基于陣列流形分離的多輸入多輸出信道模型

姚 元 鄭劍鋒 馮正和

(清華大學電子工程系，北京 100084)

引 言

多輸入多輸出(MIMO)無線通信系統在收發端同時采用多根天線單元，通過利用無線信道的空間資源，可以極大提高通信容量[1]。然而，MIMO通信系統的優化設計和成功應用在很大程度上依賴于對MIMO信道復雜空時特性的深入了解。因此，MIMO信道建模成為近年來的研究熱點[1-9]。

MIMO無線信道包含收發天線陣列和無線傳播環境兩部分，如圖1所示。目前，MIMO信道模型從建模方法及范圍上可以分為兩大類：物理模型和解析模型[2]。物理模型對MIMO信道中的無線傳播環境部分進行描述，而未包含天線陣列的影響。典型的物理模型如雙方向信道模型[6-7]，通過關鍵的物理傳播參數描述無線傳播環境，這些物理參數包括多徑傳播的路徑衰減、離開角、到達角、延時等。物理模型獨立于所使用的天線陣列，因此具有通用性的優點，可方便用于評估不同天線陣列配置的MIMO系統的性能。然而物理模型的復雜度往往較高，而且難以進行系統分析與設計。

圖1 MIMO無線信道及模型范圍示意圖

另一方面，解析模型對MIMO信道矩陣直接進行數學描述，考慮了天線陣列和無線傳播環境的共同影響。典型的解析模型如基于空間相關性的隨機模型[1，8-9]。解析模型能夠提供MIMO信道矩陣的解析表達式，因此非常適合用于系統分析與設計，而且復雜度較低。然而，解析模型在建模時已經將天線陣列的影響考慮在內，因此其只能用于具有相同天線陣列配置的MIMO系統的分析與設計。即解析模型是天線非獨立的，不具有通用性。而且，在解析模型中無法分別考察天線陣列和無線傳播環境對MIMO系統性能的影響。因此，對于給定的無線傳播環境，難以進行天線陣列的優化設計。圖1給出了物理模型和解析模型的建模范圍。

針對現有MIMO信道模型所存在的不足，擬建立一種天線獨立的解析MIMO信道模型。首先通過三維陣列流形分離技術[10-12]將MIMO無線信道中的天線陣列和無線傳播環境分離開來，然后利用Weichselberger模型[9]的建模思想對分離后的無線傳播環境部分單獨進行統計建模，得到一種天線獨立的隨機MIMO信道模型。所建立的模型既具有物理模型天線獨立的通用性優點，可方便用于系統性能評估；又提供了MIMO信道矩陣的解析表達式，可方便用于系統分析與設計，并且復雜度較低。同時，天線陣列與無線傳播環境的分離使得可以單獨考察它們對MIMO系統性能的影響，并且便于研究給定無線傳播環境下收發天線陣列的優化設計。

1.陣列流形分離技術

陣列流形分離技術最初由文獻[10]提出，最近在陣列信號處理和測向等領域得到廣泛應用[11-12]?？紤]一個任意形狀的N單元單極化天線陣列，其導向矢量為b(θ，φ)=[b1(θ，φ)，…，bN(θ，φ)]T∈CN×1，其中CN×1表示N維復向量空間，(·)T表示轉置，φ∈[0，2π)表示方位角，θ∈[0，π] 表示俯仰角。依據陣列流形分離技術，b(θ，φ)可以分解為[10-12]

b(θ，φ)=Γy(θ，φ)+ε(θ，φ)

(1)

式中：?！蔆N×M稱為采樣矩陣；CN×M表示N×M復矩陣空間，采樣矩陣僅依賴于天線陣列的屬性，而和無線傳播環境無關；y(θ，φ)∈CM×1為空間基函數向量，其和天線陣列的屬性無關，M為空間基函數數目；ε(θ，φ)∈CN×1為陣列流形分解誤差向量，該誤差在M足夠大時基本可以忽略。

在三維空間中常用球諧基函數作為空間基函數，即[10，12-13]

(2)

(3)

式中： (·)*表示共軛； δll′表示離散Delta函數。定義單序號ξ=2++m+1，則y(θ，φ)的第ξ個元素即為可表示為

(4)

式中L與M的關系為M=(L+1)2.

