磁電彈性耦合材料中的本構關系

曲 磊， 王建國， 錢 鋒

（合肥工業大學 土木與水利工程學院，安徽 合肥 230009）

磁電彈性耦合材料具有同時感知磁、電、力影響的能力，因其具有獨特的機電和磁力轉換能力，這種材料（如壓電、壓磁和磁電彈性材料）和結構已被大量應用于傳感和制動控制、信息處理以及材料科學等領域。在磁電彈性材料中，磁場、電場和力場具有相互轉換的作用，例如磁電彈性體被放置于電場中將被磁化，將其放置于磁場中會電極化，而將其置于磁場或者電場中也會有應變產生。文獻［1－2］介紹了多種壓電／磁致伸縮材料所表現的磁電耦合現象，這些材料被稱為磁電彈性耦合材料；對于磁電彈性材料力、電、磁的耦合行為研究，文獻［3］最早指出將壓電－壓磁材料進行組合，將產生一種新材料的特性，它不僅具備原有的壓電材料和壓磁材料的特性，并且具有非常顯著的磁電耦合性能；文獻［4－5］從理論上提出了壓電、壓磁材料的細觀力學模型來估算其耦合效應；文獻［6］利用均勻場的概念得到了在纖維狀壓電、壓磁彈性耦合效應中不同部分之間的精確關系；文獻［7－8］通過引入傳遞矩陣的方法，推導了橫觀同性三維簡支磁電彈性板靜力問題的精確解；文獻［9］運用狀態空間的方法分析了由壓電和壓磁材料組成的復合結構磁電耦合影響；文獻［10］推導了層狀壓電、壓磁介質軸對稱問題的狀態空間解。

1 磁電彈性體8種形式本構方程的推導

磁電復合材料的磁電效應來源于磁致伸縮效應與壓電效應的乘積。由于磁電轉化效應是磁、電、力多場耦合的結果，為了有效地設計復合材料的組分與結構，需建立磁電復合材料磁電轉化效應的理論分析模型。磁電彈性體的耦合作用是通過磁、電、力的本構關系反應的，文獻［11－12］給出了壓電材料4種形式和壓磁材料4種形式的本構關系。本文在前人研究的基礎上，通過假設不同的獨立變量擴展了磁電彈性體本構關系的多種形式。

1.1 第1種形式的本構方程

根據連續介質熱力學理論，引入絕對恒溫條件下的磁電彈性體熱電磁Gibbs自由能狀態方程U1，即

其中，U1為磁電彈性體介質的能量密度；σij、εij分別為應力和應變；Di、Ei分別為電場強度和電位移；Bi、Hi分別為磁場強度和磁勢。

因為U1是εij、Ei和Hi的二次函數，則U1可以展開成：

由方程（1）可得：

由于U1為εij、Ei和Hi的二次函數，根據Gibbs自由能理論，dU1又可以寫成：

比較方程（3）和（4）得：

利用方程（2）和（5）得：

通過引入常數：

將方程（7）代入方程（6），可以得到第1種形式的本構方程為：

方程（8）即為第1種形式的本構方程，它將應變εkl、電勢Ek和磁勢Hk作為獨立的變量，該形式的本構方程是目前磁電彈性體中普遍使用的一種形式，已有的大部分研究成果都是基于此種形式。本文將通過假設不同的參數作為獨立變量，從而推導出磁電彈性體另外7種形式的本構關系，具體推導過程如下。

1.2 第2種形式的本構方程

對U1（εij，Di，Hi）進行Legendre變換后可得：

由方程（1）和（9）得：

U2為εij、Di和Hi的二次函數，U2可以展開為：

由方程（10）可得：

由于U2為εij、Di和Hi的二次函數，根據Gibbs自由能理論，dU2又可以寫成：

比較方程（12）和（13）得：

利用方程（11）和（14）得：

通過引入常數：

將方程（16）代入方程（15），得到第2種形式的本構方程為：

1.3 第3種形式的本構方程

對U1（εij，Di，Hi）進行Legendre變換得：

由方程（1）和（18）得：

U3為 εij、Di和 Hi的 二 次 函 數。U3可 以展開成：

由方程（19）可得：

由于U3為εij、Di和Hi的二次函數，根據Gibbs自由能理論，dU3又可以寫成：

比較方程（21）和（22）得：

利用方程（20）和（23）得：

引入如下常數：

將方程（25）代入方程（24），得到第3種形式的本構方程為：

1.4 其他5種形式的本構方程

對于后5種形式的本構方程，因為推導過程類似，本文不一一列出，僅給出推導的結果。

1.4.1 第4種形式本構方程

由方程（1）和方程（27）得：

U4為εij、Di和Bi的二次函數，與U4對應的本構關系為：

1.4.2 第5種形式本構方程

由方程（1）和（30）得：

U5為σij、Di和Bi的二次函數，與U5對應的本構關系為：

1.4.3 第6種形式本構方程

由方程（1）和（33）得：

U6為σij、Di和Bi的二次函數，與U6對應的本構關系為：

1.4.4 第7種形式本構方程

由方程（1）和（36）得：

U7為σij、Di和Bi二次函數，與U7對應的本構關系為：

1

.4.5 第8種形式本構方程

由方程（1）和（39）得：

U8為σij、Ei和Bi二次函數，與U8對應的本構關系為：

方程（8）、（17）、（26）、（29）、（32）、（35）、（38）、（41）即為所推導出的8種形式的本構方程。

2 結束語

本文考慮磁電彈性復合材料磁電耦合性能的影響，根據連續介質的熱力學理論，通過引入Gibbs自由能和Legendre變換推導了磁電彈性耦合材料8種形式的本構方程，據此可建立不同形式的變分原理。本文所得的研究成果為磁電彈性耦合材料的有限元方法的研究提供了理論基礎。

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