對微波布拉格衍射實驗中產生衍射極大值晶面的討論

何穎卓，丁朝華，李春芝

（內蒙古民族大學 物理與電子信息學院，內蒙古通遼 028043）

通常用三厘米微波固態信號源開展微波模擬晶體布拉格衍射實驗，實驗中總可以測量到多個晶面的衍射極大值。國內外文獻中對該實驗中可以產生衍射極大值的晶面只有（100）及（110）兩個晶面有報道［1-3］，其它可以產生衍射極大值的晶面尚未查到相關的報道。我們通過理論推導得出所有產生衍射極大值的晶面，并對這些晶面的特點進行分析討論。掌握這些可以產生衍射極大值的晶面，有利于深入開展微波布拉格衍射實驗的教學與研究，也有利于更深入地了解和認識X射線入射真實晶體衍射情況。為人們探索物質微觀結構奠定良好的基礎。

1 實驗原理

微波布拉格衍射實驗一般采用微波分光儀。其實驗原理是當微波以固定波長λ入射到模擬晶體的晶面上，如果入射角滿足布拉格定律，則在晶面的反射線方向上發生衍射［4-6］。微波分光儀中的模擬晶體由金屬小球組成晶格常數為a=4.0cm的簡單立方點陣；所用三厘米固態微波信號源，其波長λ在3.0～3.5cm范圍內可調節。

設密勒指數為(hkl)的晶面族［7-10］，其面間距為d(hkl)；入射波與晶面的夾角為θn，θn為第n級衍射的衍射角；n為衍射級數（n取1，2，3等整數）；當θn滿足布拉格定律

時，在反射波方向（見圖1）上產生衍射［11］。

2 所有產生衍射極大值的晶面

2.1 產生衍射極大值晶面應滿足的條件

圖1 (hkl)晶面族的微波布拉格衍射

一般微波分光儀都是在同一個水平面上進行測量的。因此，本文只討論模擬晶體在同一個水平面（X—Y平面）上投影的晶面。則水平面中任意晶面的密勒指數為(hk0)（見圖2）。由于模擬晶體為立方晶系，其面間距為［4，11］

圖2 模擬晶體在X—Y平面上投影的部分晶面

其中，晶面密勒指數 h、k值取0、±1、±2等整數，但由（2）式得出晶面密勒指數h、k不能同時取0。一組晶面密勒指數h、k取值確定后，相應的晶面(hk0)就可以確定。本文中晶面面間距d(hk0)、微波波長λ單位統一采用cm，故推導過程單位略。把（2）式代入（1）式經整理得

由（4）式得出產生衍射極大值晶面應滿足的條件：當衍射級數及波長確定后，只有密勒指數滿足（4）式條件的晶面才能產生衍射。

2.2 衍射級數與晶面密勒指數h取值的討論

由（5）式得出晶面密勒指數h可以取正值，也可以取負值。但當h取正負值后，由（4）式k也取正負值時，它們所表示的晶面都是重復的。例如：當h=±1、k=±1時，相應的晶面為（110）、（11ˉ0）、（1ˉ10 ）、（1ˉ1ˉ0 ），其中，（110）與（1ˉ1ˉ0 ）、（11ˉ0 ）與（1ˉ10）為同一個晶面，因此，我們只討論h取正值時（110）、（11ˉ0）兩個晶面的情況即可。結合（5）式得出晶面密勒指數h的取值范圍為

中的整數。利用（6）式，給出衍射級數n及波長λ的取值范圍，就可以確定晶面密勒指數h的取值范圍。

以下分別討論實驗中產生不同級次衍射時晶面密勒指數h的取值情況。

2.2.1 產生一級衍射

2.2.2 產生二級衍射

2.2.3 大于二級衍射的晶面不存在

當 n＞2時，由（6）式得 h只能取0，再由（4）式得k也只能取0。由于晶面密勒指數h、k不能同時為0，因此，大于二級衍射的晶面是不存在的。

由以上討論可以得出：微波布拉格衍射實驗只能產生一級、二級衍射，并且一級衍射晶面(hk0)的密勒指數h只能取0、1、2，二級衍射晶面(hk0)的密勒指數h只能取0、1。

2.3 產生衍射極大值的晶面

根據以上2.2中的討論結果再結合（4）式列出產生不同衍射級數的密勒指數h、k的取值及相應的晶面（見表1）。具體方法是把不同衍射級數中的h值分別代入（4）式，再利用λ的取值范圍就可以得到相應k的取值（見表1第3行），從而確定產生衍射極大值的晶面(hk0)（見表1第4行）。

表1 產生衍射極大值的晶面

表1說明：

②只有（010）、（100）晶面可以產生二級衍射（見表1第5列、第6列）。由（1）、（2）式可以得出分別相當于（020）、（200）晶面的一級衍射［13］。

由表1可以得出結論：微波布拉格衍射實驗中產生衍射極大值的晶面只有十個，分別為：（010）、（020）、（100）、（200）、（110）、（）、（120）、（）、（210）、（）。圖2繪出的是模擬晶體在X—Y平面上投影的部分晶面。

