基于光正交碼構造的準循環LDPC碼

黃 河，趙澤茂

(杭州電子科技大學通信工程學院，浙江杭州310018)

0 引言

低密度奇偶校驗(Low Density Parity Check，LDPC)碼是一種基于稀疏矩陣的線性分組碼，然而由于提出時計算機處理能力的限制和相關理論的薄弱，該碼并未引起人們的重視［1］。近年來人們重新研究了LDPC碼，使這種優秀的編碼理論開始復興。LDPC碼通常采用置信傳播(Belief Propagation，BP)譯碼算法，而BP譯碼算法只有在校驗矩陣中無環的情況下才能實現錯誤概率最小的最佳譯碼，因此使用BP譯碼算法難以達到最優的譯碼效果。準循環LDPC碼是最為典型的結構化構造方法，由于其便于硬件實現，同時還有良好的譯碼性能，已被多個通信標準所采用。另外，利用有限幾何的方法構造出了不含4環的LDPC碼［2］，其碼長和碼率范圍大，性能良好。本文基于光正交碼的特性提出的準循環LDPC碼的構造方法也是一種結構化的構造方法，其校驗矩陣不含長度為4和6的環路，并且具有良好的性能。

1 準循環LDPC碼的特性

準循環LDPC碼是一類非常具有特點的結構化LDPC碼，其結構特點大大地簡化了編譯碼復雜度，可以采用移位寄存器在線性時間內完成編碼。這些優良的特性，使其極具應用價值。準循環LDPC碼的校驗矩陣H以單位矩陣的循環移位矩陣和相同維數零方陣為子陣。通常，準循環LDPC碼的校驗矩陣可表示為

式中，I表示 L ×L 維單位矩陣，αi，j表示單位矩陣向右循環移動的位數，αi，j∈{－1，0，1，…，L －1}，1≤i≤m，1≤j≤n。當 αi，j= －1 時，定義 I(αi，j)為全零矩陣;當 αi，j非負時，I(αi，j)為單位矩陣的循環移位矩陣?？梢詫⒀h移位參數αi，j構成矩陣:

矩陣B被稱為校驗矩陣H的移位參數矩陣。一般情況下，當移位參數矩陣確定后，校驗矩陣H相應的也就確定了。

移位參數矩陣B中每一條長度為2l的環路中各個點均不為負值，其環路可以表示為(αi0，j0，αi0，j1，αi1，j1，…，αil－1，jl－1，αil－1，j0，αi0，j0)。

根據文獻3對準循環LDPC碼的研究，有如下性質及推論。

2 光正交碼的特性

光正交碼是為碼分多址光纖信道設計的一種專用碼［4］，提出后得到人們的廣泛關注，并取得了很多研究成果，其碼字數量較為豐富。

定義 光正交碼記為(n，ω，λa，λc)，是由一組互異的，長度為n，碼重為ω的0、1序列組成的碼的集合，并且每個碼字(x0，x1，…，xn－1)的循環自相關函數和任意兩個相異碼字(x0，x1，…，xn－1)與(y0，y1，…，yn－1)之間的循環互相關函數分別滿足:

這里的光正交碼是根據周期相關來定義的，下標“⊕”是模n加，xi，yi∈{0，1}。式中λα為循環自相關值，λc為循環互相關值，當 λα=λc=λ 時，光正交碼可記為(n，ω，λ)。

本文中所使用的光正交碼均是λ=1時產生的光正交碼，即(n，ω，1)光正交碼。如果(n，ω，1)光正交碼碼集中碼字個數等于(n－1)/ω(ω－1)，那么這個光正交碼稱為最優光正交碼。本文中所使用的光正交碼并不要求其一定是最優光正交碼，主要是利用了光正交碼碼字的循環自相關和循環互相關特性。

現假設含有m個碼字的(n，ω，1)光正交碼集，其中每個碼字通過循環移位生成方陣Mi，1≤i≤m，構造出矩陣M=[M1M2… Mm]，M是一個0，1矩陣。由于方陣Mi是循環移位矩陣，故其各列相當于其各行的翻轉。根據(n，ω，1)光正交碼的自、互相關特性，可得出矩陣M中任意兩列的內積不會大于1，也就是說任意兩列中最多有一個“1”元素重合，故可得矩陣M不含長度為4的環。但是不能保證矩陣M中不含有長度為6的環。如果直接對M用L×L階單位循環矩陣填充的話，長度為6的環的數量將增長L倍。

3 準循環LDPC碼的構造方法

由于用BP譯碼算法時，短環對譯碼性能影響很大，應盡量避免短環的存在，(n，ω，1)光正交碼的循環自相關與循環互相關特性的約束，可以保證構造的校驗矩陣中不含長度為4的環路，然后再利用第2節的推論可以消去所有長度為6的環路。

