色譜經濟分析法系列研究：分離度理論

沈 萍，任靜儒，陳安琪，程佳朦

（1.武漢職業技術學院，武漢430074；2.武漢大學經濟與管理學院，武漢 430072）

色譜經濟分析法系列研究：分離度理論

沈 萍1，任靜儒2，陳安琪2，程佳朦2

（1.武漢職業技術學院，武漢430074；2.武漢大學經濟與管理學院，武漢 430072）

將化學色譜分析法引入到經濟學中對復雜經濟現象進行分類分析，先后已進行了平衡理論、塔板理論和速率理論等系列置換研究。在這些研究的基礎上，文章將探討色譜經濟分析法的重要理論：分離度理論，進一步研究色譜柱對復雜經濟現象分離效果的量度指標，探討提高色譜柱分離效果的方法，并為后續經濟信號檢測、定性定量分析的研究作好一定的鋪墊。

色譜經濟分析法；分離度理論；柱效能

0 引言

游士兵等（2011～2013）前期將化學色譜分析法引入到經濟學研究領域進行了初步探索和研究，完成了創建色譜經濟分析法的有關基礎研究、塔板理論置換研究、速率理論的置換模擬及其經濟學思考，在前期研究成果中已經說明了分配比的差異是組分分離的本質原因（沈萍等，2011），而分配比的差異可通過保留時間的不同來體現，而色譜峰擴寬的程度也影響著色譜柱的分離效果，因此，本文將在前期研究的基礎上進一步研究色譜柱對復雜經濟現象分離效果的量度指標，探索色譜經濟分析法在社會科學領域中的實際應用價值，并為下一步探討提高色譜柱分離效果的方法打下一定的理論基礎。

1 化學色譜分析法分離度理論主要量度指標

1.1 色譜柱效能

在化學領域色譜柱的效能通常用有效塔板數neff來表達，當兩組分經過色譜柱的檢測，得到色譜圖后即可測定調整保留時間（tR’）、峰寬（W）以及半峰寬（Wh/2），如圖1所示：

圖1 混合兩組分經過色譜柱檢測的色譜圖

其中，tRM為空氣流出色譜柱的保留時間，tR1為組分1流出色譜柱的保留時間，tR2為組分2流出色譜柱的保留時間，tR1’為組分1流出色譜柱的調整保留時間，即tR1’=tR1-tRM，同理，tR2’為組分2流出色譜柱的調整保留時間，即tR2’=tR2-tRM；W1為組分1流出色譜柱的峰寬，W2為組分2流出色譜柱的峰寬，在峰高為一半時峰寬即為半峰寬（Wh/2）。

有效塔板數與色譜參數之間的關系為：

其中tR’為調整保留時間，W為色譜峰的峰寬，Wh/2為色譜峰的半峰寬，此時峰寬（W）及半峰寬（Wh/2）的單位用時間表示。進而可以由上式（1）計算出該色譜柱的有效塔板數。

應該注意的是，不同組分經過同一色譜柱后的色譜峰是不同的，即不同組分的tR、W和Wh/2不同，所計算出的n不同，即同一色譜柱在分離不同組分的混合物時，同一色譜柱對不同組分的柱效能是不同的。因此，當測定色譜柱的有效塔板數時，應說明是用什么物質進行測定的有效塔板數。

1.2 分離度（R）

色譜柱的有效塔板數越大，表示組分在色譜柱中達到分配平衡的次數越多，固定相的作用越顯著，因而對分離越有利。值得指出的是，用塔板理論所表示的柱效不能表示被分離組分的實際分離效果，因為分離的可能性取決于待分離的混合物中不同組分分配比的差異大小，而不是取決于分配平衡的次數的多少，當不同組分的分配比都相同時，無論該色譜柱的塔板數多大，都無法分離。因此，不能將有效塔板數看作能否實現混合物中不同組分分離的依據，只能將有效塔板數和理論塔板高度看作在一定條件下色譜柱分離能力發揮程度的標志。

