漸近周期點的若干性狀*

鄒 成 趙清俊

（1.四川化工職業技術學院基礎部，四川 瀘州646005;2.重慶文理學院數學與統計學院，重慶 402160）

連續自映射反復迭代生成的拓撲動力系統的研究真正開始于20世紀30-40年代，但近年來得到了蓬勃發展.各種點集是一維動力系統中的重要內容，因為它在系統中具有很好的動力性質.1964年烏克蘭數學家沙爾可夫斯基（sarkovskii）指出周期點的周期呈現出相當整齊的規律后，相當多的文獻都對其進行了研究，并立即推廣得到了幾乎周期點、終于周期點、回歸點、ω-極限點、非游蕩點、鏈回歸點等各類非游蕩點集，同時諸多學者對它們的性質進行了大量討論［1-7］.但對于漸近周期點，卻少有提及，此處則對漸近周期點的相關性狀作一點探討.

1 預備知識

記I=［0，1］，f:I→I是［0，1］上的一個連續自映射.以下預備知識引自文獻［8］或［9］.

定義1 對任意x∈I，若存在非負整數n，使fn（x）=x，則稱x為f的n－周期點，n為f的一個周期，f的所有周期點構成集合記為P（f）.

定義2x∈I稱為f的終于周期點，如果?n＞0，使fn（x）∈P（f），f的所有終于周期點構成集合記為EP（f）.

定義3x∈I稱為f的幾乎周期點，如果對于x的任意鄰域U，存在整數N＞0，使得在連接著的N個數中總有某一個n適合fn（x）∈U，f的所有幾乎周期點構成集合記為AP（f）.

定義5x∈I稱為回歸點，如果對于x的任意鄰域U，存在非負整數n，使fn（x）∈U，記為R（f）.

定義7x∈I稱為f的非游蕩點，如果對于x的任意鄰域U，存在非負整數n，使fn（U）∩U≠?.f的非游蕩點集記為Ω（f）.

顯然有，Ω（f）?W（f）?R（f）?P（f）.

定義8 Λ∈I稱為f的（強）不變子集，若f（Λ）?Λ（f（Λ）=Λ）.

引理9 若F?I是一個區間，并且F∩P（f）=?，則必有下列之一:

（1）對于任意的n＞0和任意的x∈F，只要fn（x）∈F，則有fn（x）＞x.

（2）對于任意的n＞0和任意的x∈F，只要fn（x）∈F，則有fn（x）＜x.

稱（1）的情形滿足時，F是一個正型區域;（2）的情形滿足時，F為負型區域.

2 主要結果

命題1P（f）?EP（f）?APer（f），顯然成立.

命題2 在I上，f的漸近周期點集APer（f）是可迭代的，即APer（f）=APer（fn），且APer（f）是強不變集.

證明 顯然有APer（f）?APer（fn）.

故APer（f）?APer（fn）.立即得到APer（f）是強不變集.

定理1 若I上f的周期點集為閉集，則有APer（f）=AP（f）=EP（f）=P（f）=R（f）.

證明 i）I上f的周期點集為閉集，則由文獻［8］，立即有P（f）=R（f）.

ii）證APer（f）=P（f）.

命題3 若I上f的周期點集為開集，則APer（f）與Ω（f），W（f），R（f）沒有必然的包含關系.

證明起來是非常復雜的，見下反例:

設線段I=［0，1］上的連續自映射f如圖1，它滿足下列條件:f（a）=b，f（b）=b，f（x）在b附近單調，且從斜率大于－1小于0.

顯然，對于一列非負整數 δi，i=1，2，3，…;f（a+ ε）=b－δ1;f2（a+ε）=b+δ2;f3（a+ε）=b－δ3;…;fn（a+ε）=b+（－1）nδn.且有δn+1＜δn，即有fn（a+ε）→f（b）=b.

圖1 線段I=［0，1］上的連續自映射f

［1］張偉年.動力系統基礎［M］.北京:高等教育出版社，2001

［2］周作領.符號動力系統［M］.北京:上?？萍冀逃霭嫔?，1997

［3］李繼彬.混沌與Melnikov方法［M］.重慶:重慶大學出版社，1989

［4］熊金城，拓撲傳遞系統中的混沌［J］.中國科學A輯·數學，2005.35（3）:302-311

［5］陳綏陽，褚蕾蕾.動力系統基礎及其方法［M］.北京:科學出版社，2002

［6］關鵬.關于幾乎周期點的討論［J］.河南科技大學學報，2007，28（5）:76-78

［7］范欽杰.混沌與拓撲混合［J］.大學數學，2004，20（6）:68-72

［8］熊金城.線段自映射的動力系統:非游蕩集、拓撲熵及混亂［J］.數學進展，1988.17（1）:1-11

［9］周作領.一維動力系統［J］.數學月刊，1988，3（3）:43-65