采樣矩陣Γ包含了天線陣列的所有信息，如陣列單元方向圖、陣列單元位置等，同時還包含了陣列單元之間的耦合、陣列制造誤差等非理想特性，因此，陣列流形分離技術很適合用來描述現實中所使用的天線陣列。在實際應用中，采樣矩陣?？梢酝ㄟ^天線陣列的校準測量數據計算獲得[10-12]。

為了簡化分析，假設天線陣列單元為理想全向天線，并且不考慮天線耦合等非理想特性，則天線陣列導向矢量的第n個元素(1≤n≤N)可表示為[14]

bn(θ，φ)=exp(i2πpn·e)

(5)

式中：pn表示第n個天線陣列單元的位置矢量，該單元對波長進行歸一化的球坐標為(rn，θn，φn)；e表示指向(θ，φ)的單位矢量。此時，利用式(3)所示球諧基函數的正交性可計算采樣矩陣Γ的第n行第ξ列元素為[10]

=4π(i)j

(6)

式中：j(·)表示第一類球貝塞爾函數。

以圖2中的圓柱陣列(CA)和球陣列(SA)為例，它們的導向矢量為

bCA(θ，φ)= exp(i2π(RCAsinθcos(φ-φp)+

zqcosθ))

bSA(θ，φ)= exp(i2πRSA(sinθsinθqcos(φ-

φp)+cosθcosθq))

式中，(RCA，φp，zq)和(RSA，φp，θq)(0≤p≤P-1，0≤q≤Q-1)分別表示圖2中圓柱陣列和球陣列第q層第p個天線單元對波長進行歸一化的圓柱坐標和球坐標。天線陣列單元總數為N=PQ.取φp=2πp/P，zq=0.3(q-1)，θq滿足方程PQ(cosθq)=0，其中PQ(·)表示Q階勒讓德多項式。

圖2 圓柱陣列和球陣列示意圖

定義陣列流形分解的均方根誤差(RMSE)為

(7)

圖3給出不同天線陣列參數下圓柱陣列和球陣列的RMSE與空間基函數數目之間的關系。

圖3 不同天線陣列的建模誤差與空間基函數數目的關系

由圖3可知，天線陣列的建模誤差隨著空間基函數的增多而快速減小，在空間基函數足夠多時基本可以忽略。當P=5，Q=3時，圓柱陣列的外接球半徑和球陣列半徑相等(都為0.5個波長)，它們的RMSE曲線十分接近。當RSA=0.5時，增大球陣列單元數目并不改變其RMSE曲線，而當P=Q=7時，球陣列半徑越大，同等RMSE條件下所需要的空間基函數越多。這說明在給定的陣列建模誤差條件下，所需要的空間基函數數目和天線陣列的單元數目沒有直接聯系，而主要和天線陣列體積相關：天線陣列體積越大，同等建模誤差條件下所需要的空間基函數越多。

2.信道矩陣分解

考慮如圖1所示的具有NT根發射天線和NR根接收天線的單極化窄帶MIMO系統，其無線信道的輸入輸出關系可表示為

x=Hs+n

(8)

式中：s∈CNT×1表示發射信號向量；x∈CNR×1表示接收信號向量；n∈CNR×1表示信道噪聲；H∈CNR×NT表示聯系發射信號和接收信號的信道響應矩陣，它表征了MIMO無線信道的特性。

在雙方向模型中，MIMO信道矩陣H被視為多條傳播路徑的線性疊加，其可表示為[6-7]

(9)

式中:αl、(θT，l，φT，l)和(θR，l，φR，l)(1≤l≤Lpath)分別表示第l條傳播路徑的復數衰減、離開角和到達角，Lpath為多徑數目；bT(θ，φ)和bR(θ，φ)分別表示發射和接收天線陣列的導向矢量； (·)H表示共軛轉置。

依據式(1)所示的陣列流形分離技術，并且假設空間基函數數目足夠大，則忽略天線陣列建模誤差后收發天線陣列的導向矢量可表示為

(10)

式中:ΓT∈CNT×MT和ΓR∈CNR×MR分別表示發射和接收天線陣列所對應的采樣矩陣；yT(θ，φ)∈CMT×1和yR(θ，φ)∈CMR×1為類似式(4)所示的球諧基函數向量，并且有MT=(LT+1)2，MR=(LR+1)2.