分配比反映了色譜柱對物質保留值的差別，它決定了不同組分經過色譜柱分離后的保留時間的差距；而色譜柱的柱效能反映的是色譜峰擴寬的程度，但都不能表示色譜柱的總分離效能，為了綜合考慮保留值的差值和峰寬對分離的影響，測定色譜分離中所達到的分離程度，需要引入分離度的概念。

分離度又稱為分辨率，定義為兩個相鄰組分的保留值之差與其平均峰寬值之比，用R表示，其表達式為：

當R＜0.8時，兩組分不能完全分離

當0.8＜R＜1時，兩峰部分重疊，兩組分分離程度低；

當R＝1時，兩峰重疊約2%，兩組分分離的程度可以達到98%；

當R＝1.5時，兩組分分離的程度可以達到99.7%，通常R=1.5作為相鄰兩組分完全分離的指標。

2 色譜經濟分析法分離度理論應用模擬

在《色譜經濟分析法中保留時間的置換研究》（沈萍、游士兵等2013）一文中已經以上市公司的分紅行為為研究對象，對保留時間進行置換。在中國金融市場上，上市公司分紅在一定程度上是選擇性的行為。參照化學領域的色譜塔板理論，以下將對分離不同類型上市公司的分離過程進行假設。

假設1：在一批同類上市公司群中有許多相互獨立的公司，在每個時期所有公司均獲得凈利潤，并且這些公司在除去法定公積金和法定公益金后，仍存在可供股東分配的利潤，即滿足分紅的條件。同時，在這些上市公司中，每個時期都存在分紅和不分紅的公司。

假設2：假定固定相設置為公司的利潤留存傾向，將流動相設置為公司的利潤分紅傾向。當一批同類上市公司群隨脈沖式流動相進入色譜柱后，每個時期（t）選擇分紅的公司數量與選擇不分紅的公司數量的比值為定值，該定值即為該類型上市公司群的分配比（k’）。

假設3：假設利潤充當載氣的角色，是推動企業進行分紅的內在機制。由于利潤并不是連續實現的，而是呈脈沖式逐期流經不同的部門，這種表現形式與化學領域中載氣的特性是統一的。由于上市公司選擇進行分紅的時期數一般不超過2次，所以將上市公司選擇進行分紅的時期數進行信號放大處理后設定為有效塔板數，即假設有效塔板數為上市公司選擇進行分紅的時期數的1000倍。

假設4：色譜經濟分析法對經濟領域的保留時間定義為：主體開始作用到其特定指標變化出現出樣峰值所需要的時間（tR）。需要說明的是：第一，“指標”的選取需要依據組分特定情況的分離目的而定，但其最優選擇能達到推斷內部機制，實現有效分離的目的；第二，這里的“時間”不僅僅是通常意義上的時間概念，是擴充經濟領域中的具體因素或變量。

假設5：假定有A、B和C三種不同類型的上市混合公司群，其中A和B兩種不同類型上市公司群在固定相與流動相間的分配比不同，而C類上市公司的特點是在獲得可供股東分配的利潤，具備向股東分配紅利的條件時，但在對A和B兩種不同類型上市公司的混合群進行色譜分離時，C類上市公司還未對本公司股東分配的利潤做出分配或留存決議，即C類上市公司在固定相與流動相間不分配，我們把C類上市公司稱為分離過程中不被色譜柱保留的其他干擾組分。

當A、B和C三種不同類型上市混合公司群通過色譜柱時，C類上市公司不會在色譜柱內的固定相與流動相之間進行分配，而是直接穿過色譜柱，從出口流出色譜柱，但A和B兩種不同類型上市公司群通過色譜柱時，會在色譜柱內的固定相與流動相之間進行分配，并且達到平衡，當混合組分穿過色譜柱，由于不同組分在固定相與流動相之間進行分配比存在差異，若干次的分配平衡會放大這種差異，使得A和B兩類上市公司群在不同的時間從色譜柱的出口流出，即不同的組分會有不同的流出時間——保留時間。

假定混合樣本中每種組分的初始數都為一個單位，當混合樣本進入色譜柱后，經過色譜柱的分離后可得到色譜圖，見圖2。其中，A和B兩種不同類型上市公司群的保留時間分別為：tRA為16.40；tRB為17.63；其峰寬分別為：WA為1.11；WB為1.21,另外，不被色譜柱保留的其他干擾組分——C類上市公司的保留時間tRM為1.30。

