基于滑模反演控制方法的縱向制導控制一體化設計①

張金鵬，周池軍，雷虎民

(1.北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100191;2.空軍工程大學防空反導學院，西安 710051)

0 引言

傳統制導控制系統設計方法假設制導回路和控制回路可以分離，控制回路設計不依賴于制導回路，這種方法在過去被證明是有效的，并且廣泛應用。隨著戰術彈道導彈技術的不斷成熟，目標機動性能的大幅度躍升對攔截彈的機動過載和快速響應能力提出了更高要求，傳統的制導控制系統設計方法的弊端逐漸暴露，制導控制一體化設計在提高制導精度、減小攔截彈響應時間方面的獨特優勢使其在攔截高速機動目標方面具有廣闊的應用前景［1］。制導控制一體化設計問題可歸結為一類非匹配不確定系統的輸出跟蹤問題。反演控制具有對非匹配不確定性的抑制能力，將其與滑?？刂平Y合，進行一體化控制器設計已成為當前制導控制一體化研究的熱點。文獻［2］將動態面設計思想融入基于滑模反演控制理論的一體化控制算法設計中，取得了較好的控制效果，但在設計過程中沒有考慮執行機構速率的限制。文獻［3－4］利用神經網絡在線逼近系統的不確定性，基于滑模反演控制理論設計了一種一體化算法，通過調整參數來提高系統狀態跟蹤誤差的收斂速度，但該算法較復雜，需要調整的參數較多。文獻［5］以零控脫靶量為目標進行了滑模反演一體化算法設計，并利用干擾觀測器對系統的不確定性進行了估計，但只采用單個特征點的氣動數據進行仿真驗證，缺乏足夠的說服力。以上文獻都針對系統的非匹配不確定性進行了基于滑模反演控制理論的一體化算法設計，雖然都達到了一定的效果，但是這些算法幾乎都是用于攻擊低速目標或者是地面固定目標，對于攔截高速機動目標的適用性還需要進一步檢驗。

本文針對攔截高速機動目標的末制導問題，設計了攔截彈縱向通道的滑模反演一體化控制算法。通過建立合理的一體化制導控制系統模型，將制導控制一體化設計問題轉化為系統的輸出跟蹤問題，結合動態面設計思想，采用低通濾波器克服了反演控制本身存在的計算膨脹問題。該一體化算法不但能夠保證攔截彈自身姿態的穩定，而且具有較高的制導精度。

1 問題描述

考慮滾轉通道穩定的尾翼控制攔截彈的末端攔截問題，假設攔截過程中攻角和側滑角很小，對于攔截彈的某一通道來說，其余通道對其產生的耦合影響是有界的［6］?；谝陨霞僭O，可將攔截彈制導控制系統分解為縱向通道和側向通道2個獨立的子系統，對每個子系統分別進行設計。由于縱向通道與側向通道的制導控制一體化設計具有相似性，故只研究縱向通道的制導控制一體化設計，利用縱向通道與側向通道的對偶性可以將所設計的算法簡單地擴展到三維。

2 制導控制一體化算法設計

2.1 模型轉換

為便于進行滑模反演控制算法設計，將上述一體化模型轉換為相變量方程。令取則可以將上述模型轉換為含有非匹配不確定性的線性模型:

式中 x1、x2、x3為系統狀態變量;u=δz為系統控制輸入;g為控制輸入項系數;y為系統輸出;Δ1、Δ2、Δ3為系統的不確定性;f(x1，x2，x3)=h1x1+h2x2+h3x3為確定的線性函數;h1、h2、h3、g、Δ1、Δ2、Δ3的具體表達形式參考文獻［7］。

在上一節建立制導控制一體化模型時，為降低模型轉換的復雜度，將目標的機動加速度作為不確定性處理，但實際上目標加速度并不是完全未知的。如果視線角速度、彈目相對距離和相對速度等信息可以測量得到，那么結合導彈自身的運動信息能夠近似估計目標的機動信息［8］。因此，可以將目標機動引起的不確定性從Δ1、Δ2、Δ3中分離出來，從而減輕控制器的設計負擔，降低系統設計的保守性［4］。故可以將相變量方程(2)進一步轉換為