由于采樣矩陣ΓT和ΓR與無線傳播環境無關，將式(10)代入式(9)可得

(11)

式中矩陣H0∈CMR×MT為

(12)

由式(11)可知，利用陣列流形分離技術可將MIMO信道矩陣H分解為兩部分：一部分為發射和接收天線陣列所對應的采樣矩陣ΓT和ΓR，其僅依賴于天線陣列的屬性，而和無線傳播環境無關，對于給定的天線陣列而言，它們是常數矩陣；另一部分為矩陣H0，其和收發天線陣列的屬性無關，而僅與隨機的無線傳播環境相關，表征的是無線傳播環境的固有特性。對比式(9)和式(12)可將矩陣H0理解為球諧函數各模式之間的無線信道響應矩陣。因此，利用三維陣列流形分離技術，實現了MIMO無線信道中天線陣列和無線傳播環境的分離。

3.天線獨立的隨機MIMO信道模型

3.1 基于空間相關性的隨機模型

基于空間相關性的隨機MIMO信道模型假設信道矩陣H的元素為聯合多元高斯分布。此時，矩陣H各元素之間的相關性，即全相關矩陣R可以完全描述信道矩陣H的統計特性

R=E[hhH]∈CNTNR×NTNR

(13)

式中：E[·]表示取平均；h=vec(H)∈CNTNR×1表示將信道矩陣H各列堆疊形成的列向量，vec(·)表示矩陣向量化。

將式(11)代入式(13)，并利用矩陣向量化的性質：vec(ABC)=(CT?A)vec(B)，其中?表示矩陣的Kronecker積，可得

(14)

由式(14)可知，全相關矩陣R是矩陣R0的線性變換，該變換關系由收發天線陣列的采樣矩陣共同決定。一旦確定了矩陣R0便可以確定MIMO信道的全相關矩陣R。因此，空間相關性的建模思想同樣可用來描述天線獨立的隨機矩陣H0.

在傳統基于空間相關性的隨機MIMO信道模型中，Weichselberger模型[9]在復雜度和準確度之間取得了較好折中，與信道測量結果吻合較好，因此，借鑒該模型的建模方法對矩陣H0進行統計描述。定義發射和接收模式相關矩陣為[2，9]

(15)

式中：UT∈CMT×MT，UR∈CMR×MR為酉矩陣，它們的列向量分別為矩陣RT和RR的特征向量；ΛT∈CMT×MT和ΛR∈CMR×MR為對角矩陣，它們的對角元素分別為矩陣RT和RR的特征值。則天線獨立的隨機矩陣H0可表示為

(16)

式中：矩陣G∈CMR×MT的元素為零均值單位方差的復高斯隨機變量； 矩陣Ω是MR×MT的非負實矩陣，其元素表征了無線傳播環境收發端各特征模式之間的功率耦合關系。矩陣Ω滿足下列等式

(17)

式中⊙表示矩陣Hadamard積。

最后，將式(16)代入式(11)中，可得到一種天線獨立的隨機MIMO信道模型

(18)

3.2 模型參數討論

在所建立的模型中，需要確定的參數包括僅與收發天線陣列相關的確定性參數MT、MR、ΓT和ΓR，以及僅與無線傳播環境相關的統計參數UT、UR和Ω，下面對這些參數依次進行討論。

由前文分析可知，MT和MR主要和天線陣列體積相關。在給定的天線陣列建模誤差條件下，陣列體積越大，所需要的空間基函數越多。在實際應用中，可以利用數值方法來確定MT和MR的最小取值，以使得天線陣列建模誤差在允許范圍之內。增大MT和MR可以提高信道模型的準確度，但是模型的復雜度也隨之提高。

矩陣ΓT和ΓR作為發射和接收天線陣列的采樣矩陣，對于給定的天線陣列，它們是常數矩陣。對于理想的天線陣列，采樣矩陣各元素表達式如式(6)所示；而對于實際的非理想天線陣列，采樣矩陣可以通過天線陣列的校準測量數據計算獲得[10-12]。

由式(15)和(17)可知，天線獨立的矩陣UT、UR和Ω都可由矩陣H0計算獲得，而矩陣H0可由式(12)計算。式(12)中各物理傳播參數的統計分布既可以通過實際測量結果獲得，也可以從現有物理模型[2-7]中獲得。

3.3 模型復雜度以及天線獨立性

在模型復雜度方面，僅需要考慮和隨機無線傳播環境相關的模型參數，即矩陣UT、UR和Ω的元素數目。Weichselberger模型所需要的實參數數目為NT(NT-1)+NR(NR-1)+NTNR.類似的，新模型需要MT(MT-1)+MR(MR-1)+MTMR個實參數。因此，當空間基函數數目M比天線陣列單元數目N小時，單次仿真中新模型復雜度比Weichselberger模型更低，否則后者更優。由前文分析可知，M主要和天線陣列體積相關，而和天線單元數目N沒有直接聯系。因此，如果在給定體積內放置較少的天線單元，則新模型復雜度比Weichselberger模型高，如果在給定體積內放置了大量密集的天線單元，則新模型將更加有效。