圖2 A和B兩種不同類型混合上市公司群的分離色譜圖

那么，可以通過對色譜柱的分離結果的分析解決以下問題：

問題1：此次分離過程中A和B兩種不同類型上市公司群經歷了多少次的分配？即色譜柱的有效塔板數是多少？

問題2：此次分離的效果如何，分離度為多少？

問題3：此次A和B兩種不同類型上市公司群的分離過程中，分配比為每時期選擇分紅的公司數量與選擇不分紅的公司數量之比，那么每類上市公司群的分配比為多少？

問題4：若以R=1.5（即分離程度達到99.7%）作為相鄰兩組分完全分離的指標，那么A和B兩種不同類型上市公司群需要經歷多少次的分配才能實現混合成分的完全分離，即色譜柱的有效塔板數是多少時才能實現混合成分的完全分離？

首先，根據公式（1）可得上市公司A與B混合樣本的在該次分離中有效塔板數，此次分離中A類上市公司群的有效塔板數為：

此次分離中B類上市公司群的有效塔板數為：

可見，此次分離過程中A和B兩種不同類型上市公司群經歷了2938次的分配平衡，色譜柱的有效塔板數是2938，此次分離的柱效為2938，即在柱口檢驗的指標為恰好進行了2.938次分紅。有效塔板數只能反映色譜柱分離能力發揮程度的大小和色譜峰擴寬的程度，并不能完全反映分離程度的大小，即不能完全反映色譜柱的總分離效能，而分離度能夠綜合考量不同組分經過色譜柱分離后的保留時間的差距，以及峰寬對分離的影響，準確反映色譜分離中所達到的分離程度。

那么，根據公式（1）可得A和B兩種不同類型上市公司群的混合樣本的分離度的大?。?/p>

由于，當R＝1時，兩峰重疊約2%，兩組分分離的程度可以達到98%；根據以上計算結果可知該次分離的分離度達到了1.06，其平均塔板數為3445，即此次分離過程中A和B兩種不同類型上市公司群進行了3.445次的分紅，所得到的兩個色譜峰重疊小于2%，分離的程度可以大于98%，基本實現完全分離。

在《色譜經濟分析法置換系列研究：分配比》（沈萍、游士兵等2011）一文中已經對色譜經濟分析法中分配比進行了置換研究，在經濟學領域中，分配比是固定相對組分的作用與流動相對組分的作用的比值，利用固定相、流動相對組分的作用差別，讓組分在固定相、流動相中反復作用，不同組分在固定相和流動相中的差異逐漸累積，使不同組分逐漸分離，最終達到分離的效果。所以，在經濟學領域中分配比定義為在一定的經濟環境下，所選取的固定相和流動相對于被分離組分的作用大小之比，與化學領域中的分配比不同的是，經濟學領域中的分配比不再只是某一個確定因素在固定相和流動相作用下的比例，而是根據所要分析的具體問題來定，但分配比與保留時間之間有以下關系：

由此可見，此次A和B兩種不同類型上市公司群的分離過程中，A類型上市公司群每個時期（t）選擇分紅的公司數量與選擇利潤留存不分紅的公司數量的比值為11.62；B類型上市公司群每個時期（t）選擇分紅的公司數量與選擇利潤留存不分紅的公司數量的比值為12.56，兩者的分配比差為0.94。

在經濟分析中，有一些組分的分配比我們是已知的，如通過具體的實踐調查所得，但是將這些經濟行為或者經濟主體混在一起時，我們只知道其中存在著哪一些的分配比，這時任務便是將不同分配比的組分分離出來；有一些組分的分配比是未知的，可通過分離的結果計算出相應的分配比，不同的分配結果是不同的分配比作用的結果。在我們進行一次或者多次試探性實驗后，可以得到相應的客觀經驗，形成較穩定的體系，從而促進進一步實踐完全分離。

