聲波在含氣泡液體中的線性傳播*

王勇 林書玉 張小麗

1 引言

聲波在含氣泡液體中的傳播是一個非常復雜的現象,對線性小振幅狀態和弱非線性狀態下的聲傳播已有大量的研究,其中涉及溫度、液體表面張力及液體的黏度等對聲傳播的影響.這方面最早的工作是1911年Mallock[1]關于液-氣混合物中聲傳播問題的研究.van Wijngaarden[2]綜述了關于小振幅彈性聲波在含氣泡液體中傳播的多個方面的理論和實驗研究,并對聲傳播過程中的非線性和損耗等現象進行了討論.Caf l ish等[3,4]擴展了Wijngaarden的包括熱傳導和表面張力作用的理論.在線性近似下,可以用來計算氣泡大小分散情況下線性振動時聲波的衰減系數.Commander和Prosperetti[5,6]給出一種小振幅線性壓力波在含氣泡液體中傳播的模型.他們指出氣泡振動對線性聲波衰減的影響通常較弱,除非當氣泡的大小接近諧振尺寸、聲場頻率低于諧振頻率、且在1%—2%的氣泡體積含量的情況下,模型才比較有效.文獻[7]在計入氣泡聲吸收作用的同時,就氣泡空間分布的相關性對含氣泡水介質中聲傳播特性的影響進行了討論,指出當考慮含氣泡水介質中氣泡空間分布的相關性時,聲衰減系數的峰值后移且其峰值較忽略此相關性時的峰值低平,隨著氣泡體積分數的增大,氣泡空間分布的相關性增強,氣泡的諧振頻率增大、諧振時的聲散射幅值減小.對于聲波在含氣泡液體中的非線性傳播及對氣泡產生的相關效應也有大量的研究[8-16].但存在于液體中的氣泡會由于散射產生散射聲場并和原始入射聲場相互作用,改變入射聲場的聲壓振幅,使其受氣泡多少的影響.文獻[17]指出入射聲場應換為考慮到氣泡作用時的等效入射聲場.另外,對于氣泡的振動過程,不能單一地認為是等溫過程或絕熱過程.本文利用Keller的氣泡振動模型來描述氣泡的振動,同時綜合考慮氣泡之間的聲相互作用等來對線性聲波在含氣泡液體中的傳播做進一步的研究.

2 含氣泡液體的聲學模型

本文中用平均的溫度、聲速、密度和壓強描述這種含氣泡液體,同時假設所有的氣泡具有相同的大小并且在單位質量的混合物中有相同的氣泡個數.聲波在含氣泡液體中的傳播,用ρ,u,p分別表示液體密度、聲速和壓強.含氣泡液體中的連續性方程可表示為

在方程(1)中,p表示聲壓場,u表示聲速場,ρ和c分別表示純液體的密度和聲速,β表示氣體所占的體積分數,表示如下

式中R表示氣泡的瞬態半徑,N表示液體中氣泡的個數,根據我們建立的模型,在(2)式的時間微商中N必須保持常數,并且有β0=N4πR30/3.含氣泡液體用聲壓場P和聲速場u描述.考慮到動量方程的表示

通過(1),(3)式可以得到：

我們用(4)式來描述聲波在含氣泡液體中的聲傳播.當聲波在純液體中傳播時上式右邊等于0,則上式還原到純液體中的聲傳播方程.

3 液體中的氣泡模型

對于單個氣泡的物理模型,我們做了幾個假設：氣泡保持球形;泡內氣體是理想氣體;泡內的壓強空間分布均勻;忽略泡內包含的水汽;氣泡的中心不動.考慮液體的黏滯作用和氣液界面的熱傳導,忽略氣泡的形成、破裂與合并等.在這些前提下氣泡做徑向的受迫振動,它的控制方程可以從氣泡邊界的壓力連續方程中得到：

式中的圓點表示對時間的微分,PB表示氣液邊界液體側的壓強,常數μ表示周圍液體的動態黏滯系數,P∞表示液體的環境壓強,常數σ是氣液界面的表面張力系數,Pin表示氣泡內部的壓強.從(5)式中可以很方便地得到：

用Keller給出的在考慮液體壓縮性時氣泡的振動方程來描述氣泡的振動

式中ρ,c分別表示液體密度及靜態聲速,P定義為氣泡所在位置當氣泡不存在時的壓強[18,19],有

其中

式中P∞表示液體靜態壓強,P∞εejωt表示驅動聲場,Prad表示氣泡的輻射聲場.考慮到氣泡之間的聲相互作用時,根據文獻[17]可得到驅動聲場的等效入射聲場

式中

(11)式中x=kR0,x=kgR0,ρ0和ρ分別表示氣泡內外介質的密度,k為波數,R0為氣泡半徑.Dl(x),δl(x)滿足關系式

其中jl(x)與h(l2)(x)分別表示l階的球貝塞爾函數和第二種l階球漢開爾函數.

