線性時變信道下OFDM系統的加窗信道估計*

解永生 汪明亮 周磊磊

(中國科學院上海微系統與信息技術研究所 無線傳感器網絡與通信重點實驗室，上海 200050)

隨著對終端移動性需求的提升，無線移動環境中的信道估計技術成為正交頻分復用(OFDM)系統的研究熱點.多普勒頻移會破壞正交頻分復用系統子載波間的正交性，引起子載波間干擾(ICI)［1］.因此有必要準確地估計時變信道信息，降低ICI 導致的系統性能損失.文獻［2］指出，OFDM 系統的大部分能量泄漏集中在相鄰子信道中;同時子載波的ICI干擾則大部分來自于臨近子信道.因此，時變信道矩陣可以認為是近似限帶的，間距較遠的子載波引入的ICI 干擾可以忽略.雖然這一假設大幅度地降低了信道估計算法的復雜度，但其性能同樣遭到很大的損害.

在OFDM 系統的接收端加入窗函數，可以增強時變信道的限帶特性.該方法利用窗函數將信號的ICI 干擾集中在臨近的子載波中，由此降低遠端子載波對信號的ICI 干擾.文獻［3-7］利用窗函數降低頻偏產生的ICI 干擾，其亦可用于消除時變信道的ICI干擾.文獻［8-11］則具體研究了多種窗函數消除ICI 干擾的能力，結果表明，窗函數可以將系統的ICI干擾集中到臨近的載波中，降低信道均衡的復雜度.文獻［9］改進了基于相關編碼的干擾自消除方法，其等效于在發送端加入窗函數.文獻［10-11］在發送端增加了循環前導碼和循環后導碼，在接收端對加窗后重疊部分的時域采樣點進行疊加，表現出良好的抵抗ICI 干擾的能力.文獻［12］以信號干擾功率比(SINR)最大化為優化目標，推導出了接收端窗函數的表達形式.文獻［13］則在指數和(SOE)受限的條件下，以最小限帶近似誤差(MBAE)為準則，推導出最優窗的表達式.這兩種窗函數的波形基本上是一致的.

Jeon 等［14］提出，當多徑衰落信道的時變性較小(歸一化多普勒頻移小于0.1)時，OFDM 符號時間內的信道是近似線性變化的.OFDM 系統的接收端加入窗函數，一方面優化了信道的限帶特性，但也額外地加入了時變性.因此，加窗后需要重新考慮時變信道的線性模型(LTV 模型).文中將窗函數與信道的時變性隔離開來，提出了加窗- 線性信道(W-LTV)模型.該模型的基函數與窗函數有關.隨后提出了該模型下的簡化信道估計算法，可降低運算量.

1 信號模型

在OFDM 系統的接收端加入窗函數，可以有效地降低OFDM 系統子載波的頻率彌散現象.

圖1 為OFDM 系統的接收端加窗原理框圖.圖中IFFT 表示傅里葉逆運算.OFDM 系統的時域信號表達式為

式中:N 為OFDM 系統中快速傅里葉變換(FFT)的點數;X(k)為第k 個子載波上傳輸的復信號.

圖1 加窗OFDM 系統的原理框圖Fig.1 Block diagram of OFDM system with a receiver window

為了消除符號間干擾(ISI)，加入了長度為G 的循環前綴.循環前綴的長度大于信道的最大時延擴展.則去除循環前綴后的接收信號為

式中:L 為時變信道的徑數;h(n，l)為第l 徑的信道參數;z(n)為高斯白噪聲;((n- l)N)表示取模運算.為便于描述，上式可以改寫為矩陣的形式y =hx+z.其中，x 和y 同為N ×1 維的向量，分別表示時域發送信號與接收信號;h 為信道的時域矩陣;z為高斯白噪聲.

加入窗函數后，接收信號為

式中，Δw為窗函數矩陣，其為對角陣;hw為等效的信道時域矩陣;zw為限帶高斯白噪聲.對上式進行FFT變換，得到頻域表達式為

式中:X、Y、Z 分別為發送信號、接收信號和高斯白噪聲的頻域向量;W 為窗函數的頻域矩陣，W=FΔwFH，F 為傅里葉變化矩陣，FH為對應的轉置矩陣;Hw為等效信道頻域矩陣，Hw=WH;Zw為頻域的限帶高斯噪聲.

為便于分析，定義Hw(k，m)=w(k-m，m).其中，Hw(k，m)表示矩陣Hw中k 行m 列的元素.則

式中，d=k-m，w(n)為窗函數的參數.那么，ICI 干擾的方差為

信道矩陣H 是近似限帶的，間距較遠的子載波引入的ICI 干擾可以忽略.設限帶后的信道矩陣為B，則有B=H ?T(Q).符號?表示點乘運算，T(Q)為限帶開關矩陣.該矩陣為Toeplitz 矩陣，首列向量為，帶寬為2Q+1.Q 為限帶參數，它最終決定了限帶信道矩陣B 的帶寬.文獻［12］研究了Q 的取值對信道估計性能的影響.通常來說，Q 要遠小于系統的子載波數N.對于LTV 信道模型，其取值為1 或者2.

