基于單層小波變換的自適應壓縮感知圖像處理

劉國慶， 林 京

（合肥工業大學 數學學院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

在傳統的信號采集過程中，為了避免信號失真及碼間干擾，一般都會遵循Nyquist采樣定理（又稱香農采樣定理），它要求針對信號的采樣率不得低于信號帶寬的2倍。這無疑對信號處理的能力提出了較高的要求，也給相應的硬件設備帶來了極大的挑戰，尋找新的數據采集和處理方法成為一種必然。文獻［1］提出的壓縮感知（Compressed Sensing，簡稱CS）理論是一種充分利用信號稀疏性或者可壓縮性的全新信號獲取和處理理論，利用其他變換空間描述信號，使得在保證信息不損失的情況下，用遠低于采樣定理要求的速率采樣信號的同時，又可完全恢復信號，即將對信號的采樣率轉變為對信息的采樣，較大地降低了信號采樣頻率、信號處理時間和計算成本以及數據存儲和傳輸的代價。

目前，基于小波的圖像處理技術，例如圖像壓縮及圖像融合［2－3］等已日臻成熟，而壓縮感知在圖像處理方面的應用正在開展中。

文獻［4］根據圖像小波變換系數層的特點，提出了基于單層小波變換的壓縮感知算法，處理二維圖像。然而在許多實際應用中，信號的稀疏度往往未知，本文對文獻［4］其算法進行了改進，提出了適應稀疏度未知情況的基于單層小波變換的自適應壓縮感知算法，并進行了實驗仿真。

1 壓縮感知與自適應重建算法

設x∈RN×1為一維信號，則其可以由一組規范正交基Ψ＝｛ψ1，…，ψN｝展開（例如小波基）Ψ＝｛ψ1，…，ψN｝，即

其中，yk＝〈x，ψk〉，逆變換為y＝ΨHx，此處，ΨΨH＝ΨHΨ＝I，Ψ∈CN×N，I為單位矩陣。x和y是相同信號的等價表示，x是信號在時域的表示，y是信號x在Ψ域的表示。如果向量y的非零元素個數為K，則稱信號x在基Ψ 下是K－稀疏（K－Sparse）的；若在基Ψ下，y按照大小排序，以近似于冪律衰減，則稱信號x是可壓縮的。

對于信號x，可將其投影到一組測量向量Φ＝｛φ1，…，φM｝上，得到x的M 個線性測量，即

其中，Φ∈RM×N，Φ的每一行可以看做一個傳感器，它與信號相乘，拾取了信號的一部分信息，根據這M個測量和Φ，就可以重構原始信號，將（1）式代入（2）式，得

其中，Θ＝ΦΨ為M×N矩陣。由此可知，壓縮感知將信號x從N 維降為M 維觀測信號s，由于（2）式中未知數個數N大于方程個數M，若直接求解（2）式來重構信號不能得到確切解。而（3）式中的y是K－稀疏的，即僅有K 個非零系數，且K＜M≤N，則可通過已有的稀疏分解算法求解（3）式的逆問題得到稀疏系數y，再通過（1）式得到重構信號x。為保證算法的收斂性，（3）式的Φ必須滿足有限等距準則［5］（Restricted Isometry Property，簡稱RIP），即對于任意具有嚴格K－稀疏的向量v，Φ滿足：

其中，δ＞0。RIP準則的一種等價情況是測量矩陣Φ和稀疏矩陣Ψ滿足不相關性的要求。對于CS理論，其逆變換重構過程為求解l0范數下的最優化（Optimization）問題，即

而l0范數的求解是個NP－Hard問題，因此可將問題轉化為：

對于（6）式中l1最小范數下的最優化問題，目前的求解算法有梯度投影法（GP）［6］、基追蹤法（BP）［7］、匹配類追蹤法［8］等，而應用最廣的則屬匹配追蹤類方法，具有代表性的有正交匹配追蹤法（OMP）［9］、正則化正交匹配追蹤法［10］等，但上述算法都要求已知信號的稀疏度，給實際應用帶來很大不便。文獻［11］提出了一種稀疏自適應追蹤算法（SAMP），很好地解決了稀疏度未知的問題。該算法描述如下。