4 線性化求解

在ε?1的情況下,驅動聲場處于線性小振幅狀態,我們認為聲波在含氣泡液體中線性傳播,所以對于氣泡來說它將在周期性聲擾動下做小振幅振動.設

設X正比于 eiωt,式中

其中χ=D/ωR20,D為氣體的熱擴散系數[20].(15)式的引入考慮到了泡內氣體和液體間的熱相互作用,同時也認為氣泡在振動過程中不是單一地做等溫變化或絕熱變化.X為和聲場有相同的時間依賴性,于是有˙X=iωX,¨X=-ω2X,同時|X|認為和ε同階[5,6,21,22].在?1的情況下將(5),(6),(8),(14),(16)式代入(7)式并線性化得到：

其中定義

上式能明顯表現氣泡在線性聲擾動時的諧振頻率ω0和阻尼常數b,同時發現諧振頻率和阻尼常數對于R0ω,φ和Pw均有依賴.對于諧振頻率在(ωR0)/c?1的情況下,氣泡間的聲相互作用會使諧振頻率ω0的值增大,液體黏滯的作用對氣泡諧振頻率沒有影響.(18)式在忽略氣泡間聲相互作用的情況下可以還原到Prosperetti[21]和Commander[20]的結論.方程(19)表示的阻尼系數顯示能量耗散源于氣液間的黏滯磨擦、氣泡受液體表面張力的克服、聲場輻射、熱傳導和氣泡間的相互作用,后三者的作用通過φ和Pw體現,同時Pw的考慮會使黏滯系數b的值增大,像文獻[17]指出的那樣：泡之間的聲相互作用等效于在每個氣泡上附加了一項阻力從而使其阻尼增大很多.方程(17)式在忽略σ和Pw的情況下可以還原到Prosperetti等[6]的結論.將(8)式及(17)式代入波動方程(4)式中,得到

式中km表示含氣泡液體的等效波數,有

含氣泡液體中的聲速由

給出.由此可以看出,由于氣泡在液體中的出現改變了液體中聲傳播的波數,使其等效于km,同時受β0,ω及R0的影響,從而影響到液體中聲傳播的速度.通過(21)式可以得到

設

我們注意到有

則衰減系數A可以表示為

出現在液體中的氣泡會改變聲波在液體中傳播的聲速及液體對聲波傳播的衰減系數.通過式(22)—(26)發現,含氣泡液體中氣泡的含量、大小及驅動聲波頻率均會對聲波傳播的速度和衰減產生直接影響,而氣泡間的聲相互作用及氣泡與液體間熱作用的影響則是通過諧振頻率及阻尼系數間接體現的.

5 數值模擬

對聲波傳播過程中含氣泡液體對聲波的衰減系數和聲波傳播的速度進行了數值模擬.在數值模擬的過程中對一些參數的選取如下：P∞=1.01×105Pa,γ=1.4,D=2.4×10-5m2/s,μ=1.0042×10-3Pa/s,ε=0.001,σ=72.75×10-3N/m,ρ=998.203 kg/m3,ρg=1.1691 kg/m3,c=1500 m/s.由(26)式可知,聲波在含氣泡液體中線性傳播時,氣泡大小、多少和驅動聲場頻率均是含氣泡液體對聲波衰減的主要影響因素,所以我們模擬了這些因素對衰減系數的影響.在模擬的過程中我們確保滿足(ωR0)/c?1的關系,得到的結果如圖1所示.如果控制氣泡的大小和驅動聲場的頻率一定,會發現衰減系數隨氣泡體積分數的增加而增加.而對于相同體積分數的情況,氣泡越小對應的衰減系數越大.由此可知在這種情況下,氣泡的多少影響了混合液體的衰減系數.另外我們還模擬了衰減系數受驅動聲場頻率的影響,發現如果控制氣泡體積分數和氣泡大小不變,則衰減系數會隨驅動聲場頻率的增加而增大.

圖1 氣泡體積分數對聲衰減系數的影響

圖2 氣泡體積分數對聲速的影響

對于含氣泡液體中聲傳播的速度在其傳播過程中受氣泡體積分數的影響如圖2所示.對于混合液體中的氣泡來說,不管其大小如何,其體積分數的增加均會導致混合液體中聲傳播的速度減小,在體積分數和驅動聲場頻率相同的情況下,小氣泡對應的聲傳播速度會小一些.對于氣泡大小和體積分數均相同的情況下,驅動聲波頻率的增加會導致聲傳播速度的減小,但這一結論只能是在驅動聲場頻率遠小于氣泡的諧振頻率的情況下適用.

6 結論

對于聲波在含氣泡液體中的線性傳播,我們分別建立了含氣泡液體的聲傳播模型和氣泡的振動模型.在滿足(ωR0)/c?1的前提下,得到了氣泡的諧振頻率、阻尼常數、含氣泡液體對聲波傳播的衰減系數和聲傳播的速度等的解析表達式.對于混合液體中的氣泡,發現其諧振頻率和阻尼常數均受氣泡大小、氣泡間的聲相互作用、驅動聲波頻率及氣泡與液體間熱作用的影響.通過數值分析發現,氣泡間的聲相互作用雖然對氣泡諧振頻率和阻尼系數有影響,但對阻尼系數的影響不太明顯.由于氣泡在液體中的出現改變了液體中聲傳播的波數,所以使液體對聲波在其中傳播的參數發生變化.在驅動頻率一定的情況下,氣泡越小含量越多,聲波傳播的速度就會越小.驅動聲波頻率在遠小于氣泡諧振頻率的情況下,聲波傳播速度會隨驅動頻率的增大而減小.氣泡間的聲相互作用對混合液體的衰減系數及聲傳播速度產生的影響不明顯.所以認為氣泡含量、大小和驅動聲場頻率是影響聲波在含氣泡液體中線性傳播的主要因素.

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