基于修正Newton法的固體火箭能量管理彈道設計①

李新國，王晨曦，王文虎

(1.西北工業大學 航天學院，西安 710072;2.航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072)

0 引言

一直以來，固體火箭憑借其耐儲存、發射準備時間短，具備快速響應發射能力，而廣泛用作導彈及小衛星的運載工具。當前，固體火箭的相關研究依然受到人們的重視和青睞，特別是近年來，隨著高超聲速技術的發展，對固體火箭的彈道設計又提出了新的要求，如X-43及HTV-2為滿足特定的試驗條件，要求其固體助推火箭能滿足特定的關機點狀態［1］。因此，固體火箭多終端約束彈道設計、制導問題，成為新的研究熱點。但是，固體火箭發動機為了結構簡單，減少結構質量，無推力中止裝置，只能耗盡關機，這給其彈道設計、制導帶來了新的考驗。

John T Patha［2］研究了基于俯仰姿態機動的能量管理方法，Zan Paul［3］研究了 GEM 能量管理方法，Xu Heng［4］研究了基于三次樣條曲線的能量管理，關為群［5］研究了THHAD導彈的能量管理，均無法同時滿足高度、速度、彈道傾角約束。本文通過建立能量管理彈道設計模型，將多終端彈道設計問題轉化成非線性方程組求解問題，采用修正Newton法對其求解，獲得滿足關機點狀態的彈道設計參數。計算結果表明，該方法可用于不同關機點狀態約束彈道的設計。

1 固體火箭能量管理問題

對于特定飛行任務，固體火箭需要滿足特定關機點能量及多終端狀態約束，如為實現對不同射程目標的覆蓋，需要在小射程任務時主動消耗能量，大射程要盡可能提高關機點能量［6］。

通過級間滑行和姿態機動均可實現固體火箭的能量管理。能量管理可歸結為兩方面:能量大小和能量組分(動能和勢能的比例)的管理。其中，無動力滑行是一種不改變能量大小，可改變能量組分的方法。本文主要研究了小射程所需的小終端能量彈道的設計問題，研究通過姿態機動來消耗能量，為滿足多終端約束，采用了俯仰+偏航聯合能量管理。能量管理技術分類見圖1。

圖1 能量管理技術分類Fig.1 Kinds of energy management technology

2 能量管理彈道設計模型

2.1 動力學模型

在發射慣性坐標系下，建立如下固體火箭的運動方程:

上述的運動方程中包含6個狀態變量，r∈R3，V∈R3分別為位置和速度向量，g(r)為引力加速度向量;g0為地球表面的參考引力加速度大小;Isp為發動機的比沖;m是飛行器質量，為推進劑秒流量;FT為發動機推力的大小;FA和FN分別代表軸向氣動力和法向氣動力的大小。

文中的控制變量為飛行器的姿態lb。假設推力方向總是與火箭的體縱軸方向重合，即lT=lb，則

式中 CA、CN為軸向和法向氣動力系數，是攻角和馬赫數的函數;Sref為參考面積。

控制量和姿態角之間的計算公式如下:

式中 u為沿推力方向的單位向量;φ、ψ分別為俯仰和偏航姿態角，本文以俯仰角和偏航角作為設計變量。

2.2 約束條件

(1)過程約束

為了滿足飛行要求，需對垂直飛行時間及最大攻角進行限制，考慮控制系統的控制能力，需對姿態角速率進行限制。

一級垂直飛行時間:

一級飛行攻角絕對值:

姿態角速率:

其中，垂直飛行時間和攻角絕對值限制通過給定飛行程序的設計來實現，姿態角速率則是通過在仿真程序中進行限幅來滿足。

(2)終端約束

固體火箭關機點狀態根據設計要求，不同任務需滿足不同的關機高度、速度及當地彈道傾角為零。

2.3 飛行程序

2.3.1 俯仰程序

固體火箭的俯仰程序角參考傳統運載火箭的設計方法［7］。下面給出了各段程序描述。

(1)垂直段(0→t1)

t1為飛行器起飛到垂直段結束時刻，認為垂直結束時刻與起飛時的推重比N01有關，并按下式近似取值:

(2)亞音速轉彎段(t1→t2)

從垂直段結束時刻t1開始到t2時結束，此段為亞音速轉彎段，火箭以負攻角飛行，具體按下式變化:

式中 αmax為攻角絕對值的最大值;a為轉彎常系數，a決定了轉彎過程的快慢。

(3)關機分離段(t2→t1k)

