一類概率依賴的不完全測量非線性系統的H∞濾波

，

車 艷 舒慧生

（1.莆田學院電子信息工程學系，福建莆田351100；2.東華大學信息學院，上海 201620）

一類概率依賴的不完全測量非線性系統的H∞濾波

，

車 艷 舒慧生

（1.莆田學院電子信息工程學系，福建莆田351100；2.東華大學信息學院，上海 201620）

闡述了一類具有不完全測量的，隨機離散非線性系統的H∞濾波問題.不完全測量信息包括了測量數據丟失和隨機發生地通訊延時.通過一組Kroneckerδ函數，采用一個測量輸出方程同時描述了網絡化控制系統中隨機出現地通訊時延和測量數據丟失現象.文章的目的是使得對所有允許的時滯、測量數據丟失、隨機非線性及系統內外部隨機擾動，濾波誤差動態系統滿足均方指數穩定和H∞范數約束.最后，通過數值例子來證明文章所述H∞濾波器的有效性.

不完全測量；測量數據丟失；隨機通訊時延；H∞濾波；網絡化控制系統

0 引 言

本文研究了一類具有不完全測量的，隨機離散非線性系統的H∞濾波問題.首先闡述H∞性能指標.眾所周知，它是用來估計系統干擾抑制水平的.在過去三十年中，自Zames［1］開創性研究以來，H∞控制、濾波理論得到了快速發展［2－10］，尤其是1988年Doyle等人［11］在美國控制年會上發表了著名的DGKF論文，證明了H∞控制器設計問題歸結為求解兩個適當的Riccati方程.同樣，已經證明H∞濾波問題的可解性對于線性情況歸結為一個適當的Riccati不等式，對于非線性情況歸結為一個Hamilto－Jacobi不等式.

非線性存在于幾乎所有的現實系統中，對于狀態方程或量測方程是非線性時，為了簡化系統模型和研究方便，現有文獻對非線性增加了不同的約束條件，廣泛采用的如Lipschitz條件［12－13］.本文考慮的是扇形有界非線性，Lipschitz條件作為其特例，使得這一非線性的描述，更具一般性，更加貼近實際工程情況.

不完全測量包括了測量數據丟失和隨機發生地通訊延時.在各類網絡化控制系統中，例如因特網，傳感器網絡等，多個網絡節點共享網絡信道，由于網絡帶寬有限且網絡中的數據流量變化不規則，當多個節點通過網絡交換數據時，常常出現數據碰撞、多路徑傳輸、連接中斷、網絡擁塞等現象，因而不可避免地出現信息交換時間延遲及丟包現象.本文通過一組Kroneckerδ函數，建設性地用一個測量輸出方程同時描述了網絡化控制系統中隨機出現地多重時延和測量數據丟失現象.通過仿真證明了文章所述H∞濾波器的有效性.

1 問題描述

考慮下面一類隨機離散非線性系統：

其中x（k）∈?n是狀態向量，y（k）∈?p是測量輸出，z（k）∈?q是要估計的系統輸出，ω（k）是定義在概率空間（Ω，F，｛Fk∈I＋｝，P）上的一個一維零均值Gaussian白噪聲序列并且滿足Eω（k）2＝1，υ（k）∈?p，是外部隨機信號，A，Bi，C，Di，E1，E2，E3，L1是相適維已知矩陣，di∈I＋（i＝1，2，…，q）是已知時延滿足d1＜d2＜…＜dq，為研究方便設d0＝0，Ψ（k）是給定初始條件.

｛τk｝是獨立同分布的隨機變量，表示在時刻k發生時延的大小及測量丟失的概率［14］.δ（τk，di）是Kronecker delta函數滿足：

φi（·）和ˉφi（·）是滿足下列扇形有界條件的非線性函數：

其中Ni與（i＝1，2，…，q）是已知正對角矩陣.

對系統（1）設計如下一般形式的線性濾波器：

其中＾x∈?n是狀態估計，＾z（k）是z（k）的估計，M1與M2是待設計濾波器參數，L2是已知相適維矩陣.設ξ（k）＝［xT（k）＾xT（k）］T，~z（k）＝z（k）－＾z（k），可有增廣系統：

為研究式（5）的隨機穩定性，做下面定義：

定義1 在υ（k）＝0的情況下，如果存在常數α＞0，β∈（0，1），使得

則濾波誤差動態系統（5）稱為均方指數穩定.

本文的目的是為系統（1）設計一個如（4）所示的H∞濾波器，使得下面兩個條件同時滿足：

（R1）濾波誤差動態系統（5）均方指數穩定；

（R2）給定標量γ＞0，對于所有非零ν（k），在零初始條件下，濾波誤差~z（k）滿足

2 主要成果

引 理 1 定 義 Ξ （k）： ＝［ξT（k） ξT（k－1） … ξT（k－dq）］T.考慮下面Lyapunov候選函數

其中P，Q是正定矩陣，Z在（6）中有定義，如果存在標量φ＞0使得

則濾波誤差動態系統（5）是均方指數穩定.

證明：據式（9）有

對任一整數N≥dq＋1，對式（12）兩邊從0至N－1關于k求和有

因此，濾波誤差動態系統（5）滿足定義1，是均方指數穩定，至此引理1證明完成.

定理1 給定擾動衰減γ＞0和濾波參數M1和M2.如果存在正定矩陣P＝PT＞0，Q＝QT使得矩陣不等式（21）成立，則v（k）＝0系統（5）均方指數穩定且濾波誤差~z（k）滿足H∞條件（8）.