其中:

2.2 一體化控制算法設計

一體化控制算法設計的目的是設計一個魯棒狀態反饋控制器，使得帶有上述非匹配不確定性的線性時變系統的輸出跟蹤期望的輸出軌跡，即視線角速度趨近于零，同時保證系統的其他狀態有界。為了便于一體化控制算法設計，首先給出以下幾點假設:

假設1:假設在參數攝動情況下，系統控制輸入項系數始終滿足g≠0。

假設3:假設μi(t)＞0，1≤i≤3為連續可導函數，且滿足

定義閉環系統(3)的狀態跟蹤誤差為

式中 α1、α2為第一步需要設計的虛擬控制律。

第一步:針對閉環系統(3)的前2個子系統，設計虛擬控制律 α1、α2的估計值 x2c、x3c為

其中，c1＞0，c2＞0，x2c、x3c可由 α1、α2濾波得到，一階低通濾波器的動態方程為

式中 τ1、τ2為濾波器時間常數;α1、α2滿足 α1(0)=x2c(0)，α2(0)=x3c(0)。

定義系統的估計誤差為

對式(4)求導，并將式(5)、式(7)帶入得

第二步:設計滑?？刂坡蓇，考慮閉環系統(3)的第三個子系統，對跟蹤誤差e3求導可得

取滑模面s=k1e1+k2e2+e3，選擇系數k1、k2使多項式p2+k2p+k1滿足Hurwitz穩定條件，對s求導可得

她在幼兒園的窗外，默默觀察孩子在教室里面的活動。兩個孩子都給了他，他以及他的家人極為喜愛兩個混血孩子。她打算離開南半球，什么都沒有要，只想離開5年僵滯停頓的生活環境。無法跟孩子在一起。也許也可以像貞諒，帶著孩子在世間東奔西顛，但她不覺得這是好的方式。這個家庭式幼兒園提倡美德、素食、勞動、安靜，把孩子托付給一個小范圍的有規范的社會是必要的。他們在那里受到理念的約束和指導，周圍都是同類，不會覺得隔離和邊緣。

設計滑?？刂坡?

其中:

式中 uc為補償項;uvss為切換控制項;K為控制增益;

2.3 穩定性分析

為便于分析穩定性，首先給出如下引理［7，9－10］:

引理1:設K∶D→R是定義域為D?Rn且包含原點的連續正定函數，并假設對于某個r＞0有Br?D，則對于所有x∈Br，存在定義在［0，r］上的κ類函數a1和a2，滿足:

如果D=Rn且K(x)是徑向無界的，則存在κ∞類函數a1和a2在［0，∞)上有定義，使得上式對于任意x∈Rn都成立。

引理2:假設對于所有 μi(t)＞0，1≤i≤3，則以下不等式恒成立:

引理3:對于系統:

(1)若存在正常數m1使得‖Λ‖≤m1，則存在正常數m2使得‖Z‖≤m2;

(2)若Λ漸近收斂到零，則Z漸進收斂到零。

定義閉環系統(3)的Lyapunov函數為

對V求導可得

由估計誤差可得

由引理1可知，存在κ∞類函數κ2和κ3使得

將式(10)、式(14)～式(17)帶入式(13)，根據假 設2、假設3及引理2可得

根據引理3可知，閉環系統的所有狀態均有界。通過選擇適當的控制器參數，可保證閉環系統輸出跟蹤誤差在有限時間收斂到原點附近一個任意小的鄰域內，而且此鄰域的大小與不確定性的界限無關，僅由控制器參數決定［11］。

3 仿真驗證

3.1 仿真結果

假設攔截彈的初始位置為(1 000 m，18 000 m)，速度為1 600 m/s，初始彈道傾角為15°，初始攻角0°，俯仰角速度初值為0(°)/s。初始彈目視線角為30°，目標距離攔截彈15 000 m，速度為2 000 m/s，初始彈道傾角為220°，機動過載為5gsinπt。