在OFDM 系統中加入窗函數，目的在于增強時變信道的限帶特性，進而降低較遠子載波的ICI 干擾.加窗后的等效信道頻域矩陣為Hw，則等效限帶信道矩陣Bw=HwT(Q).為增強信道的限帶特性，文中優化目標為經過仿真可以證明，常規的窗函數(漢明窗等)即可使得目標函數成立.

2 算法原理

當時變信道的歸一化多普勒頻移小于0.1 時，OFDM 符號內的信道可以近似為線性時變信道(LTV).而LTV 模型又可以分為單折線LTV 模型和雙折線LTV 模型［15］.在OFDM 系統的接收端加入窗函數，優化信道限帶特性的同時，也會額外地引入時變性.因此，利用LTV 信道模型進行信道估計時，要考慮到窗函數對基函數帶來的影響.

采用單折線LTV 模型時，時域信道響應可以表示為［15］

式中:hmid為OFDM 符號中心時刻的信道響應;α 為信道斜率組成的Toeplitz 矩陣;M 為時域基函數矩陣，其為對角矩陣.

采用雙折線LTV 模型時，時變信道響應可以表示為［15］

式中:αpre為折線1 的信道斜率矩陣，αnxt為折線2 的信道斜率矩陣;Mpre和Mnxt為基函數矩陣，且M =Mpre+Mnxt.

首先分析單折線LTV 模型下的信號，然后將結果推廣到雙折線模型.如果直接采用單折線LTV 模型對加窗后的等效信道進行估計，即假設系統的時變性只由信道的時變性引起的，則等效頻域信道矩陣為

式中:Hw，mid為加窗后中心時刻的等效信道矩陣;C 為頻域基函數矩陣，C =FMFH;αw為等效的時域斜率矩陣，αw=Δwα;Aw為等效的頻域斜率矩陣.由上式可知，若假設系統的時變性均是由信道引起的，那么基函數矩陣保持不變.因此可以采用文獻［15］直接求解等效斜率矩陣，獲取信道的估計.由于沒有考慮到窗函數的影響，該方式的性能較差.尤其當窗函數幅度變化劇烈時，該方法可能會完全失效.

另一方面，可以將窗函數引入的時變性單獨考慮.那么，等效信道頻域矩陣Hw可以寫為

式中:A 為頻域斜率矩陣;Cw為加窗后等效的基函數矩陣，Cw=WC;Hmid為hmid的頻域形式，表示中心時刻的頻域信道矩陣.通過等效基函數矩陣，可以將窗函數引入的時變性與信道的時變性獨立開來，從而保證信道估計的準確性.W 和Cw的表達式分別為

式中，w(p)為窗函數的系數.優化后的模型即稱為W-LTV 模型.它的基函數是由窗函數和子載波位置共同決定的.利用文獻［15］的方法直接求解原始的斜率矩陣，最終可以獲取式(10)表示的信道響應，完成信道估計.

由式(10)可知，Hmid和A 均為對角矩陣，因此Hw的限帶特性完全取決于W 和Cw.而W 和Cw均為Toeplitz 矩陣，該矩陣完全是由其首列向量決定的.因而，Hw的限帶特性完全取決于式(11).由此可知，通過選擇適合的窗函數，可以使得式(11)的限帶特性優于矩形窗的限帶特性.

將該結論推廣到雙折線模型，其等效信道響應為

式中，Hw，mid= WHmid，Apre和Anxt為對角斜率矩陣，Cw，pre、Cw，nxt為改進后的基函數矩陣參數.改進的基函數矩陣為:

從式(13)可以看出，基函數矩陣不僅與子載波的位置有關，還與窗函數有關.窗函數是事先設計得到的，因此計算上述基函數同樣可以事先設計得到，不需要額外的硬件資源.傳統OFDM 系統的窗函數為矩形窗，此時上式的基函數矩陣與文獻［15］一致;當選擇其他函數時(如漢明窗)，可以有效地降低ICI 干擾.

3 簡化算法

等效信道矩陣Hw為N×N 的方陣，利用式(12)計算信道矩陣時，至少需要3N2個復乘法運算和2N2個復加法運算.考慮到Hw是近似限帶的，因此可以忽略遠離對角線的元素.設Cw的近似帶寬為2Q+1，那么只需要3(2Q +1)N 個復乘法運算和2(2Q+1)N 個復加法運算.