對于兩者的分配比差為0.94的A和B兩種不同類型上市公司群的混合樣本，要經歷多少次分配才能實現混合成分的完全分離（以R=1.5為標準）？如果混合物中兩個不同組分的分配系數相差無幾，我們稱這兩個不同組分為最難分離物質對，因為其分配比差距太小，故有：K1≈K2≈ K ；W1≈ W2≈ W，根據公式（1）和（2）可得(4)：

對于包括A和B兩種不同類型上市公司群的混合樣本，如果將有效塔板數（混合樣本在固定相和流動相之間經歷的分配次數）由2938增加到5883，即混合樣本的分紅次數由2.938增加到5.883，就可以實現混合成分99.7%，即R=1.5的完全分離?？梢?，分離度的指標不僅可以反映色譜柱的分離效果，還可以指導實際的分離工作，提高分離效果，甚至實現完全分離的效果。

3 色譜經濟分析法分離度理論應用模擬思考

在經濟學領域應用色譜經濟分析法對復雜經濟現象進行分離時，可以用有效塔板數來衡量在一定條件下色譜柱分離能力發揮程度，而分離度是色譜分離中所達到的分離程度的標志，為進一步探討影響復雜經濟現象的混合樣本的有效分離的因素，需引入選擇性這個概念。選擇性是指固定相對兩個相鄰組分的調整保留值之比，用r21表示，又稱為相對保留值，r21越大，表明待分離的混合組分的保留時間的差距越大，那么經過色譜柱的分離后，兩組分的色譜峰的間距就越大，越容易實現完全分離。

綜合公式（1）、（2）、（3）和（5）可得：

可見，分離度R與柱效neff、色譜柱的選擇性r21有關，另外，待分離的混合組分的在固定相與流動相之間的分配比的差異大小，是能否實現完全分離的決定性因素。

3.1 分離度與柱效的關系

由公式（6）可知：R與 n成正比，n增加到原來的兩倍，R只增加到原來的1.4倍，盡管如此，增加組分在色譜柱中達到分配平衡的次數，即增加有效塔板數，提高柱效是提高分離度的最直接、最簡單，也是最有效的手段之一，但增加組分在色譜柱中達到分配平衡的次數，同時意味著組分的保留時間也會增加。如果想通過增加有效塔板數實現提高分離度的目的，就需要更多的分離時間，當我們需要對復雜經濟現象進行快速完全的分離，那么通過增加有效塔板數來提高分離度就不是最理想的方法。

3.2 分離度與選擇性的關系

r21是色譜柱的選擇性的量度指標，r21越大，表明色譜柱的選擇性越好，分離的效果就越好。根據公式（6）可計算出在給定的r21值下，獲得所需要分離度對色譜柱的有效塔板數的要求，見下表1：

表1 在給定的r21值下，獲得所需要分離度對色譜柱的有效塔板數的要求

由表1可知：當r21值為1時，分離所需要的有效塔板數為無窮大，即不能實現混合樣品的完全分離。r21值越大，達到相同分離度所需要的有效塔板數越小，即越容易分離。當r21值為1.25時，要獲得分離度R為1的分離效果，有效塔板數只要400，即復雜的混合樣品在色譜柱中經過400次分配平衡即可達到R為1的分離效果；當r21值為1.5時，要獲得分離度R為1的分離效果，只要復雜的混合樣品在色譜柱中經過140次分配平衡即可，或者復雜的混合樣品在色譜柱中經過320次分配平衡即可達到R為1.5的完全分離的效果。

可見，增加色譜柱選擇性是提高分離度的有效辦法。

實際分離過程中，增加r21值的有效方法就是改變固定相，使得固定相對復雜經濟現象中不同的待分離組分的作用差距增加，即不同的待分離組分在固定相與流動相之間的分配比差距越大，如上市公司對法定公積金和法定公益金額度的調整等變動而改變了分配北，復雜的混合樣品在經過色譜柱時，復雜的混合樣品不斷地在固定相與流動相之間進行分配并達到平衡，待分離組分在固定相、流動相中反復作用，逐漸累積其在固定相和流動相中的差異，使不同組分逐漸分離，最終達到分離的效果。不同的待分離組分在固定相與流動相之間的分配比差距越大，達到相同分離度所需要的有效塔板數越小，即越容易分離，分離效果越好。

