承受扭矩和剪切時開口多孔金屬的孔棱失效

劉培生, 馬曉明

(1. 北京師范大學 核科學與技術學院，北京100875；2. 清華大學 核能與新能源技術研究院，北京100084)

承受扭矩和剪切時開口多孔金屬的孔棱失效

劉培生1, 馬曉明2

(1. 北京師范大學 核科學與技術學院，北京100875；2. 清華大學 核能與新能源技術研究院，北京100084)

以高孔率的三維網狀多孔金屬(即開口多孔金屬)為研究對象，建立其簡化結構失效模型。分析多孔構件在扭轉和剪切載荷形式作用下由于孔棱發生拉斷、剪切和屈曲而引起的失效模式，系統地研究上述兩種承載條件下這類多孔體構件受到載荷作用而導致孔棱失效時名義載荷與孔率的數理關系。在此基礎上，進一步研究此類材料在不同載荷作用下發生各種孔棱失效模式的載荷條件。結果表明，這些失效模式與多孔金屬的材質指標、孔率及承受的載荷大小等因素均有關系，這種關系也可以進行相應的具體數理表征。

多孔金屬；泡沫金屬；多孔材料

多孔金屬構件作為一種性能優異的工程材料，可用于分離、過濾、布氣、消音、吸震、包裝、屏蔽、熱交換、生物移植、電化學過程和各類輕質結構等諸多方面[1-3]。多孔金屬的工程應用對材料的力學性能有相應的要求，尤其是對于作為輕質結構件的場合。因此，國內外研究人員對多孔金屬的力學行為開展了大量的研究[1,4-21]。然而，以往的相關研究工作主要集中于多孔材料的拉壓性能[1,4]，國內外對多孔材料承受扭矩和剪切作用的力學行為研究相對少見[1,8-9,13-14,17,19]。CHEN等[8]對泡沫鋁充填薄壁方柱的扭轉行為進行了研究，結果發現填充物的存在改變了構件的扭轉坍塌機制，即抑制或減少了向內坍塌，并提高了薄壁方柱的扭轉抗力。BERNARD等[9]對泡沫鋁夾芯結構的扭轉實驗結果也發現，空心金屬方管在充入泡沫鋁芯體后，其結構的屈曲變形受到抑制，剛度得到提高。BLAZY等[13]研究了泡沫鋁的扭轉變形和破壞，發現其剪切應力—應變曲線顯示了一個短的彈性區和兩個明顯的硬化區，但未能解釋這兩個硬化段出現的原因。除此之外，沒有發現最近其他對于泡沫金屬在扭轉載荷作用下的有關研究。此外，RAKOW 和 WAAS[14]對泡沫鋁剪切響應的尺寸效應進行了實驗研究；KOVACIK[17]檢測了泡沫鋁的剪切模量；WANG等[19]也研究了泡沫鋁的剪切行為，發現閉孔泡沫鋁的剪切變形和破壞機制有別于壓縮機制?？梢?，對于開口多孔金屬及其構件的扭轉和剪切行為的研究，至今還是遠遠不足的。為此，本文作者在文獻[22-23]的工作基礎上，結合八面體模型[6,24]的有關計算結果，研究高孔率(孔率大于 70%[1])網狀開口多孔金屬構件在扭矩和剪切載荷作用下產生破壞時其孔棱的可能失效模式，以期為該材料在這些情況下使用時的強度設計提供更全面的依據。

1 分析模型和基本數理關系

1.1 分析模型

對于結構均勻、各向同性的三維網狀多孔金屬，可將其結構抽象為金屬棱柱(孔棱或孔筋)按立方體對角線方式規則地連接而成的多孔體[6,24-25]，該簡化結構模型的體心立方式八面體孔隙單元見圖 1。由于多孔體中的孔棱結點強度一般高于孔棱本身的，所以，失效、破壞一般優先發生在孔棱上。當多孔體構件承受扭轉、剪切載荷時，由其名義扭矩T或名義切應力τ引起的孔棱內部最大拉應力 σmax達到對應密實材質的許用正應力或抗拉強度σ0大小，或者最大切應力達到對應密實材質的許用切應力或剪切強度τ0大小，或者孔棱發生屈曲時，都會導致多孔體的整體性失效。