通常構造準循環LDPC碼需要兩個步驟:首先確定移位參數矩陣;然后用循環移位矩陣對移位參數矩陣進行填充。本文提出的基于光正交碼的準循環LDPC碼的構造方法具體步驟如下:

(1)根據所需LDPC碼的列重、行重、碼長、碼率等參數，確定所需光正交碼的個數m、光正交碼的碼長n以及單位循環移位矩陣的維數L×L;

(2)從選中的光正交碼集中取出m個不同的碼字，將這m個碼字分別循環右移，生成m個方陣M1，M2，…，Mm，將這m個方陣組合成矩陣M=[M1M2… Mm]，pi，j為矩陣 M 中的元素;

(4)由于矩陣M中不含長度為4的環路，故經過步驟3后，移位矩陣B中依然不含長度為4的環路。然后檢驗移位參數矩陣B中的非零元素是否完全滿足第2節的推論。如果不完全滿足推論，則對移位矩陣B中的非負元素進行修正，使這些非負元素完全滿足推論。經過這個步驟后，該移位矩陣構造的校驗矩陣將不含長度為4和6的環路;

(5)最后根據移位矩陣B中的參數αi，j，使用相同維數的全零矩陣、單位矩陣、單位矩陣循環右移αi，j位的矩陣來填充移位參數矩陣，這樣即可得到一個碼率為(m－1)/m的校驗矩陣H。

本文提出的構造方法參數選擇比較靈活，通過調整光正交碼的長度、個數和循環置換矩陣的維數等來確定碼字的碼長及碼率。由于光正交碼碼字數量較為豐富，故LDPC碼的碼長、碼率的設計也比較靈活。

4 仿真結果及分析

在加性高斯白噪聲信道下，對本文新方法構造的準循環LDPC碼采用高斯消元法進行編碼，然后使用BP譯碼算法進行譯碼仿真，仿真工具使用Matlab，仿真中采用BPSK調制，最大迭代次數為100次。

仿真1 選取(21，3，1)光正交碼集，然后選取該碼集的兩個相異碼字，通過第3節中提出的構造方法構造準循環LDPC碼，分別設置循環移位矩陣的維數為24和48，分別構造出碼長為504和1 008的準循環LDPC碼，兩者碼率均為1/2，并選取Mackay構造法［5］構造的相同碼長、碼率的碼字做為比較對象。仿真結果如圖1所示，其中OOCQC為本文構造的LDPC碼，從圖1中可以看出本文構造的準循環LDPC碼在兩種長度下的性能均優于Mackay碼，并且在誤碼率達到10－6時，并未出現誤碼平臺。

仿真2 根據(27，3，1)光正交碼碼集構造出的碼長為1 296的LDPC碼，碼率分別為3/4，2/3，1/2。仿真結果如圖2所示，不同碼率相同碼長的LDPC碼在誤碼率達到10－6時，并未出現誤碼平臺。

圖1 在碼長為504和1008時與Mackay碼的比較

圖2 在碼率為3/4，2/3，1/2時的性能

以上仿真結果表明，新構造的基于光正交碼構造的準循環LDPC碼具有良好的性能，性能優于Mackay構造法，并且在誤碼率達到10－6數量級時，仍然沒有出現誤碼平臺。Mackay構造法構造的校驗矩陣雖不存在長度為4的環路，但是存在一定數量的長度為6的環路，可以看出這些短環對譯碼性能還是有一定的影響的。

5 結束語

本文提出了一種基于光正交碼的特性構造準循環LDPC碼的方法，構造出了不存在長度為4和6的環路的準循環LDPC碼。仿真結果表明，在采用BP譯碼算法時本文構造的準循環LDPC碼具有良好的性能，且在誤碼性能達到10－6數量級時，并未出現誤碼平臺。同時，可以靈活地調整LDPC碼的碼長及碼率，使其在應用中有更多的選擇。

［1］ Gallgaer R G.Low density parity check codes［J］.IRE Transactions Information Theory，1962，8(1):21 －28.

［2］ Kou Y，Lin S，Fossorier M P C.Low density parity check codes based on finite geometries:A rediscovery and new results［J］.IEEE Trans on Information Theory，2001，47(7):2 711 －2 736.

［3］ Fossorier M P.Quasi-cyclic low density parity check codes from circulant permutation matrices［J］.IEEE Trans on Information Theory，2004，50(8):1 788 －1 793.

［4］ 楊淑雯.全光光纖通信網［M］.北京:科學出版社，2004:336－257.

［5］ Mackay D J C.Good Error-Correcting Codes Based on Very Spase Matrices［J］.IEEE Trans on Information Theory，1999，27(5):399－431.