蘭沖鋒,吳群英
(1.阜陽師范學院 數學與計算科學學院,安徽 阜陽 236041;2.桂林理工大學 理學院,廣西 桂林 541004)
NA序列部分和之和的完全收斂性探討
蘭沖鋒1,吳群英2
(1.阜陽師范學院 數學與計算科學學院,安徽 阜陽 236041;2.桂林理工大學 理學院,廣西 桂林 541004)
文章運用截尾等方法,研究同分布NA隨機變量序列部分和之和的完全收斂性,獲得了與i.i.d.隨機變量序列類似的Baum和Katz型完全收斂性定理,補充了部分和之和的極限定理。
NA序列;部分和之和;完全收斂性
本文將在文獻[5]的基礎上,通過引入慢變化函數將i.i.d.隨機變量序列部分和之和Tn的完全收斂性推廣到NA列,以期對NA序列部分和之和的極限定理作一個補充。
對隨機變量列{Xn;n≥1},記:
本文一律以“?”表示通常的大“O”,以C記與n無關的正常數,在不同之處可以取不同的值。
定義稱隨機變量X1,X2,…Xn是NA的,如果對于集合{1,2,…n}的任何兩個非空不交子集A1和 A2都有cov(f1(Xi,i∈A1),f2(Xj,j∈A2))≤0,其中 fi,i=1,2是使上式有意義且對各變元不降的函數。
稱隨機變量序列{Xn;n≥1}是NA序列,如果對于任何n≥2,X1,X2,… Xn是NA的。
引 理 1[9]:設 {Xn;n≥1}是 NA 的, ?m≥2,A1,A2,…,Am是集合{1,2,…n}的兩兩不交的非空子集.如果fi,i=1,2,…,m是對每個變元都非降(或都非升)的函數,則 f1(Xj,j∈A1),…,fm(Xj,j∈Am)仍是NA的。
對于慢變化函數,有性質:如果l(x)>0為x→+∞時的慢變化函數,則
定理:設{Xn} 是同分布 NA序列,αp>1,p<2,l(x)>0為當x→+∞的單調不減慢變化函數,那么下列三式等價:
其中,b=0,若0<p<1;b=EX1,若1≤p<2.因此本文的結果推廣和加強了文獻[5]的結論。
⑶在推論1中,若{Xn;n≥1}為零均值i.i.d.r.v.序列,令Tn?中的Xi前面的權數為常數1,則該推論就是Katz和Baum型完全收斂性定理,因此本文的結果也推廣和加強了著名的Katz和Baum定理。
[1]Resnick S L.Limit laws for Record Values[J].Stochastic Processes and their Applications,1973,1(1).
[2]Arnold B C,Villasenor J A.The Asymptotic Distributions of Sums of Records[J].Extremes,1998,1(3).
[3]江濤,蘇淳,唐啟鶴.I.I.D隨機變量部分和之隨機和的極限定理[J].中國科技大學學報,2001,31(4).
[4]江濤,林日其.I.I.D隨機變量部分和之和的極限定理[J].淮南工業學院學報,2002,22(2).
[5]蘭沖鋒,吳群英.I.I.D.隨機變量部分和之和的完全收斂性[J].吉林大學學報(理學版),2012,50(3).
[6]宇世航.同分布NA序列部分和之和的強大數定律[J].山東大學學報:理學版,2008,43(4).
[7]宇世航.同分布NA序列部分和之和的弱大數定律[J].哈爾濱師范大學自然科學學報,2004,20(4).
[8]宇世航,張銳梅.NA序列部分和之和的中心極限定理[J].高師理科學刊,2007,27(3).
[9]Joag-Dev K,Proschan F.Negative Association of Random Variable with Aplications[J].Ann Statist,1983,11.
[10]蘇淳,趙林成,王岳寶.NA序列的矩不等式與弱收斂[J].中國科學,1996,26(12).
[11]白志東,蘇淳.關于獨立和的完全收斂性[J].中國科學(A輯),1985,(5).
O211.4
A
1002-6487(2013)14-0009-03
國家自然科學基金資助項目(11061012);數學天元基金項目(11226200);安徽省自然科學基金項目(KJ2013Z265;KJ2013B203);國家特色專業項目(TS11496)
蘭沖鋒(1981-),男,安徽人,博士,講師,研究方向:概率極限理論。
(責任編輯/亦 民)