圖1 均勻開口網狀多孔金屬的簡化結構模型Fig.1 Structural unit of octahedron for isotropic open-cell reticulated foamed metals

1.2 基本數理關系

1.2.1 扭矩作用

如果有一個豎直方向的扭矩矢量T作用于多孔構件，則產生一個水平方向的剪切作用，參見圖 2。取扭矩造成最大剪切作用處的八面體單元為研究對象。根據文獻[22]的推演結果，如果多孔構件受到扭矩 T作用，則多孔體中孔棱出現的由扭矩引起的最大正應力和最大軸應力(它們發生在多孔構件的截面邊緣，或者說是多孔構件的表層部分)分別為

圖2 開口網狀多孔金屬在扭轉載荷作用下發生剪切的分析模型圖Fig.2 Analytical model of open-cell reticulated foamed metals under torsional loading

式中：θ是多孔體的孔率(θ ＞70%)；T為扭矩矢量 T的標量；WT(下標T為torsion的首寫字母，表示“扭轉”)為多孔構件的抗扭截面模量。

因此，孔棱中出現的最大正應力為

1.2.2 剪切作用

假定有一個水平方向的剪切力 τ作用于多孔構件，參見圖3。根據文獻[23]的推演結果，類似于本文第1.2.1部分對扭矩作用的處理，如果多孔構件受到名義切應力τ作用，則多孔體中孔棱出現的由剪切載荷引起的最大正應力和軸應力分別為

式中：τ為τ的標量。

圖3 開口網狀多孔金屬在剪切載荷作用下的分析模型圖Fig.3 Analytical model of open-cell reticulated foamed metals under shearing loading

因此，孔棱中出現的最大正應力為

2 失效模式分析

2.1 孔棱拉斷和剪切破壞模式

2.1.1 扭矩作用

根據文獻[22]的處理方式，可得出扭轉載荷作用下多孔體中孔棱發生拉斷破壞模式和剪切破壞模式時最大名義扭矩與孔率的數理關系表征分別為

式中：Tmax為多孔體能夠承受的最大名義扭矩；kT為扭轉材料常數，取決于多孔體的材質種類和制備工藝條件；m為多孔體對應致密材質的塑脆性指標，介于1～1.5(即 3/2)之間[6,22,25]；σ0和 τ0分別為多孔體對應致密材質的抗拉強度和剪切強度。對于對應致密構件的抗扭截面模量為 WP的多孔圓軸來說，其抗扭截面模量有如下關系[22]：

將式(11)代入式(9)和(10)，得

根據上文可以知道，當多孔金屬在扭矩載荷作用下滿足

時，多孔體將發生由孔棱最大正應力引起孔棱拉斷的破壞；而滿足關系

時，多孔體將發生由孔棱最大切應力引起孔棱剪斷的破壞。

當多孔金屬由相同材質并通過相同工藝方式制備時，則有相同的材料常數kT和相同的塑脆性指標m。根據式(14)和(15)，由于脆性材質的剪切強度與抗拉強度大小相當，即，因此，式(14)條件比較容易滿足，所以此時多孔體的孔棱將為拉斷破壞；而韌性材質的剪切強度略高于其抗拉強度的半值，即τ0≈(0.5～0.577)，因此，式(14)和(15)的條件相當，當材質的τ0為其σ0的半值或接近半值時，多孔體的孔棱趨向于剪切斷裂破壞；當材質的τ0超過其σ0/2一定程度時，多孔體的孔棱將趨向于拉斷破壞。

2.1.2 剪切作用

根據文獻[23]的處理方式，類似于本文第2.1.1部分對扭矩作用的處理，可得出剪切載荷作用下，多孔體中孔棱發生拉斷破壞模式和剪切破壞模式時，最大名義切應力與孔率的數理關系表征分別為

式中：τN(下標 N為nominal的首寫字母，表示“名義上的”)為多孔體能夠承受的最大名義切應力；kS(下標S為shearing的首寫字母，表示“剪切”)為剪切材料常數，類似于本文第2.1.1部分的扭轉材料常數kT。