當利用模型考察給定無線傳播環境下不同MIMO系統的性能，則新模型更具優勢。這是因為一旦系統更換了所使用的收發天線陣列，Weichselberger模型就需要重新計算模型參數。而對于給定的無線傳播環境，新模型僅需要計算一次模型參數，當所使用的天線陣列特性發生改變，則只需要替換相應的采樣矩陣。這使得新模型具有像物理模型一樣的通用性優點。

在系統的分析與設計方面，Weichselberger模型對信道矩陣H直接進行統計建模，已經將天線陣列和無線傳播環境的共同影響考慮在內，因此，對于給定的無線傳播環境，無法進行天線陣列的優化設計。而新模型實現了天線陣列與無線傳播環境的分離，可以依據隨機無線傳播環境的統計信息，對天線陣列的采樣矩陣進行相應的調整與設計，以優化MIMO系統某一項指標，如分集增益或者平均信道容量等[15]。

4.數值仿真結果

為了驗證所建模型的正確性和有效性，進行了數值仿真實驗。為了簡便，假設發射和接收天線陣列相同，故有NT=NR=N，MT=MR=M.

選取MIMO信道容量作為評估準則。當發射端不具有信道狀態信息，將功率均勻分配給各發射天線時，MIMO信道容量為[1]

(19)

為了進行廣泛比較，選取了典型室內、3GPP SCME標準模型的城市微小區[16]和ITU標準模型的郊區非視距宏小區[17]三種場景。在典型室內環境中假設存在5個散射體簇，各散射體簇所對應的平均離開和到達方位角在0至360°內均勻分布；每個散射體簇內含有20個多徑分量，這些傳播路徑的離開和到達方位角在簇內呈Laplacian分布，Laplacian分布的角度擴展為26°.這些無線傳播環境參數與典型室內環境的測量結果相吻合[2-7]。而城市微小區和郊區非視距宏小區的無線傳播環境參數則分別依據文獻[16]和[17]進行設置。此外，假設所有多徑的離開和到達俯仰角在60°至90°內均勻分布，各路徑增益呈零均值高斯分布。

分別考察采用如圖2所示的圓柱陣列和球陣列的兩種MIMO系統，并取P=5，Q=3，RCA=0.4，RSA=0.5，L=4.對典型室內環境，依據上述無線傳播環境參數，由式(9)和(12)分別產生104個信道矩陣H和H0的隨機樣本，并利用這些樣本計算Weichselberger模型和新模型的統計參數，信道矩陣H的隨機樣本同時被用來計算真實信道容量的累積概率分布(CDF)。然后利用Weichselberger模型和新模型分別隨機生成104個信道矩陣H的樣本來估計真實信道容量的CDF.而對于城市微小區和郊區非視距宏小區場景，則分別計算SCME標準模型和ITU標準模型所對應的信道容量CDF，并與新模型的預測結果相對比。

圖4顯示出室內環境下上述兩種MIMO系統的真實信道容量CDF曲線和不同MIMO信道模型的估計結果。圖5和圖6分別給出城市微小區和郊區非視距宏小區場景下各標準化模型的信道容量CDF曲線和新模型的預測結果。

圖4 典型室內不同MIMO系統信道容量CDF曲線

圖5 城市微小區不同MIMO系統信道容量CDF曲線

圖6 郊區非視距宏小區不同MIMO系統 信道容量CDF曲線

由圖4可知，Weichselberger模型和新模型均可以準確預測室內真實信道容量的統計分布，兩者的估計準確度相當。而圖5和圖6則說明新模型的結果和各標準化模型的結果十分相近，進一步驗證了新模型的正確性。而在上述仿真中，Weichselberger模型、SCME標準模型和ITU標準模型都需要針對不同的MIMO系統重新計算生成模型參數，而新模型僅計算了一次模型參數：當天線陣列改變時，新模型僅需要更換相應的采樣矩陣。因此，新模型較這些模型更方便用于具有不同天線陣列配置的MIMO系統的性能評估。

5.結 論

利用三維陣列流形分離技術建立了一種天線獨立的解析MIMO信道模型，該模型既具有物理模型通用性的優點，又提供了信道矩陣的解析表達式，復雜度較低，可方便用于MIMO系統的分析設計與性能評估。

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