輸入：傳感矩陣Φ，采樣向量y，步長s。

輸出：未知輸入信號x的K－稀疏的逼近＾x。

初始化：＾x＝0，殘差r0＝y，支撐集F0＝?，支撐集大小l＝s，迭代次數k＝1，索引值j＝1；

循環執行如下步驟：

（1）初測試Sk＝max（｜Φ＊rk－1｜，l）。

（2）計算候選集Ck＝Fk－1∪Sk。

（4）計算殘差r＝y－ΦFy。

（5）判斷是否滿足停止迭代條件，若滿足，則停止迭代，若不滿足，執行步驟（5）。

（6）判斷是否滿足‖r‖2≥‖rk－1‖2，若滿足，執行步驟（6）；若不滿足，執行步驟（7）。

（7）進入下一階段j＝j＋1，支撐集F的大小增加為l＝j×s。

（8）更新支撐集Fk＝F，殘差rk＝r，k＝k＋1。

2 基于單層小波變換的壓縮感知算法

在原有CS算法的圖像處理中，將N×N的圖像首先進行某種變換，如DCT變換、小波變換等，然后構造測量矩陣Φ，利用Φ對全部的小波變換系數進行測量，得到M×N大小的測量系數?；謴蛨D像的時候，根據Φ和M×N大小的測量系數，通過OMP等算法恢復出原圖像。

由于小波分解將原圖像分為高頻子帶和低頻子帶，高頻子帶可以認為是稀疏的，但低頻子帶是原圖像在不同尺度下的逼近信號，不能認為是稀疏的，而將低頻與高頻系數一起與測量矩陣Φ相乘則會破壞低頻逼近分量系數之間的相關性，導致重構效果變差。當小波分解層次只有1層時，重構的圖像已經看不出原貌。因此，小波變換層次應該盡可能大，一般對256×256的圖像分解層次應該在4層以上。

文獻［4］提出了基于單層小波變換的CS改進算法，首先只對原圖像進行單層小波變換，然后只對第1層高頻子帶進行測量，對低頻逼近子帶則保留小波分解的系數，最后對高頻系數測量值利用OMP算法進行重構，并與低頻子帶一起進行小波反變換得到恢復的圖像。

3 單層小波變換的自適應壓縮感知算法

在許多實際應用中，圖像的稀疏度往往是未知的，因此本文在此基礎上提出了一種改進算法，適應稀疏度未知的情況。由于單層小波變換后高頻子帶具有如下特點：低高塊（垂直方向高頻子帶）具有行稀疏性，高低塊（水平方向高頻子帶）具有列稀疏性，因此本文在圖像恢復的過程中對低高塊逐行、高低塊逐列及高高塊（對角方向高頻子帶）整體處理，利用SAMP算法進行自適應重構圖像。

（1）對N×N的圖像進行一層小波分解，得到｛LL1，LH1，HL1，HH1｝4個小波子帶系數，其大小記為×。

（3）利用SAMP算法對LH′1逐列進行重構得，對 HL′1逐行進行重構得，對 HH′1整體進行重構得，將L、、與LL1一起進行小波逆變換得到恢復的圖像。

4 仿真結果

對256×256的Lena圖像進行試驗，選取小波函數bior4.4對圖像進行一層小波分解，則＝128，分別取 M／＝0.1、0.2、0.3、0.4、0.5進行仿真。這里為簡便起見，采用的測量矩陣為隨機矩陣（在實際應用中，可以采用結構化測量矩陣［12］來代替隨機矩陣），因此在仿真實驗時，每次生成的測量矩陣均不相同，為更真實地重構圖像，均運行多次取均值，峰值信噪比見表1所列。其中，I＿OMP代表基于單層小波變換的壓縮感知算法，I＿SAMP代表本文的改進算法。

表1 算法性能比較 dB

圖1 256×256圖像在M／＝20%時的恢復圖像

5 結束語

本文首先簡要介紹了壓縮感知理論和稀疏自適應追蹤算法，在單層小波變換壓縮感知的基礎上，根據圖像小波分解系數中低頻子帶的特點和高頻子帶的排列特征，提出了基于單層小波變換的自適應壓縮感知改進算法，很好地解決了稀疏度未知的問題，仿真結果表明，本文算法取得了較好的效果，與單層小波變換的非自適應壓縮感知算法相比，保證了重構圖像效果，圖像質量也得到很好的保證，PSNR相差不過2dB。

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