大口徑天線伺服系統的建模及控制算法設計*

張磊 廖鑫江

(華南理工大學 自動化科學與工程學院，廣東 廣州 510640)

大口徑射電望遠鏡天線可以接收和發送射電波信號，主要應用于射電天文觀測和深空探測.指向精度作為射電望遠鏡天線的一項主要性能指標，其優劣不僅影響到射電望遠鏡發現和觀測目標的能力，還會影響天線伺服系統的跟蹤性能.隨著對信號接收質量要求的不斷提高，射電望遠鏡天線的口徑不斷地向大型化趨勢發展［1］.為了提高數據的傳輸速率，天線的工作頻率越來越高，美國NASA 深空網天線的工作頻率從S 頻段(4 GHz)和X 頻段(8 GHz)發展到Ka 頻段(32 GHz)，且Ka 頻段的跟蹤精度要求達到0.002°.大型毫米波望遠鏡天線甚至工作在200 GHz 的頻率以獲得超高的指向精度，這些高指向精度要求給天線控制工程師帶來了前所未有的挑戰［2］.為了提高天線伺服系統的響應速度、穩態精度和指向精度等性能指標，需要提高伺服系統的帶寬.然而在實際工程中，阻礙天線伺服系統帶寬提高的主要因素是天線結構的高頻諧振，這些高頻諧振同時也會影響天線伺服系統的穩定性.傳統的PID控制算法雖然能夠滿足小型剛體天線系統的指標要求，但對大口徑天線系統的作用效果欠佳，主要原因是大口徑天線存在柔性結構高頻諧振模態，PID 控制在提高系統的帶寬時也會提高系統的高頻增益，激勵出系統的高頻諧振不確定性，影響伺服系統的性能指標和穩定性.先進的控制算法設計越來越成為天線伺服控制研究人員和天線控制工程師的興趣所在.文獻［3-8］將基于擾動觀測器的魯棒自適應控制、線性二次高斯(LQG)控制、H_infinity 控制、預測控制和自抗擾控制等先進的控制算法引入高精度伺服控制系統，以提高系統的帶寬和伺服性能.

天線伺服控制系統主要包括系統建模和控制算法設計兩個部分.系統建模對控制算法的設計十分重要，特別是基于模型的控制算法設計如LQG 控制和H_infinity 控制等.文獻［2］研究了通過開環辨識方法建立天線伺服系統的模型.天線在實際運行過程中，最主要的外界擾動是風，風作用在天線的反射面結構上會影響系統的穩定性和指向精度.文中首先介紹天線控制系統的結構，然后建立伺服系統的模型，針對傳統的PID 控制不能滿足大口徑天線伺服系統的性能指標要求的情況，設計了一種混合靈敏度H_infinity 控制算法，最后通過仿真研究驗證了天線伺服系統的性能指標.

1 控制系統結構

天線主要圍繞垂直軸和水平軸分別進行方位運動和俯仰運動，且方位運動和俯仰運動是相互獨立的.為了簡便起見，此處僅考慮一個方向的運動.天線控制系統由速度環和位置環組成，如圖1 所示.圖中r 表示給定信號，T 表示轉矩，d 表示外界擾動，ω表示天線的角速度，y 表示天線的角位置輸出.文中某大口徑天線要求的角速度運動范圍為0～0.5°/s，角加速度運動范圍為0～0.25°/s2.實際工程中，在速度給定較大的情況下，天線的驅動容易發生過載或損壞，為了防止這種現象，通常在控制回路中加入一個保護裝置［9］，例如速度限制器或者抗飽和裝置等，以保證天線的角速度和角加速度工作在正常的運動范圍內.

圖1 天線控制系統Fig.1 Antenna control system

2 系統建模

2.1 電機驅動模型

天線伺服系統的電機驅動模型(不考慮負載時)如圖2 所示，其中，Va表示電樞電壓，Ra表示電樞回路的等效電阻，La表示電感，Ia為電樞電流，Tm為電機的轉矩，ωm為電機軸的角速度，θm為電機軸的角位置.電樞回路中各物理量之間滿足

圖2 電機驅動模型Fig.2 Motor drive model

式中:E 表示電機的反電動勢，he表示反電動勢系數，Jm為電機的轉動慣量，fm為電機的轉矩系數.