3 對產生衍射極大值晶面的分析討論

3.1 模擬晶體與真實晶體衍射情況的討論

對真實簡單立方點陣晶體其結構因子與晶面的密勒指數無關，發生衍射時不會產生點陣消光現象［13］，即所有滿足布拉格定律入射的X射線在其反射線方向上都可以測量到衍射極大值。實驗用的模擬晶體也為簡單立方點陣，因此，它的衍射也不會產生點陣消光現象，理論上這十個晶面的衍射極大值都能測量到。

模擬晶體與真實晶體的衍射由于種種原因存在很大差異。例如：模擬原子數量少；發生衍射晶面少（只有十個）；小球制作工藝；實驗環境等。但采取一些措施是可以減小由于制作工藝、實驗環境等因素造成的模擬晶體與真實晶體衍射的差異。為了使通過小球的反射波更均勻，小球制作要求大小一致，表面為球面且光滑，盡量調節金屬小球排列整齊；為了防止實驗室環境對實驗產生干擾，實驗設備附近盡量不要放置金屬物品，實驗過程實驗人員應少走動以及適當增大微波強度等。

3.2 微波模擬晶體的衍射圖譜

采用微波分光儀自動測試系統測量反射波的電壓U（與微波場強成正比）隨出射角度θ的變化關系。實驗時微波波長調節為3.20cm；測量角度間隔為1°。相對（110）晶面入射角度為0°，出射角測量范圍為26°～150°。圖3是以U 為縱坐標、θ為橫坐標繪出的模擬晶體的衍射圖譜。由圖3得到A-C四個極值，通過對極值所對應的出射角度和衍射角度比對分析（略）得到它們與（110）、（210）、（200）、（21ˉ0）晶面的衍射一一對應。如果微波以滿足布拉格定律角度入射到晶面，就可以測量到相應晶面的極大值。通過調節合適的入射角度還可以測量其它幾個晶面的衍射情況（略）。實驗結果也說明微波模擬晶體沒有衍射消光現象與X射線入射真實晶體的衍射情況基本相符。

圖3 模擬晶體的衍謝圖譜

3.3 三個代表產生衍射極大值的晶面

以上得出在微波布拉格衍射實驗中有十個晶面可以產生衍射極大值，但其中有些晶面發生衍射的性質完全相同，實驗中只要選出有代表性的晶面作為實驗研究對象即可。

（010）與（100）之間的夾角為90°，兩個晶面是對稱等效晶面，性質完全相同，用（100）可以代表這兩個晶面［4］。（020）、（200）也同樣可以用（200）代表。由于（100）的二級衍射相當于（200）一級衍射，可以用（100）晶面的兩個衍射級次代表（010）、（020）、（200）這三個晶面。同理，（110）與（）也是對稱等效晶面，可以用（110）代表。由（2）式得出（120）、這些晶面的面間距相同，由（1）式又得出衍射角也完全相同，只是入射波及反射波的位置不同而已，性質完全相同，可以選出一個晶面來代表四個晶面的衍射情況。我們選（110）、（100）晶面之間的（210）晶面代表（見圖2）。因此，只要研究（100）、（110）、（210）三個晶面的衍射情況，就完全可以代表所有產生衍射極大值的晶面。

4 結論

綜上所述，我們得出在三厘米微波布拉格衍射實驗中的模擬晶體只能產生一、二級衍射，并且可以產生衍射極大值的晶面只有十個，通過實驗都可以測量到這些晶面的衍射極大值。但其中有些晶面的衍射性質完全相同，用（100）、（110）、（210）這三個晶面（實際上它們也代表各自的晶面族［4］）完全可以代表所有產生衍射極大值的晶面作為該實驗的研究對象，通過這三個晶面（晶面族）就能全面研究微波布拉格衍射實驗。

［1］康偉芳，薛玉春，劉帥.布拉格衍射及其應用［J］.大學物理實驗，2006，19（2）：19-21.

［2］李明標，蕫海寬，史力斌.利用微波布拉格反射測量模擬點陣的晶格常數［J］.渤海大學學報：自然科學版，2011，32（4）：325-327.

［3］Helli well J R.Lecture demonstrations in a public lecture on‘X-ray crystal structure analysis：from W.L.Bragg to the present day’［J］.Journal of Applied Crystallography，2009，42（2）：365。

［4］林木欣.近代物理實驗教程［M］.北京：科學出版社，1999：168-171.

［5］馬禮敦.近代X射線多晶體衍射—實驗技術與數據分析［M］.北京：化學工業出版社，2004：16-78.

［6］姜傳海，楊傳錚.材料射線衍射和散射分析［M］.北京：高等教育出版社，2010：53-56.

［7］陸棟，蔣平.固體物理學［M］.北京：高等教育出版社，2011：12-14.

［8］王矜奉.固體物理教程［M］.濟南：山東大學出版社，2010：1-9.

［9］田強，徐清云.凝聚態物理學進展［M］.北京：科學出版社，2005：1-5.

［10］陳綱，廖理幾.晶體物理學基礎［M］。北京：科學出版社，1992：51-58.

［11］何元金，馬興坤.近代物理實驗［M］.北京：清華大學出版社，2003：143-145.

［12］吳思成，王祖銓.近代物理實驗［M］.北京：北京大學出版社，1995：294.

［13］祁景玉.X射線結構分析［M］.上海：同濟大學版社，2003：10-21.