在上述應用模擬實例中，研究對象為不同類型混合上市公司群的分紅行為，對應的選擇性r21是指固定相對兩個相鄰組分的調整保留值之比：

r21值為1.08，由以上分析可知，此次A和B兩種不同類型上市公司群的混合樣本可以實現完全分離?；旌蠘颖驹诠潭ㄏ嗪土鲃酉嘀g經歷5883次的分配，即分離的有效塔板數達到5883，就可以實現混合成分99.7%，即R=1.5的完全分離。

3.3 分離度與分配比的關系

在經濟學領域中，對復雜經濟現象績效色譜分離時,分配比是固定相對組分的作用與流動相對組分的作用的比值，即經濟分配比的定義為；在一定的經濟環境下，所選取的固定相和流動相對于被分離組分的作用大小之比利用固定相、流動相對混合樣本中不同的組分的作用差別，讓不同的組分在固定相、流動相中反復作用，不同組分在固定相、流動相中的差異逐漸累積，使不同組分逐漸分離，最終達到分離的效果。

另外，由《色譜經濟分析法置換系列研究：塔板理論》（游士兵等2012）可知：

其中，neff為有效塔板數，n為理論塔板數。

綜合公式（6）和（7）可得：

表2 k值對值的影響

表2 k值對值的影響

K0.51.03.05.08.0103050 k/(1+k)0.330.500.750.830.890.910.970.98

由表2可知：

實際分離過程中，改變k'值的有效方法就是改變固定相，使得固定相對復雜的混合樣品中不同的待分離組分的作用差距增加，即不同的待分離組分在固定相與流動相之間的分配比差距越大，復雜的混合樣品在經過色譜柱時，復雜的混合樣品不斷地在固定相與流動相之間進行分配并達到平衡，待分離組分在固定相、流動相中反復作用，逐漸累積其在固定相和流動相中的差異，使不同組分逐漸分離，最終達到分離的效果。不同的待分離組分在固定相與流動相之間的分配比差距越大，達到相同分離度所需要的有效塔板數越小，即越容易分離，分離效果越好。

4 小結

在色譜經濟分析法中可以借鑒化學領域的色譜分析法，用有效塔板數neff來表達色譜柱的效能，用分離度來表達色譜柱分離混合樣本中所達到的分離效果。色譜柱的效能越大，即色譜柱的有效塔板數越大，表示組分在色譜柱中達到分配平衡的次數越多，固定相的作用越顯著，色譜柱分離能力發揮的越好，對分離越有利，但是色譜柱的柱效能反映的是色譜峰擴寬的程度，不能反映被分離組分的實際分離效果。被分離組分的實際分離效果取決于待分離的混合物中不同組分在固定相與流動相間分配比的差異大小，分配比的差異大小決定了不同組分經過色譜柱分離后的保留時間的差距，而分離度能夠綜合考量柱效及分配比和選擇性的關系，能準確表示色譜柱的總分離程度。提高分離度的途徑有：

（1）提高柱效即增加有效塔板數，增加組分在流動相與固定相間的分配次數是提高分離度的最直接、最簡單，也是最有效的手段之一；

（2）增加色譜柱選擇性是提高分離度的有效辦法之一。首先，選擇性r21必須大于1，才能實現混合組分的有效分離，而且r21越大，表明色譜柱的選擇性越好，達到相同分離度所需要的有效塔板數越小，越容易分離，分離的效果也越好，分離度越大。實際分離過程中，增加r21值的有效方法就是改變固定相，使得固定相對復雜的混合樣品中不同的待分離組分的作用差距增加，即不同的待分離組分在固定相與流動相之間的分配比差距越大，復雜的混合樣品在經過色譜柱時，復雜的混合樣品不斷地在固定相與流動相之間進行分配并達到平衡，待分離組分在固定相、流動相中反復作用，逐漸累積其在固定相和流動相中的差異，使不同組分逐漸分離，最終達到分離的效果。

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006-04；F224

A

1002-6487（2013）14-0004-05

沈 萍（1970-），女，湖北武漢人，副教授，研究方向：分析化學。

（責任編輯/亦 民）