根據以上所述可知，當多孔金屬在扭矩載荷作用下滿足

時，多孔體將發生由孔棱最大正應力引起孔棱拉斷的破壞；而滿足關系

時，多孔體將發生由孔棱最大切應力引起孔棱剪斷的破壞。

類似于本文第2.1.1部分的對應分析，當多孔金屬由相同材質并通過相同工藝方式制備時，有相同的材料常數kS和相同的塑脆性指標m。根據式(18)和(19)，由于脆性材質的剪切強度與抗拉強度大小相當，即τ0≈σ0[26]，因此，式(18)條件比較容易滿足，此時多孔體的孔棱將為拉斷破壞。而韌性材質的剪切強度略高于其抗拉強度的半值，即 τ0≈(0.5～0.577)σ0[26]，因此，式(18)和(19)的條件相當，當材質的 τ0為其 σ0的半值或接近半值時，多孔體的孔棱趨向于剪切斷裂破壞；當材質的τ0超過其σ0/2一定程度時多孔體的孔棱將趨向于拉斷破壞。

2.2 孔棱屈曲破壞模式

2.2.1 扭矩作用

由式(2)和(11)，得出此時多孔體孔棱的最大壓縮軸應力σA(下標A為axial的首寫字母，表示“軸的”)可進一步表示為

1)細長桿情形

如果以E表示對應致密材質的彈性模量，σp表示對應致密材料的比例極限，則當多孔體的孔率時，孔棱即為細長桿。此時，對于對應致密材質若有工作安全因數nw大于規定的穩定安全因數[n]st則承載系統不會發生屈曲。這里，σcr為對應致密材質的歐拉臨界應力；σ為對應致密材質的工作應力，亦即孔棱的壓縮軸應力σA。

將式(23)中的σ用式(20)中的 σA代替，并按照文獻[27]的方式進行處理，可得多孔體中孔棱發生臨界彈性屈曲時名義扭矩與孔率的數理關系

式中：kTT(下標第一個符號T為torsion的首寫字母，表示“扭轉”；第二個符號T為thin的首寫字母，表示“細長”)是由修正正應力大小而引入的材料常數，且kTT≈kT。

根據上式可直接得到此時多孔體孔棱發生彈性屈曲的載荷條件為

2)中長桿情形

當多孔體的孔率符合條件

時，孔棱即為中長桿。此時若有

則承載系統不會發生屈曲。這里的a和b均為與對應致密材料有關的常數(單位為 MPa)，其他符號意義同前。

將式(27)中的σ用式(20)中的 σA代替，并按照文獻[27]的方式進行處理，可得多孔體中孔棱發生臨界彈塑性屈曲時名義扭矩與孔率的數理關系

式中：kTM(下標第二個符號M為middle的首寫字母，表示“中長”)是類似于前述kTT的材料常數。

根據式(28)可直接得到此時多孔體孔棱發生彈塑性屈曲的載荷條件為

3)粗短桿情形

當多孔體的孔率符合條件

則承載系統不會發生屈服。這里的σs為對應致密材料的屈服應力，σmax為桿件中的最大壓應力(出現在孔棱截面的邊緣[27])。

將式(3)中的σmax代入式(31)，并考慮到式(11)的關系，同時按照文獻[27]的方式進行處理，即得多孔體中孔棱發生臨界邊緣屈服時名義扭矩與孔率的數理關系

式中：kTS(下標第二個符號S為stocky的首寫字母，表示“粗短”)是類似于前述kTT和kTM的材料常數。

按照文獻[27]的方式對式(32)進行作進一步的修正，并令常數項

式中：m的意義同前，是對應致密材料的塑脆性指標(介于 1～1.5 之間)。

根據式(33)可直接得到此時多孔體孔棱發生邊緣屈服的載荷條件為

2.2.2 剪切作用

根據式(6)可知，此時多孔體孔棱的最大壓縮軸應力 σA為

承本文第2.2.1部分，當多孔體的孔率滿足式(22)的關系時，孔棱即屬于細長桿的情形。將式(23)中的σ用式(35)中的 σA代替，并按照文獻[27]的方式進行處理，即可得多孔體中孔棱發生臨界彈性屈曲時名義切應力與孔率的數理關系

式中：kST(注：下標第一個符號S為shearing的首寫字母，表示“剪切”，下同；第二個符號T為thin的首寫字母，表示“細長”)是由修正正應力大小而引入的材料常數，類似于本文第2.2.1部分的kTT。