從電樞電壓Va到電機軸的角速度ωm的傳遞函數為

式中:s 為復變量，a=La/Ra，m=JmRa/(fmhe).

電樞回路的電感La一般很小，可以忽略不計，記km=1/he，電機的數學模型可以近似為［10］

2.2 速度環模型

天線伺服系統的速度環開環模型包括天線的結構和驅動模型.速度環模型可以通過開環現場測試方法得到［2］.大口徑天線系統存在許多柔性結構高頻諧振模態，這些高頻諧振模態可以表示為系統的高頻未建模動態不確定性.天線伺服系統的速度環模型G(s)可以表示為

式中，k 為開環增益，為時間常數，i 為第i 個高頻諧振模態;ωi為高頻諧振模態的諧振頻率，ζi為諧振模態的阻尼系數，ci為諧振模態的增益.

在實際工程中，一般只考慮前幾個高頻諧振模態.某大口徑天線的前4 個高頻諧振模態的頻率分別為:6.4、7.4、8.7、12.4 rad/s.諧振模態的阻尼系數不能通過開環現場測試得到精確值，只能估計出其取值范圍，阻尼系數取值范圍為0.01≤ζi≤0.20.某大口徑天線伺服系統的開環頻率響應如圖3 所示，從頻率響應可以看出，天線伺服系統存在4 個高頻諧振峰，這些諧振峰會阻礙系統帶寬的提高，影響天線系統的伺服性能和穩定性.

2.3 風擾動模型

大口徑天線一般工作在比較空曠的地方，因此會受到不同方向的風的干擾作用.風作用在天線的反射面結構上會影響系統的穩定性和指向精度.由于風速和風向的變化，風擾動可以建模為穩態風和陣風兩個部分.穩態風的模型可以通過風洞試驗得到［11］，而陣風的模型主要通過風力、風轉矩和風速等3 種方法建模［12］.文中考慮將風擾動建模成一個作用在天線面板結構上的時變轉矩［13］.

圖3 開環頻率響應Fig.3 Frequency response of open-loop system

風速v 由穩態風速vs和陣風風速Δv 兩個部分組成，即v=vs+Δv.陣風可以表示為一個均值為零、功率譜密度為Davenport 譜的隨機過程.Davenport譜密度記為φv(ωH)，與平均風速和地形粗糙度有關，表示為

其中ωH為角頻率，α =600/( vs).為表面阻力系數，由地形粗糙度決定:

式中，l 為天線反射面中心離地面的距離，l0為地形粗糙度的高度.

由穩態風速vs產生的轉矩Ts可以表示為

其中ks為轉矩系數，與天線的結構、方位角、俯仰角、地形和風向有關［13］，且

式中:β 為無量綱的轉矩系數，與風向和天線的俯仰位置有關;σp為靜態空氣密度;A 為天線反射面板的面積;D 表示天線反射面板的直徑.

陣風會產生一個時變轉矩，由于陣風的風速一般是穩態風速的10%～20%，可以根據式(7)線性近似得到陣風的時變轉矩.通過對式(7)兩邊取微分可以得到天線的軸轉矩

陣風轉矩Tw(t)可以表示為軸轉矩ΔTs除以軸齒輪比N，即

陣風產生的時變轉矩和陣風風速之間滿足線性關系，比例系數為

因此陣風模型可以建模為:一個白噪聲信號n經過一個Davenport 濾波器得到陣風風速Δv，然后乘以一個比例系數kw得到時變轉矩Tw.

3 控制算法設計

針對大口徑天線伺服系統同時存在柔性結構高頻諧振和低頻風擾動的問題，文中考慮同時設計傳統控制算法和先進控制算法來提高伺服系統的帶寬.文中采用了PID 控制算法和混合靈敏度H_infinity控制算法，并通過仿真比較了兩種控制算法對天線伺服系統的性能改善作用.

