學好“冪的運算”三點建議

毛建國

本章是在學習了有理數乘方的基礎上研究冪的運算：同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數冪的除法.這些運算是今后學習整式乘法運算的基礎.學習本章，要了解整數指數冪的意義和基本性質，能正確運用這些性質進行計算，會用科學記數法表示數.如何學好冪的運算？下面給出三點建議.

一、 牢固掌握四條運算性質是基礎

1. 同底數冪的乘法的運算性質：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.用字母表示為：am·an=am+n（m、n是正整數）.

同底數冪的乘法法則是本章中的第一個冪的運算性質，也是整式乘法的主要依據之一，學習這個性質應注意以下幾點：

（1） 該表達式中，等式左邊是兩個冪相乘，且它們的底數相同；等式右邊也是一個冪，與左邊相比，底數不變，指數是左邊兩個指數的和.

（2） 底可以是一個具體的數或字母，也可以是一個單項式或多項式，如：（x-2y）2·（x-2y）3=（x-2y）5，底數是多項式（x-2y）.

（3） 這個性質可以推廣到三個或三個以上的同底數冪相乘，即am·an·ap=am+n+p（m、n、p是正整數）.

（4） 不要與整式加法混淆. 同底數冪乘法是只要求底數相同則可用法則計算，即底數不變指數相加，如：a4·a2=a4+2=a6；而整式加法法則要求兩個相同——底數相同且指數也必須相同，實際上是合并同類項，如：-3a4+2a4=（-3+2）a4=-a4，而a4+a2不能進行運算.

2. 冪的乘方的運算性質：冪的乘方，底數不變，指數相乘.用字母表示為：（am）n=amn（m、n是正整數）.

該性質的顯著特點就是將原來的乘方運算降次為乘法運算，即底數不變，指數相乘.學習這個性質要注意兩點：

（1） 冪的底數a可以是具體的數，也可以是多項式.如[（x+y）3]2=（x+y）6，底數（x+y）是一個多項式.

（2） 要注意與同底數冪的乘法的區別和聯系.區別：冪的乘方是把指數相乘，同底數冪的乘法是把指數相加，不要出現下面的錯誤，如：（x3）5=x8，x3·x5=x15；聯系：兩種運算都是底數不變.

3. 積的乘方的運算性質：積的乘方，等于把積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.用字母表示為：（ab）n=anbn（m、n是正整數）.

學習這個性質要注意：積的乘方可推廣到3個以上因式的積的乘方：（a1·a2·…·an）m=a1m·a2m·…·anm，這樣方便運用，如：（-2a2b）3=（-2）3（a2）3b3=-8a6b3.

4. 同底數冪除法的運算性質：同底數冪相除，底數不變，指數相減.用字母表示為：am÷an=am-n（m、n是正整數，m>n，a≠0）.

同底數冪的除法法則是根據除法是乘法的逆運算歸納總結出來的，和同底數冪的乘法是互逆運算關系，同時指數的變化也是互逆運算關系，和上面講的冪的3個運算性質相比，這里底數a是不能為零的，否則除數為零，除法就沒有意義了.又因為在這里沒有引入負指數和零指數，所以又添加條件m>n.

同底數冪的除法性質也可以推廣到3個以上的同底數冪除法：am÷an÷ap=am-n-p（a≠0，m、n、p都是正整數），公式中的a可以是具體的數，也可以是單項式或多項式，但字母取值要滿足底數不等于0.

學習這個性質還要注意“兩個規定、一個方法”.

規定1：a0=1（a≠0）.

兩個同底數冪相除，如果被除式的指數與除式的指數相等，那么商等于1，即am÷am=am-m=a0=1（m是正整數，a≠0） ，所以我們規定：a0=1（a≠0）（即任何一個不等于0的數的0次冪等于1），00無意義 .

規定2：a-p=■（a≠0，p是正整數）.

由am÷an=am-n，當a≠0，m

科學記數法：根據規定2得■=10-m，因此，任何一個小于1的正數，都可寫成a×10n的形式，其中1≤a<10，即a是帶一位整數的小數或一位整數，n是一個負整數，它的絕對值等于原數中從左往右第一個不為零的數字前面所有零的個數（包括小數點前的一個0）.如0.000 23，用科學記數法可以表示為2.3×10-4.

二、 明確運算順序、合理進行混合運算是關鍵

在遇到冪的混合運算時，不要急于求成、盲目進行計算，首先要細心觀察，分清各個部分分別屬于哪種運算，然后再確定合理的運算順序和運算步驟，先算什么，后算什么，一定要做到心中有數；計算時，應注意符號和指數的變化，不要漏掉了某些因數的乘方.一般情況下，先運算積的乘方和冪的乘方，然后按照先后順序，運算同底數冪的乘法和同底數冪的除法，最后算加減.

例1 計算：（1） （ab）5·3a2·（4a2b3）3；（2） 2（x4）2·x-（3x3）3+（5x）3·x6.

【分析】問題（1）中的第一個因式和第三個因式屬于積的乘方，應先運算；問題（2）中有冪的乘方，也有積的乘方，也應該先算，最后再算加減.在計算它們的過程中又出現了新的運算，這就要求同學們能夠隨時進行觀察，以便準確判斷出新運算屬于什么運算，然后再根據相應的運算性質解題.

解：（1） （ab）5·3a2·（4a2b3）3=a5b5·3a2·43（a2）3（b3）3

=a5b5·3a2·64a6b9=192a13b14；

（2） 2（x4）2·x-（3x3）3+（5x）3·x6=2x8·x-27x9+53x3·x6

=2x9-27x9+125x9=100x9.

三、 靈活運用性質是后盾

對于冪的運算性質，不僅要學會從左到右的正向運用，對于底數和指數都不相同的問題，還要善于根據題目的特點，結合乘方的意義，學會從右到左的逆向運用.逆向運用冪的運算性質，不僅能化繁為簡，同時對于培養同學們的觀察能力、分析轉化問題的能力有著積極的意義.另外，同學們既要有依照運算性質逐層分步計算的細致，又要有縱觀全局的整體意識，善于從顯現的表象挖掘隱藏的結構特點，只有這樣，才算真正掌握冪的運算性質.

例2 已知am=2，an=3，求a2m+n的值.

【分析】本章中冪的運算法則既可以正向應用，又可以逆向應用.如公式am·an=am+n逆向運用為 am+n=am·an（m、n是正整數），公式（am）n=amn逆向運用為anm=（am）n=（an）m（m、n是正整數）等.

解：a2m+n=a2m·an=（am）2·an=22×3=12.

例3 已知2x+5y=4，求4x·32y的值.

【分析】此題中2x+5y=4如何使用？4x·32y與2x+5y=4有何聯系？通過觀察可知，把4x、32y的底數都變為2后，利用同底數冪的乘法法則得2的指數為2x+5y，進而將2x+5y=4整體代入即可.

解：4x·32y=（22）x·（25）y=22x·25y=22x+5y=24=16.