進一步探討等效信道矩陣的性質，尋求進一步簡化運算量的方法.單折線LTV 模型相對比較簡單，筆者首先考慮該模型下的簡化算法，然后將其推廣到雙折線模型中.通常情況下，窗函數是實函數且關于中心點偶對稱，即w(n)=w(N-1-n).設m=n+d，則由式(11)可知，Cw(n+d，n)=C*w(n-d，n)，其中*表示復數的共軛.那么對于-Q≤d≤Q，有如下表達式

那么，將上述條件帶入式(10)中，得到系統的信道響應:

可以看出，通過上式可將單折線LTV 模型下的計算量降低到原來的一半.

在雙折線LTV 模型中，

式中:Aavr為平均斜率，Aavr=(Anxt+Apre)/2;ΔA 為線段斜率的增量，ΔA=(Apre-Anxt)/2;Cw=Cw，pre+Cw，nxt;ΔCw為基函數矩陣的增量，ΔCw= Cw，pre-Cw，nxt.

在雙折線LTV 模型中，兩條線段的斜率幾乎是相同的.線段的斜率增量近似為零，即ΔCwΔA≈O.則雙線段模型下系統的信道響應為

由上式可以看出，在雙線段模型下，同樣可以采用該方法簡化信道估計時的計算量.簡化后，算法的運算量降低為2(Q+1)N 個復乘法運算和(2Q+1)N個復加法運算.當Q=1 時，簡化算法的復乘運算量降低了125%，復加運算量降低了50%.結論，窗函數對ICI 干擾具有兩種作用，一是增強了d=1 的載波的ICI 干擾，二是抑制了d ＞1 的ICI 干擾.由此證明，窗函數可以很好地抑制帶外的ICI 干擾，增強信道的限帶特性.值得說明的是，在推導MBAE-SOE 窗時采用的參數Q=1.

圖2 ICI 干擾隨載波間距d 的變化情況Fig.2 Changes of ICI power with carrier spacing d

當歸一化多普勒頻移為0.1 時，帶外ICI 干擾隨帶寬參數Q 的變化情況見圖3.為驗證理論推導的正確性，圖中同時給出了理論曲線和仿真曲線.可以看出，理論曲線與仿真曲線完全吻合.當系統無窗函數時，其帶外的ICI 干擾隨Q 的增大衰減緩慢;當加入漢明窗時，帶外的ICI 干擾快速衰減.特別地，當Q=1 時，漢明窗的帶外ICI 干擾已經降低到-40 dB，遠小于矩形窗的-22 dB.

4 算法仿真

仿真采用了128 點FFT，其中導頻子載波數為16，循環前綴的長度為16，系統的采樣間隔為0.2μs.導頻載波和數據載波的調制方式均為四相相移鍵控(QPSK).導頻載波等間隔地分布在OFDM 系統的整個頻帶中.多徑信道采用了COST207RA 4 徑模型，多普勒功率譜采用的是經典譜.

圖2 示出了當歸一化多普勒頻移為0.1 時加窗后的ICI 干擾隨載波間距d 的變化情況.可以看出，隨著載波間距的增大，ICI 干擾亦隨之降低.當系統無窗函數時(矩形窗)，ICI 干擾衰減緩慢;當加入漢明窗時，ICI 干擾衰減速度很快.圖中，漢明窗和MBAE-SOE 窗的ICI 干擾是近似一致的.特別地，它們的ICI 干擾主要集中在d =1 的載波上.可以得出

圖3 帶外ICI 干擾隨Q 的變化情況Fig.3 Changes of out-of-band ICI power with Q

圖4 示出了當歸一化多普勒頻移為0.05 時系統誤碼率隨信噪比的變化情況.圖中，方法A 是文中提出的方法，方法B 則將窗函數的時變性等效為信道的時變性.為了對比方法的性能，圖中給出了文獻［15］的方法、最小二乘估計及理想信道估計下的誤碼率曲線作為對比基準.這3 種方法均針對的是無窗的傳統OFDM 系統;而方法A 和方法B 加入了漢明窗.從圖中可以看出，當誤碼率為0.002 時，方法A 的抗噪聲性能相對文獻［15］的方法提升了2.5 dB.其性能基本上與理想信道估計的性能一致.方法B 的性能非常差.這是由于窗函數的時變性非常劇烈，LTV 模型不能有效地跟蹤其時變特性造成的.

圖4 歸一化多普勒頻移為0.05 時不同方法的BER 對比Fig.4 BER comparison of different methods at the normalized Doppler shift of 0.05

5 結語

在OFDM 系統的接收端加入窗函數，可以有效降低子載波的頻率彌散現象.但窗函數引入了新的時變性，并且該時變性相對于信道的變化更為劇烈.文中將窗函數與信道的時變性隔離開來，提出了WLTV 模型.從仿真結果可以看出，加入窗函數可以抑制信道矩陣的帶外ICI 干擾，增強其限帶特性.與傳統OFDM 系統的性能相比，加入窗函數可以使系統性能有很大程度的提升.

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