為確保正常分離，級間分離段采用常值姿態角飛行，俯仰角保持不變。

式中 φ2k為一級結束時的俯仰角。

(4)二、三級飛行段

固體火箭二、三級飛行時，已處于稀薄大氣層中，這時一般可忽略氣動力的影響，采用如下飛行程序:

圖2 偏航能量管理程序角Fig.2 Yaw curve for energy management

其中，φpr(t)為程序俯仰角，俯仰角的描述參數包括垂直飛行時間t1、最大攻角絕對值αmax、轉彎系數a、轉彎結束時刻 t2，以及二、三級關機時的俯仰角 φ2k、φ3k。這樣上升段彈道優化問題就轉化為參數優化問題，通過調節上述涉及參數，獲得滿足要求的關機條件。

2.3.2 偏航程序

在三級的偏航通道引入能量管理，在進行能量管理時，第一級仍按原俯仰程序飛行，主動段能量管理采用同時設計二、三級俯仰角和三級偏航角來實現。

下面給出偏航角隨三級視速度模量變化的模型［7－8］。由于三級飛行高度在60 km以上，可不考慮阻力損失。發動機能提供的視速度模量可按理想速度公式計算:

式中 Wm為視速度模量;m30為三級起飛質量;m3k為三級關機點質量;Ispv為三級發動機真空比沖。

其中，Wi=(i·Wm)/6，i=0，…，6?？赏ㄟ^設計 Δφmax的大小調整能量管理的幅度。偏航能量管理程序角見圖2。

2.4 彈道設計模型

通過上述俯仰角、偏航角程序模型，彈道設計問題可轉化為程序角模型參數的設計問題。為完成能量管理彈道設計，彈道設計過程分為2步:

(1)采用參數優化方法，獲得滿足高度、傾角約束，關機點速度最大彈道;

(2)采用能量管理設計模型，基于牛頓迭代法，獲

、 、 。

(1)基準設計模型

基準彈道設計通過參數優化來實現，求解滿足終端高度、傾角約束下的最大速度問題(等價于能量最大)。

目標函數:

設計參數:

約束條件:

本文采用單純形法，對上述問題進行了求解，獲得滿足約束的基準彈道，并用于能量管理彈道的設計。

(2)能量管理設計模型

在基準彈道設計的基礎上，進行能量管理程序角的設計。

設計參數:

約束條件:

采用Newton迭代法，可迭代求解上述3個參數，獲得滿足終端能量約束的彈道。

3 修正Newton法

3.1 基本原理

對于如下包含n個未知數的n個非線性方程組求根問題，牛頓迭代法是求解這類問題最為常用的手段。

其中，X∈Rn，F∶Rn→Rn，F(X)∈Rn。

修正Newton法結合了Newton法和簡單Newton法各自的優點［9］，間隔地對雅克比矩陣進行重新計算，既保留了Newton法快速收斂的特性，又減小了雅可比矩陣計算的次數。修正Newton法的計算格式如下:

式中 j=1，2，…;k=0，1，2，…。

實際應用中，較為常見的是m=2的情形。此時，可將上式簡化為

3.2 修正Newton法計算步驟

輸入:給定方程組的階數N;最大迭代次數M;迭代初值X0;誤差ε或δ，以及每個牛頓步中所包含的簡化Newton步的子步數Substep數。

輸出:近似解X或迭代次數超過M的信息。

(1)假定已迭代了k次，已經求出了Xk及F(Xk);

(2)計算雅可比矩陣:

(3)用高斯消去法求解n×n階線性方程組:

(4)求 Xk，j+1=Xk，j+ ΔXk，j;

(5)計算 F(Xk，j+1);

(6)若 j＜ SubStep，則 j=j+1，Xk，j=Xk，j+1，并轉步驟(3)，否則轉步驟(7);

(7)若‖F(Xk+1)‖ ＜ δ或‖ΔXk+1‖ ＜ ε，則 X*=Xk+1結束，否則轉步驟(8);

(8)若 k＜ M，則 k=k+1，Xk=Xk+1，并轉步驟(2)，否則結束。

4 算例及結果分析

4.1 設計計算條件

采用某三級固體運載火箭作為研究對象，研究了不同關機高度情況下的能量管理彈道設計問題，采用上述設計方法分別對關機點彈道傾角0°，高度為80、90、100 km，速度范圍為5 500～6 500 m/s的多種終端約束彈道進行設計。