證明：首先處理υ（k）＝0情況下式（5）的穩定性分析，選擇與式（9）相同的Lyapunov泛函，通過定義V（k）差分有

至此，由引理1知濾波誤差系統（5）均方指數穩定.

下面處理υ（k）≠0情況，容易得到

說明式（5）是均方指數穩定，因此在零初始條件下有

至此，證明完成.

下面的定理2為濾波器參數的設計提供了一個充分條件，為了簡潔，定理的證明在此略去.

定理2 給定擾動衰減γ＞0，濾波誤差系統（5）在υ（k）＝0時均方指數穩定；并且濾波誤差~z（k）在零初始條件下及任意非零υ（k）下，如果存在正定矩陣R＝RT＞0，S＝ST＞0，Q＝QT＞0，實數矩陣Q1，Q2與Q3使得式（31）成立，則（5）均方指數穩定.

綜上所述，文章為非線性隨機系統（1）關于測量丟失和隨機發生的通訊時延完成了H∞濾波器的設計.值得說明的是包含了線性對象和LMIs的式（31）很容易通過常用的數值軟件解得.

3 數值例子

本節通過數值例子來說明文章所提出理論的有效性.

給定系統（1）的參數如下：

仿真時，設置初始條件為x（－2）＝［0.1 －0.1］T，x（－1）＝ ［0.2 －0.2 ］T，x（0）＝［0.3 －0.3 ］T.仿真結果詳見圖1與圖2，圖1是實際測量輸出和理想測量輸出的比較，圖2是濾波誤差.仿真結果證明本文所述濾波器性能很好.

圖1 實際測量輸出y1（1，k）與理想測量輸出y2（1，k）Fig.1 Actual measurements y1（1，k）and ideal measurements y2（1，k）

圖2 濾波誤差~z（2，k）Fig.2 Filtering eror~z（2，k）

［1］Zames G.Feedback and optimal sensitivity：model reference transformations，multiplicative seminorms，and approximate inverses［J］.IEEE Transactions on Automatic Contr，1981，26（2）：301－320.

［2］Nguang S K.Robust nonlinear H∞output feedback control［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1996，41（7）：1003－1007.

［3］Nguang S K，Shi P.Nonlinear H∞filtering of sampled－data systems［J］.Automatica，2000，36：303－ 310.

［4］Berman N，Shaked U.H∞control for discrete－time nonlinear stochastic systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2006，51（6）：1041－1046.

［5］Berman N，Shaked U.H∞－like control for nonlinear stochastic systems［J］.Systems ＆Control Letters，2006，55（3）：247－257.

［6］Wang Z，Yang F，Ho D W C，et al.Robust H∞filtering for stochstic time－delay systems with missing measurements［J］.IEEE Trans Signal Processing，2006，54：2579－2587.

［7］Dong H，Wang Z，Gao H.Robust H∞filtering for a class of nonlinear networked systems with multiple stochastic communication delays and packet dropouts［J］.IEEE Trans Signal Processing，2010，58（4）：1957－1966.

［8］Wang Z，Lam J，Ma L，et al.Variance－constrained dissipative observer－based control for a class of nonlinear stochastic systems with degraded measurements［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2011，377：645－658.

［9］Shen B，Wang Z，Hung Y S，et al.Distributed H∞filtering for polynomial nonlinear stochastic systems in sensor networks［J］.IEEE Trans Industrial Electronics，2011，58（5）：1971－1979.

［10］吳云韜，舒娟娟，黃龍庭，等.基于狀態空間實現的EDS頻率與時延聯合估計［J］.武漢工程大學學報，2011，33（1）：71－74.

［11］Doyle J，Glover K，Khargonekcar P，et al.Statespace solutions to the standard H2and H∞control problems［J］.IEEE Transaction Automatic Control，1989，34（8）：831－847.

［12］Yaz E E，Yaz Y I.State estimation of uncertain nonlinear stochastic systems with general criteria［J］.Applied Mathematics Letters，2001，14（5）：605－610.

［13］Yang F，Wang Z，Ho D W C，et al.Robust H2filtering for a class of systems with stochastic nonlinearities［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems II，2006，53（3）：235－239.

［14］He X，Wang Z，Zhou D.Network－based robust fault detection with incomplete measurements［J］.International Journal of Adaptive Control and Signal Processing，2009，23：737－756.

Probability－dependent H∞fltering for a class of nonlinear systems with incomplete measurements

CHEYan1，2，SHUHui－sheng2
（1.Department of Electronics and Information Engineering，Putian University，Putian 351100，China；2.College of Information Sciences and Technology，Donghua University，Shanghai 201620，China）

TheH∞filtering problem is discussed for a class of nonlinear stochastic discrete systems with incomplete measurements.The considered incomplete measurements include both the missing measurements and the communication delays of random occurrences.By using a set of Kronecker delta functions，a unified measurement model is employed to describe the phenomena of random communication delays and missing measurements in networked control systems.The purpose of the problem addressed is to design anH∞filter such that，for all nonlinearities，incomplete measurements，internal and external disturbances，the filtering error dynamics is exponentially mean－square stable and theH∞－norm requirement is satisfied.A numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed filter scheme.

incomplete measurements；missing measurements；randomly occurring communication delays；H∞filtering；networked control systems

TP202

A

10.3969／j.issn.1674－2869.2011.11.025

1674－2869（2011）11－0099－06

2011－04－24

國家自然科學基金項目（No.60974030）；福建省教育廳科技項目（No.JA11211）

車 艷（1970－），女，黑龍江雙城人，碩士，在讀博士.研究方向：網絡化系統的隨機控制、數據庫（分布式數據庫）及應用技術、計算機操作系統.

本文編輯:龔曉寧