基于秩虧損的近場源定位快速算法

汪 海，吳云韜

（武漢工程大學智能機器人湖北省重點實驗室，湖北武漢430074）

基于秩虧損的近場源定位快速算法

汪 海，吳云韜

（武漢工程大學智能機器人湖北省重點實驗室，湖北武漢430074）

為避免近場源參數估計中的搜索計算，提出了一種改進的Root－MUSIC算法.該算法把陣列分成兩個對稱的子陣，并利用兩個子陣信號子空間的廣義旋轉關系得到信號源角度的估計，然后利用估計出的角度和GESPRIT方法給出距離的估計.該方法在低信噪比下性能優越，能完成參數的自動匹配，且無需譜峰搜索計算復雜度低.仿真結果表明了此算法的有效性.

Root－MUSIC；近場源；距離估計；角度估計

0 引 言

空間譜估計是近三十年來發展起來的新興信號處理理論，它在雷達、通信、聲納等領域有著眾多的應用，而空間信號源的波達方向估計是其研究的一個重要方向.

在近場源參數估計中，許多研究方法相繼被提出，如最大似然方法［1］、二維MUSIC方法［2］、一維MUSIC方法［3］等，最大似然方法的估計性能最好，但是需要進行多維譜峰搜索，計算復雜度很高；二維MUSIC方法的估計性能比較高，但是需要搜索譜峰和參數匹配；一維MUSIC方法雖然可以完成參數的自動配對，但仍需要一維搜索，計算復雜度較高.現有的方法中，ESPRIT－like方法［4］，二級 MUSIC［5］和加權線性預測方法（WLP）［6］等能夠直接給出參數的閉式解且精度比較高，但是ESPRIT－like和二級MUSIC［5］需要構造高階累積量，其計算復雜度仍然很高；WLP算法需額外的參數配對，在信源參數比較接近時可能會配對失敗.文獻［7］提出了一種利用對稱陣元結構的GESRPIT參數估計方法，有著較好的估計性能，但是需要2次一維參數搜索，計算復雜度很高，并且構造的譜函數在低信噪比下會出現譜峰數小于真實信號個數或偽峰過高而導致角度搜索失敗的問題，從而導致整個參數估計的性能下降.文獻［8］針對文獻［7］中的角度搜索給出了一種閉式解，并且提出了利用聚焦方法來估計信號源的角度，但是在距離的估計中卻仍然需要搜索計算，另外，聚焦方法需要利用基于波束形成的方法進行預估計，一定程度上限制了其實際應用.文獻［9－10］分別提出了一種關于頻率、角度和距離的聯合估計新算法，文獻［9］無需參數匹配，對角度和頻率的估計比較好，而且還可以很好的分辨多個空間分布很近的信號源，但是其對距離的估計精度較差，文獻［10］提出了一種基于平行因子分析的算法，該算法參數自動匹配，計算量小，但是在低信噪比下性能損失嚴重，無法解決弱信號環境下的信源定位問題.針對以上參數化估計［11］的情況，改進了文獻［7－8］中提出的基于GESPRIT技術的近場源定位方法，給出了一種適用于高斯白噪聲環境下的近場源參數估計快速算法，該方法無需搜索計算因而計算量低，仿真結果表明在低信噪比情況下也能給出很好的估計性能，且估計出的二維參數能自動匹配.

1 信號接收模型和子空間特征分解

考慮近場接收信號情況，如圖1所示，K個非相干信號入射到N（奇數）個陣元組成的均勻線陣，陣元間距d≤，λ為載波的波長.通常，陣列信號矢量可以表示為：

s（t）＝［s1（t），s2（t），…，sk（t）］T是信號的復包絡矢量，噪聲矢量n（t）＝［n1（t），…，nN（t）］T.由式（1）得到陣列相關矩陣：

式（2）中，Rss為信號相關矩陣，σ2為噪聲功率，H表示共軛轉置.由于假定K個信號不相干，故Rss是可逆的.對Rxx進行特征分解有：

式（3）中，Us∈C（2M＋1）×K張成了Rxx的信號子空間，對角矩陣∧s∈CK×K是對應Us的特征值.類似地，Un∈C（2M＋1）×（2M＋1－K）張成了Rxx的噪聲子空間，對角矩陣∧n∈C（2M＋1－K）×（2M＋1－K）是對應Un的特征值.

2 近場源角度估計

文獻［7］中提出了一種基于譜峰搜索的算法，但其計算復雜度較高.為了減小計算復雜度，文獻［8］中給出了一種基于對稱陣元結構的Root－MUSIC方法，這種基于秩虧損的方法最初在文獻［12］中用于遠場源參數估計.

將信號子空間Us作如下劃分后得到Us1和Us2.

式（4）中，L＝K＋1，…，N－1表示子陣中陣元的個數.由式（1）和式（3）可知，存在一個K×K的滿秩矩陣G使得Us＝AG成立.

類似地，對應于第一個子陣和第二個子陣的Us1和Us2滿足關系：

式（5）中，矩陣A1和A2分別是A的前L行和A的后L行.

根據陣元配置的對稱結構有如下關系成立.

