改進的小波閾值算法在紅外圖像去噪中的應用*

沙俊名，劉澤乾，龐 帥，夏志申

(空軍航空大學航空軍械工程系，長春 130022)

0 引言

航空武器在制導末段獲取紅外圖像過程中，由于受惡劣外界環境條件和探測器本身固有特性的影響，不可避免的產生大量噪聲。這些噪聲主要包括熱噪聲、散粒噪聲、電流噪聲、復合噪聲等，并可以用高斯模型來描述[1]。這些噪聲對紅外圖像后期的分析和處理帶來很大影響，因此，圖像去噪成為航空武器紅外圖像處理中不可或缺的重要部分。傳統的去噪方法如：直方圖濾波、維納濾波和中值濾波等，雖然算法簡單，硬件實現方便，但在復雜背景條件下去噪效果顯得力不從心。近年來，基于小波變換的去噪方法成為目前圖像去噪的主要手段之一。小波變換以其基于頻率域內信號與噪聲譜不重疊的思想保證了圖像細節信息不丟失，同時小波還具有低熵性、多分辨率、去相關性、選基靈活性等優點，使得小波變換在圖像去噪中具有獨特的優勢。

文中在Donoho提出的小波閾值去噪算法基礎上對閾值函數和閾值選取方法分別加以改進，提出了一種改進的小波去噪算法，并將其應用于航空武器獲取到的紅外圖像上。通過建立評價體系，將該算法與傳統閾值算法、維納濾波算法以及中值濾波算法的處理結果進行進一步定量分析，以證明該方法在紅外圖像去噪中的優勢。

1 小波變換原理

1.1 小波變換

與傅里葉變換不同，小波變換的基礎函數是一些具有變化的頻率和有限持續時間的小型波，稱為小波，它被認為是數學顯微鏡。小波變換定義為：把一個稱為基本小波的函數ψ(t)做位移τ后，在不同尺度a下與待分析信號x(t)做內積：

其中ψ*為ψ的共軛。從式(1)可以看出小波變換的實質是用一個合適的基小波ψ(t)通過時間軸上的位移與縮放和幅度的變化產生一系列派生小波，用系列小波對要分析的信號進行時間軸上的平移比較，獲得用以表征信號與小波相似程度的小波系數，從而獲得傅里葉分析不能獲得的局部時間區間信息。小波函數ψ(t)存在許多可選性，如非正交小波、正交小波以及雙正交小波等，針對處理問題的不同可選用不同的小波函數。

1.2 Mallat算法

1986年S.Mallat和Y.Meyer提出了多分辨率分析概念，其思想是將原始信號分為不同分辨率上的幾個信號，然后選擇合適的分辨率或者在各級分辨率上處理此信號[2]。在多分辨率理論分析的基礎上，S.Mallat引入了離散柵格上小波變換的快速算法，即Mallat算法，此算法被廣泛應用于圖像去噪領域。

把紅外圖像看成二維可分離信號，設矩陣Aj(l，k)為在空間分辨力2j上(j是分辨力索引，M≤j≤N，M、N為圖像矩陣的大小)對原始圖像Y的多分辨分析。根據Mallat算法，有：

從圖1表示的分解過程可以看出：二維圖像的小波分解可以對圖像依次按行、按列與一維的低通h和高通g濾波器作卷積來實現，在卷積之后進行相應的降2采樣。二維圖像的這種行、列可分離性簡化了圖像的小波變換，保證了圖像處理的快速性。

圖1 二維Mallat算法分解過程

2 改進的小波閾值算法研究

近年來，基于小波變換的去噪方法層出不窮。Zhang提出的神經網絡閾值函數法[3]，通過一系列平滑非線性函數對小波系數進行解算，最終得到最佳閾值;Chang S G等人提出的一種BaresShrink去噪方法[4]，具有很好的自適應特性，去噪效果好。文中結合空地導彈捕獲目標的實時性要求選擇實現簡便、處理效果較好的閾值萎縮法對獲取到的紅外圖像進行去噪。

2.1 閾值萎縮去噪方法

由于小波分解后能夠將原始信號的能量集中到幾個比較大的小波系數上，將噪聲的能量分散到其他大量的小波系數上，因而噪聲的小波系數比較小。通過設置合適的閾值算子λ削減這些較小的小波系數，同時保持較大的小波系數不變。常用的閾值函數為Donoho提出的軟閾值(soft thresholding)和硬閾值(hard threshloding)函數。分別定義如下：

軟閾值函數：

硬閾值函數：

其對應的圖像分別如圖2(a)、圖2(b)所示。

圖2 兩種函數的圖形比較

從圖2的對比中可以看出，軟閾值函數整體連續性較好，處理效果相對平滑。但對閾值以外的信號進行了壓縮處理，影響了重構后圖像的逼近程度，造成邊緣模糊等失真現象;硬閾值函數在閾值點處不連續，導致圖像出現偽吉布斯效應等視覺失真。因此，有必要對閾值去噪方法加以改進。

2.2 閾值函數的改進

為了彌補傳統閾值方法的不同，Sahraeian等人提出了一種基于指數函數形式的非線性濾波器[5]，該方法既具有硬閾值函數刻畫圖像細節的性能，又具有軟閾值函數平滑圖像的處理效果。但該函數圖像在閾值點處上升過快，曲線不平滑，導致圖像出現振鈴現象。