表1給出了一組關機高度100 km能量管理彈道的設計結果。結果表明，采用修正Newton法，可滿足終端約束精度。

表1 關機高度100 km時不同終端約束彈道設計結果Table 1 Result on different terminal constraints with cutoff height 100 km

4.2 計算結果分析

關機高度100 km不同終端速度彈道的仿真曲線如圖3～圖8所示。

圖3 能量管理彈道高度曲線Fig.3 Height of energy management trajectory

圖4 能量管理彈道速度曲線Fig.4 Velocity of energy management trajectory

圖5 能量管理彈道俯仰角曲線Fig.5 Pitch angle of energy management trajectory

圖6 能量管理彈道偏航角曲線Fig.6 Yaw angle of energy management trajectory

圖7 能量管理彈道攻角曲線Fig.7 Angle of attack of energy management trajectory

圖8 不同關機高度能量管理彈道速度曲線Fig.8 Velocity of energy management trajectory with cut-off height

由圖3可知，不同能量管理幅度彈道，三級飛行段高度曲線差異很小，且變化平緩;速度曲線圖4表明，不同能量管理飛行程序可實現三級飛行速度的控制，且俯仰偏航角角速率在設計范圍內，易于控制系統對其進行跟蹤(見圖5、圖6);圖7為不同能量管理幅度下的攻角曲線，顯然飛行過程中的攻角絕對值小于設計約束;圖8表明，通過本文設計方法，可實現不同高度約束下指定終端速度的彈道設計。

4.3 能量管理對載荷投放的意義

固體火箭一種潛在的應用就是作為助推滑翔飛行器的助推器，為驗證能量管理進行射程調節的效果，給出了不同關機點速度下的最大縱程、橫程。

選擇關機高度100 km，在不同關機點能量下，滑翔段的最大縱程和橫程曲線見圖9。

圖9 不同關機點能量對應的滑翔段最大縱程和橫程Fig.9 Maximum range of glide phase with different energy at cut-off

滑翔飛行器采用CAV-H的相關參數［10］。優化結果表明，關機點速度每減少200 m/s，最大縱程減小10°～15°，最大橫程減小 5°左右(每度約合 110 km)。通過能量管理，可顯著改變射程及機動能力。

5 結論

(1)提出了一種基于俯仰、偏航程序角聯合設計的能量管理彈道設計模型，用于固體火箭的彈道設計，可拓寬其飛行包線，對改善固體火箭的任務適應性有一定意義。

(2)本文方法參數設計簡單，用修正Newton法可快速得到彈道設計參數，實現彈道快速生成，便于發射諸元的裝訂。

(3)作為一種可實現不同關機點能量的彈道設計方法，用于助推-滑翔導彈助推段彈道設計，能夠調節滑翔射程，進而可對不同射程的目標進行打擊。

［1］Walker S H，Sherk J，Shell D.The DARPA/AF falcon program:The hypersonic technology vehicle#2(HTV-2)flight demonstration phase［C］//15th AIAA International Space Planes and Hypersonic Systems and Technologies Conference.Dayton，Ohio，2008.

［2］Patha J T，Mcgehee R K.Guidance，energy management，and control of a fixed-impulse solid-rocket vehicle during orbit transfer［R］.AIAA 1976-1920.

［3］Zarchan P.Tactical and strategic missile guidance［M］.Reston，Virginia:AIAA Tactical Missile Series，AIAA 1997.

［4］Xu H，Chen W.An energy management ascent guidance algorithm for solid rocket-powered launch vehicles［C］//17th AIAA International Space Planes and Hypersonic Systems and Technologies Conference.San Francisco，California:2011.

［5］關為群，殷興良.美國THAAD導彈能量管理控制機動研究［J］.現代防御技術，2005，33(3):43-47.

［6］王晨曦，李新國.助推-滑翔導彈射程管理技術研究［J］.固體火箭技術，2012，35(2):143-147.

［7］賈沛然，陳克俊，何力.遠程火箭彈道學［M］.長沙:國防科技大學出版社，1993.

［8］陳世年.固體彈道導彈系列:控制系統設計［M］.北京:中國宇航出版社，2005.

［9］謝世坤，段芳，李強征，等.非線性方程組求解的三種Newton法比較［J］.井岡山學院學報(自然科學)，2006，27(8):8-13.

［10］Phillips T H.A common aero vehicle(CAV)model，description and employment guide［R］.www.dtic.mil/matris/sbir/sbir041/srch/af031a.doc，2003.