，采用等應力復合模型預測其彈性模量：

(10)

對于橫向壓縮，假設每層材料受到的應變相等，采用Voigt模型預測其彈性模量：

(11)

式中，Eg為整個梯度多孔結構的彈性模量；fi為第i層等效材料所占整個模型的體積分數；Ei為第i層等效材料的彈性模量。

連續分布的梯度多孔結構彈性模量可以通過積分求得，將式(9)代入式(10)、式(11)并進行積分可得

(12)

(13)

將表1中的孔隙率與高度之間的函數關系代入式(12)、式(13)，將獲得的預測結果與實驗結果作對比，如表3所示。從表3中能夠發現，預測值與實驗值的相對誤差基本在10%之內，預測結果良好，但相比于文獻[18]中的梯度規則多孔結構，本文的預測結果相對誤差較大，這可能是由不規則多孔結構的隨機性所導致。從預測結果來看，在橫向壓縮中，梯度變化方式對多孔結構彈性模量基本沒有影響，這與實驗所表現的結果一致。Quad型梯度多孔結構具有更高的彈性模量，說明增加低孔隙率的多孔結構所占比重，能夠提高梯度多孔結構的彈性模量。

表3 彈性模量預測結果和實驗結果對比

3 結論

本文利用參數化設計插件Grasshopper設計了4種不同梯度變化方式的不規則多孔結構，利用光固化成形工藝制備這4種梯度多孔結構，并進行縱向和橫向壓縮實驗，分析其變形特點和力學性能，主要有以下結論：

(1)通過控制縮放系數K在高度方向上的梯度分布，設計了4種不同梯度變化方式的多孔結構，設計結果與預期符合良好。

(2)梯度多孔結構橫向壓縮的變形特點與均勻多孔結構相似，表現為整體結構的均勻變形破壞，縱向壓縮表現出逐層坍塌的變形特點。

(3)橫向壓縮時應力-應變曲線在平臺階段的應力基本不變，縱向壓縮時平臺階段的應力逐漸上升。對于平均孔隙率相近的梯度多孔結構，改變梯度變化方式能夠影響縱向壓縮的應力-應變曲線和力學性能，但對橫向壓縮則基本沒有影響。降低梯度多孔結構的平均孔隙率可以顯著提高多孔結構的彈性模量和屈服強度。

(4)將梯度多孔結構看成復合材料，通過等應力復合模型和Voigt模型并結合Gibson-Ashby模型可以有效預測梯度多孔結構縱向壓縮和橫向壓縮的彈性模量，相對誤差基本都在10%以內。