文中在此方法的基礎上加以改進，構造了一種新的閾值函數，該函數在閾值點處趨近平滑，曲線近似連續，避免了圖像產生振蕩。閾值函數表示如下：

其中：t=0.1·(log(λ)+4.6)+0.1是此閾值函數的穩定因子，它對較大的閾值進行壓縮以滿足在任何情況下(閾值為任何值時)函數始終保持曲線平滑效果;式中的指數函數用來實現噪聲區間與信號區間函數的平穩過渡，指數函數的冪越大，曲線曲率越大，反之冪越小，曲線越平滑。閾值函數圖像如圖3所示。

圖3顯示的是當閾值為0.5時的硬閾值函數、軟閾值函數以及改進后的閾值函數。從比較中可以看出，改進后的閾值函數不僅具備軟閾值函數的連續性，并且在閾值外更加逼近于硬閾值函數，能夠保留更多的圖像信息，保護圖像邊緣。在閾值附近的圖像逼近平滑，避免了動蕩圖像的產生。

圖3 閾值函數圖像

2.3 新閾值的確定

閾值的選取是小波閾值去噪的中心問題之一，閾值選取的好壞直接影響到去噪效果。如果閾值選擇過大，在去除噪聲小波分量的同時，有用信號的一部分小波系數也會被去除，造成圖像細節丟失[6];反之，如果閾值選擇過小，就不會有效地去除噪聲小波分量。

傳統的閾值選取包括全局閾值、通用閾值以及BayesShrink閾值等[7]。全局閾值由Donoho 和Johnstone提出，是目前最常用的閾值，其表達式為：T為噪聲標準方差，N為信號的尺寸長度。該方法運算簡便，對一些要求不高的圖像處理效果較好。事實上，小波變換將噪聲從信號域壓縮到小波域，這使得噪聲方差隨著小波分解級數的增多而基本不變，信號方差將會越來越大[8]。

將圖像dam做1～5層小波分解，分別計算在每一分解級數上的信號方差、噪聲方差以及噪聲信號比率。其統計圖如圖4所示。

其中，橫坐標為小波分解級數。從圖中可以看出，隨著小波分解級數的增加，信號方差不斷變大，噪聲方差幾乎無變化，噪聲在系數方差中的比例不斷下降。在一級分解中子帶所含近一半信息幾乎被噪聲淹沒，隨著分解級數的遞增，到第5級分解，噪聲在系數中的方差僅占0.15%。

基于以上現象，全局閾值無法適用于多級小波分解。因此需要對全局閾值加一權重因子，使其隨著分解級數的增加閾值有所減小。設定：

圖4 方差統計圖

其中：σ為噪聲標準方差;N為信號的尺寸長度;j為小波分解級數;β為文中設定的權重因子，該權重因子使閾值隨著噪聲信號方差比的衰減而成比例的下降。

2.4 改進的小波閾值算法步驟

改進后的小波閾值算法步驟如圖5所示。

圖5 改進后的算法步驟

具體處理步驟為：

1)選擇合適的小波母函數及小波分解級數;

2)對航空武器獲取到的紅外圖像利用Mallat算法進行小波分解;

3)運用式(5)～式(7)分別計算出閾值函數和閾值;

4)對分解出的高頻小波系數運用改進的閾值函數進行去噪處理;

5)將處理后的小波系數運用Mallat小波重構算法進行重構，從而得到去噪后的紅外圖像。

3 實驗結果與分析

基于db8母小波支集長度長、正則性好的特點[9]，文中選用db8母小波對紅外圖像dam進行3級Mallat小波分解，并對分解后的高頻小波系數進行改進后的閾值去噪處理。改進后的處理結果以及其他方法的處理結果如圖6所示。

圖6 圖像去噪效果比較

從實驗結果可以觀察到：中值濾波與維納濾波去除了圖像中的部分噪聲，但處理后的圖像過于平滑，且丟失了部分細節;硬閾值法有效地去除了圖像中大部分噪聲，且較好的保持了圖像邊緣的細節特性，但圖像出現了一些震蕩;軟閾值法的去噪效果雖然不及硬閾值法，但保持了圖像的平滑特性;改進后的閾值算法去噪效果優于之前的算法，且較好的保留了圖像細節信息，視覺效果清晰。

為進一步對以上5種算法的不同去噪效果做定量分析，建立評價體系結構，對其進行峰值信噪比(PSNR)的計算。計算公式為：

其中MSE是均方誤差，表達式為：

表1 不同圖像去噪方法的峰值信噪比比較

從統計數據可以看到，采用改進后的閾值去噪方法得到的峰值信噪比明顯大于其他算法，表明該算法在去噪方面具有明顯的優勢。

4 結論

針對航空武器在制導末段獲取到的紅外圖像噪聲較大的問題，提出運用小波變換的方法對紅外圖像進行去噪處理。文中在Donoho提出的小波閾值去噪算法基礎上對閾值函數和閾值選取方法做了研究并加以改進，提出了一種新的小波閾值去噪算法，并將其應用于航空武器獲取到的紅外圖像上。實驗結果和實驗數據表明改進后的算法在圖像去噪方面具有明顯的優勢，并且保留了圖像的細節信息，避免了振蕩的產生。應用改進后的小波閾值算法對紅外圖像進行去噪處理有效地提高了航空武器末段精確打擊的能力。

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