3.1 PID 控制

PID 控制主要由比例單元、積分單元和微分單元3 個部分組成，其中比例系數kp、積分系數ki和微分系數kd為可設計參數.圖4 為PID 控制的結構圖，其中e 表示伺服誤差，u 表示控制信號.

圖4 PID 控制結構圖Fig.4 Structure diagram of PID control

對于低階被控對象，PID 控制可以提高伺服系統的快速性，縮短系統的調節時間，并提高系統的穩態精度.但PID 控制對高階被控對象的高頻段頻率特性的補償能力非常有限，而且對系統的穩態裕量等品質的改善效果欠佳.當被控對象為小型剛體天線時，采用PID 控制并適當地調節kp、ki和kd，可以在一定范圍內提高天線伺服系統的帶寬和穩定裕量，以達到不同的設計要求.然而大口徑天線系統存在柔性結構高頻諧振等不確定性，系統的性能會受到較大的影響.主要原因在于:PID 控制在提高系統帶寬時所采用的增大kp或者kd的方法都會提高系統的高頻增益，這可能會進一步激勵系統的高頻不確定性.在這類情況下，必須要調小kp或者kd，以犧牲系統的動態響應速度為代價來抑制高頻不確定性.當系統同時存在外界低頻風擾動時，情況更為復雜.

3.2 混合靈敏度H_infinity 控制

3.2.1 混合靈敏度設計

考慮一個單輸入單輸出線性時不變系統，系統的輸入和輸出之間的關系可以用傳遞函數G(s)表示，或者用下列狀態空間模型表示.

式中:x 表示系統的狀態，x∈Rn;u 表示控制信號，u∈R;y 表示系統的輸出，y∈R.系統矩陣A∈Rn×n，B∈Rn×1，C∈R1×n，D∈R.圖5 為系統的混合靈敏度設計框圖，其中K(s)表示控制器，W1(s)、W2(s)和W3(s)表示權重函數，z1、z2和z3表示權重輸出.

圖5 混合靈敏度設計Fig.5 Mixed-sensitivity design

系統的靈敏度函數S(s)定義為

相應的補靈敏度函數M(s)定義為

系統反饋控制的目標是設計一個鎮定控制器K(s)使得閉環系統混合靈敏度函數的H_infinity 范數最小，即使得性能指標最小:

在實際中一般通過迭代法尋找一個次優的控制器K(s)，使得對于一個給定的任意小的參數γ，系統混合靈敏度函數的H_infinity 范數滿足

3.2.2 權重函數的選擇

權重函數W1(s)、W2(s)和W3(s)的選擇在混合靈敏度設計中起到十分重要的作用［14］.W1(s)是系統跟蹤誤差的懲罰函數，一般選擇W1(s)為一個低通濾波器.W2(s)反映控制信號的大小和帶寬，同時W2(s)的設計要防止出現執行器的飽和及不穩定的控制器.W3(s)決定系統高頻特性的衰減程度，為減少控制器的階數，W3(s)設計為一個常數.混合靈敏度函數的整形問題可以反映整個系統的伺服性能，系統混合靈敏度函數的H_infinity 范數越小，意味著閉環系統的跟蹤誤差越小，控制信號越小，穩定裕量越大［15］.

3.2.3 帶寬約束

設計反饋控制器使得系統混合靈敏度函數的H_infinity范數最小的目的是盡可能地提高閉環系統的帶寬.閉環系統的帶寬越高，系統的高頻特性衰減越快.然而，系統的帶寬受到一些內在因素的約束.考慮最為簡單的情況，假設系統傳遞函數G(s)和控制器K(s)都是穩定和嚴真的，靈敏度函數S(s)滿足Bode 靈敏度積分公式

靈敏度積分公式表明:當系統的靈敏度函數的幅值在一段頻率范圍內小于1 時，必然在另外一段頻率范圍內的幅值大于1，此即為魯棒控制領域著名的水床效應［16］，如圖6 所示.從設計的角度來說，在期望的頻率范圍內要使得靈敏度函數幅值頻率響應的對數值為負數，則在全頻軸上總能找到一段頻率范圍彌補該負數面積.然而，在實際工程中，靈敏度積分公式式(17)并不完全正確.例如在天線伺服系統中，系統的帶寬ωb受到天線結構的第1 個高頻諧振頻率ω1的約束，文獻［17］給出了工程中經過修正的靈敏度積分公式:

修正項δ 是系統帶寬ωb的函數［17］，文中采用的某大口徑天線的第1 個高頻諧振頻率為6.4 rad/s.