根據廣義的ESPRIT方法［3］，引進一個對角矩陣：

當θ＝θk時，M的第k列將會變成0，這意味著矩陣M的秩等于K－1.J是交換矩陣，其副對角線上的元素全為1，而其它位置上的元素均為0.

考慮到M的秩虧損特性和Ψ（θ）中冪的線性變化.令z＝e－j（4πd／λ）sinθk，式（8）變為：

方程式（11）的根中包含真實信號的角度信息.這里W∈C（2M＋1）×K是任意的列滿秩矩陣.式（11）有2（L－1）個根，其模最靠近單位圓的K個根α1，α2，…，αK對應K個信號源的角度θ1，θ2，…，θK.于是

3 近場源距離估計

關于距離估計，文獻［7－8］都給出了一種基于譜峰搜索的估計方法.這里，作者給出一種基于秩虧損的閉式參數估計方法.

考察A1和A2的結構，有

4 仿真結果

把陣列劃分成兩個子陣，每個子陣由L＝8個陣元組成.為了比較本文算法與文獻［7］與文獻［9］中的算法在不同信噪比SNR（Signal to Noise Ratio）下的均方根誤差（RMSE），設定快拍數為400次，并進行了500次Monte Carlo實驗.實驗結果如圖2～5所示.

圖2 信源1角度的估計性能Fig.2 Angle estimation performance of sources 1

圖3 信源2角度的估計性能Fig.3 Angle estimation performance of sources 2

圖4 信源1距離的估計性能Fig.4 Range estimation performance of sources 1

圖5 信源2距離的估計性能Fig.5 Range estimation performance of sources 2

圖2、3所示的是兩信源角度估計的RMSE隨SNR的變化.圖4、5所示的是兩信源距離估計的RMSE隨SNR的變化，分別對應信源1和信源2.

圖2和圖3中的CRB下界均由文獻［9］給出.由圖2、3可以看出，本文的算法性能在－10 d B到－5 dB時依然能保持良好，較文獻［9］小5 dB左右.隨著信噪比的增加，本文算法的優勢越來越明顯.SNR達到15 dB以后，文獻［9］的性能已經沒有明顯的增加，這就是前面提到的參數估計的收斂性能較差.本文算法較文獻［7］的算法，從－10 dB到15 d B二者參數估計的均方根誤差都非常相近.這里說明一下，當SNR大于15 dB時，文獻［7］的算法比本文的算法估計性能差，主要是由參數搜索的步長導致的.在仿真中，角度搜索步長設定為0.000 4π，距離搜索步長為0.000 2λ，從這二個數據中可以很明顯的發現本文算法的優勢，即計算復雜度低.為了定量的分析算法的運行時間，仿真用500次獨立運行得出文獻［7］算法的平均耗時為1 761.3 ms，而本文算法的平均耗時為5.3 ms，同樣的文獻［9］的平均耗時為1.8 ms.

文獻［7］中的算法雖然需要譜峰搜索，但是卻可以保證其估計的精度，如果搜索步長足夠小，其性能曲線和本文算法曲線是相同的.給出閉式解的參數估計大多是靠犧牲一部分估計性能而讓計算復雜度降低，如文獻［9］.而本文的算法能夠在降低計算復雜度的同時又不損失估計的精度，這就是本文算法的優勢所在.

5 結 語

基于接收陣列的對稱結構，給出了一種快速的近場源參數估計新算法，無需額外的參數匹配.通過兩次利用陣列導向矢量的結構和秩虧損的思想并基于GESPRIT方法估計出近場源的兩維參數.與文獻［7，8］中的算法相比，本文算法不需要譜峰搜索，能夠直接給出閉式解，極大的減少了算法的計算復雜度.與文獻［9］相比本文算法在沒有嚴重損失計算復雜度的前提下得到很好的估計性能.

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signal model for near－field source

Fast algorithm for near－field source localization by using rank reduction technique

WANG Hai，WU Yun－tao
（Key Lab of Intelligent Robot in Hubei Province，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430074，China）

A Root－MUSIC－based algorithm for near－field source parameter estimation is improved against the disadvantages of available spectral search computation.Firstly，the elevation angles of sources are estimated using the existing method based on the symmetric structure of array；and then substituting the estimated source elevation into the array manifold，the corresponding ranges are estimated by using the generalized ESPRIT（GESPRIT）.This method results in automatically match of the parameters and is computationally efficient compared to spectral search methods.Simulation results show the effectiveness of this algorithm.

Root－MUSIC；near－field source；range estimation；angle estimation

陳小平

TN911.72

A

10.3969／j.issn.1674－2869.2011.11.016

1674－2869（2011）11－0062－04

2011－09－29

國家自然科學基金（60802046；61172150）

汪 海（1985－），男，安徽合肥人，碩士研究生.研究方向：陣列信號處理.

指導老師：吳云韜，男，教授，博士，碩士研究生導師.研究方向：陣列信號處理、自適應信號處理中的信號檢測和參數估計、智能信息處理、無線傳感器網絡中的定位技術等.

圖1 近場源信號接收模型 Fig.1