根據式(36)可直接得到此時多孔體孔棱發生彈性屈曲的載荷條件為

當多孔體的孔率符合式(26)的關系時，孔棱即屬于中長桿的情形。將式(27)中的σ用式(35)中的 σA代替，并按照文獻[27]的方式進行處理，即可得多孔體中孔棱發生臨界彈塑性屈曲時名義切應力與孔率的數理關系

式中：kSM(下標第二個符號M為middle的首寫字母，表示“中長”)是類似于前述kST的材料常數。

根據式(38)可直接得到此時多孔體孔棱發生彈塑性屈曲的載荷條件為

當多孔體的孔率滿足式(30)的條件時，孔棱即屬于粗短桿的情形。將式(31)中的σmax用式(7)代替，并按照文獻[27]的方式進行處理，即可得此時多孔體中孔棱發生臨界邊緣屈服時名義切應力與孔率的數理關系

式中：kSS(下標第二個符號S為stocky的首寫字母，表示“粗短”)是類似于前述kST和kSM的材料常數。

按照文獻[27]的方式對式(40)進行作進一步的修正，并令常數項

即得到

式中：m的意義同前，是對應致密材料的塑脆性指標(介于 1～1.5 之間)。

根據式(41)可直接得到此時多孔體孔棱發生邊緣屈服的載荷條件為

3 結論

1) 對于結構均勻、各向同性的三維網狀高孔率多孔金屬，在扭轉載荷作用下滿足

時，多孔體都將產生破壞：前者源于孔棱最大拉應力造成的孔棱拉斷，后者則源于孔棱最大切應力造成的孔棱剪切斷裂。

2) 上述多孔材料在剪切載荷作用下若滿足

時，多孔體都將產生破壞：前者源于孔棱最大拉應力造成的孔棱拉斷，后者則源于孔棱最大切應力造成的孔棱剪切斷裂。

3) 當上述多孔體的孔率 θ與其對應致密材質的彈性模量E、比例極限σp和屈服應力σs之間的關系分別滿足

且多孔體構件承受的名義扭矩T與對應致密材質的穩定安全因數[n]st、對應致密構件的抗扭截面模量WP和對應致密材質的屈服應力σs之間的關系依次達到如下條件

或者多孔體構件承受的名義切應力τ與對應致密材質的穩定安全因數[n]st和對應致密材質的屈服應力σs之間的關系依次符合如下條件

時，多孔體孔棱都將對應呈現彈性屈曲、彈塑性屈曲和邊緣屈服的失效形式。

4) 在扭轉和剪切載荷的作用下，脆性材質的多孔構件其孔棱多呈拉斷破壞模式，韌性材質的多孔構件當其材質的τ0為其σ0的半值或接近半值時，孔棱趨向于剪切斷裂破壞；而當τ0超過其σ0/2一定程度時，孔棱將趨向于拉斷破壞?？梢?，所論多孔構件在上述載荷作用的多數情況下都是孔棱拉斷破壞模式，較少出現孔棱的剪切斷裂破壞模式，當滿足一定條件時還可能出現孔棱彈性屈曲、彈塑性屈曲以及邊緣屈服等情況。

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Possible failure of pore-strut for open-cell foamed metals under torsion and shearing

LIU Pei-sheng1, MA Xiao-ming2
(1. College of Nuclear Science and Technology, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;2. Institute of Nuclear and New Energy Technology, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

The simplified structural models of failure were put forward for three-dimensional reticulated porous metals,i.e. open-cell porous metals, with high porosity. The failure modes were then analyzed for porous components under torsional and shearing loads, of which the destruction is caused by the tensile rupture, the shearing fracture and the yield of the pore strut of these porous metals. In addition, the mathematical relationships between the nominal loading and porosity were systemically studied for these failures of the pore strut of these components under loads resulting in the strut failure. On the basis of these works, the loading conditions of these porous materials were further studied for various strut failure modes from different loading. The results show that these failure modes are relative to the material indexes,porosity and loading magnitude, and these relationships can be correspondingly expressed by the specific mathematical equations.

foamed metal; porous metal; porous material

TB383

A

1004-0609(2011)09-2209-07

中央高?；究蒲袠I務費專項基金資助項目(2009SD-26)；北京師范大學測試基金資助項目(C10)

2010-09-23；

2011-02-25

劉培生，教授，博士；電話：010-62206024；E-mail: liu996@263.net

(編輯 何學鋒)