圖6 靈敏度函數的水床效應Fig.6 Water bed effect of sensitivity function

3.2.4 混合靈敏度H_infinity 控制器設計

圖7 為天線伺服系統的混合靈敏度H_infinity控制框圖.G1表示天線結構和驅動模型的傳遞函數，G1的輸入和輸出分別為轉矩T 和天線的角速度ω.Kp表示位置控制器，Kv表示速度控制器.Kv設計為比例控制器，Kp設計為混合靈敏度H_infinity 控制器.控制器設計的要求:(1)系統要具有良好的伺服性能;(2)控制信號要在一個合理的范圍之內以防止執行器飽和及出現不穩定的控制器;(3)存在高頻諧振不確定性和外界低頻風擾動時，系統要具有足夠的穩定裕量.

圖7 混合靈敏度H_infinity 控制框圖Fig.7 Block diagram of mixed-sensitivity H_infinity control

靈敏度函數在低頻段的特性反映了系統的跟蹤性能和干擾抑制性能，而補靈敏度函數在高頻段的特性反映了對高頻諧振的衰減作用和系統的魯棒性.靈敏度函數和補靈敏度函數之和S(s)+M(s)=1，無法做到使兩者都最小，為了滿足系統的性能指標要求，控制工程師要在系統的性能和穩定性之間折中處理.

4 仿真結果

某大口徑天線伺服系統的參數取值分別為:Jm=11.37 N·m·s2，k =1，=0.083 s，β =0.25，σp=0.6216 N·s2/m4，c1=0.24，c2=0.22，c3=0.21，c4=0.23.仿真時考慮陣風的風速是穩態風速的10%～20%，陣風擾動的Davenport 譜密度可以用一個低通濾波器近似表示，如圖8 所示.

根據實際陣風擾動的頻率特征、控制信號的大小、帶寬選擇需要以及高頻諧振的衰減特性等因素綜合考慮，選擇權重函數W1(s)=100/(170s +1)，W2(s)=5/(s+100)，W3(s)=0.5.

圖8 Davenport 譜密度Fig.8 Davenport spectral density

圖9 等效開環傳遞函數頻率響應Fig.9 Frequency response of equivalent open-loop transfer function

天線伺服系統的等效開環傳遞函數頻率響應如圖9 所示，PID 控制無法克服系統高頻諧振的影響，而混合靈敏度H_infinity 控制的作用效果顯著.天線伺服系統閉環0.02 度階躍響應曲線如圖10 所示，PID 控制為持續振蕩，超調大，且調節時間很長;而混合靈敏度H_infinity 控制的調節時間短，過渡過程平滑，超調量小.在0.4°/s 的斜坡輸入信號和外界陣風擾動同時作用下，天線的位置輸出如圖11 所示，與PID 控制算法相比，混合靈敏度H_infinity 控制算法的穩態伺服誤差更小，系統的抗擾動能力更強.仿真研究表明:針對大口徑天線伺服系統，混合靈敏度H_infinity 控制比PID 控制效果更好，能夠顯著改善天線伺服系統的性能指標.

圖10 天線0.02°階躍響應Fig.10 Step response of antenna servo system at 0.02°

圖11 天線系統的伺服誤差Fig.11 Servo error of antenna system

5 結語

文中研究了某大口徑天線伺服系統的建模和控制算法的設計問題.傳統的PID 控制應用于大口徑天線系統作用效果欠佳，因此設計了一種基于混合靈敏度的H_infinity 控制算法.仿真結果表明:混合靈敏度H_infinity 控制不僅能夠顯著地改善天線伺服系統的性能指標，同時具有較強的擾動抑制能力和魯棒性.

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