當彈目相對距離小于200 m時，進入導引頭盲區，制導控制系統不再進行指令計算，舵面保持?？貢r刻的偏轉角度不變，攔截彈依靠自身慣性飛向目標。假設攔截過程中攔截彈受到以下物理條件約束:

控制算法中的有關參數選擇如下:濾波器時間常數 τ1= τ2=0.01 s，仿真步長取 0.001 s，c1=3，c2=3，k1=5，k2=3，K=5。

為了驗證本文所設計的一體化算法(IGC)的有效性，將其與傳統的制導控制系統分開設計方法進行比較。傳統設計方法引用文獻［4］中采用的變結構制導+滑?？刂圃O計方法(VSG-SMC)，具體仿真結果如圖1～圖6所示。

為了檢驗本文所設計的一體化算法的魯棒性和制導效果，在其他仿真條件不變的情況下改變氣動參數攝動量和目標的機動方式，并在視線角速度量測信號中加入信號本身大小2%的零均值高斯白噪聲，進行200次蒙特卡洛仿真，得到攔截參數如表1所示。

圖1 彈目相對運動軌跡Fig.1 Trajectories of interceptor and target

圖2 狀態跟蹤誤差變化曲線Fig.2 Curves of state track error

圖3 視線角速度變化曲線Fig.3 Curves of line of sight rate

3.2 結果分析

由圖1可知，采用本文所設計的一體化算法得到的攔截彈彈道曲線比較平直，表明攔截彈受到的機動過載更小。

由圖2～圖3可知，采用一體化算法時，系統的狀態跟蹤誤差e2、e3和視線角速度均能夠迅速收斂到零，體現了一體化算法的有效性。雖然由于目標機動產生的干擾隨著彈目距離的減小而逐漸增大，使系統的不確定性增大，導致?？貢r刻狀態跟蹤誤差e2、e3和視線角速度出現了小幅發散，但是對于終端脫靶量影響不大。而采用傳統設計方法時，視線角速度對于目標作正弦機動比較敏感，而且在?？貢r刻視線角速度發散較為明顯，從而增大了終端脫靶量。

圖4 攻角變化曲線Fig.4 Curves of angle of attack

圖5 俯仰角速度變化曲線Fig.5 Curves of pitch rate

圖6 舵偏角變化曲線Fig.6 Curves of rudder deflection angle

由圖4～圖6可知，2種設計方法得到攻角、俯仰角速度和舵偏角均未超出物理條件限制，攔截彈能夠保證自身姿態的穩定，當系統的狀態處于趨近運動階段時，采用傳統設計方法得到的攻角和舵偏角較大，當系統的狀態處于滑模運動階段時，為了使系統的狀態維持在滑模面上，采用傳統設計方法需要產生較大的舵偏角、攻角和俯仰角速度來消除目標機動引起的干擾，而采用一體化算法得到的攔截彈舵偏角變化更加平穩，舵面偏轉角度較小，克服了滑?？刂埔鸬亩墩駟栴}，大大降低了對舵機的要求。

由表1可知，在目標不機動、正弦機動和圓弧機動3種情況下，制導控制一體化算法對于氣動參數的攝動均具有較強的魯棒性。與傳統的制導控制系統分開設計方法相比，一體化設計能夠在更短的時間內以更高的制導精度攔截目標。一體化設計方法相對傳統設計方法在攔截高速機動目標方面具有明顯的優勢。

表1 攔截參數對比Table 1 Comparison of interception parameters

4 結論

(1)對于高速機動目標的攔截問題，制導控制一體化設計仍然具有較強的適用性。

(2)與傳統的制導控制系統分開設計相比，制導控制一體化設計具有更短的攔截時間和更高的制導精度。

(3)所設計的一體化算法能夠保證攔截彈自身狀態的穩定，并且對于參數攝動具有較強的魯棒性。

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