基于一維間距調制型光子晶格的光傳輸現象*

齊新元 曹政 白晉濤

1 引言

衍射和色散是光子晶格中最基本的光學現象[1].在一維均勻波導陣列構成的光子晶格中,窄光束可以發生分立衍射現象,寬光束可以發生正常衍射、無衍射以及反常衍射的光傳輸現象,這些光傳輸行為都遵循周期性結構中的衍射機制[1,2].近些年來,關于光波在含有缺陷的波導陣列中的動力學傳輸理論和實驗得到了廣泛和深入的研究[3,4].常見的缺陷可以概括為：均勻波導陣列中引入折射率缺陷,波導陣列沿著傳輸方向被調制,波導陣列的折射率深度按一定規律被調制等.當周期性結構被破壞時,光束的傳輸行為會發生改變[5-8].另外,人們發現某些含有缺陷的結構可以支持局域模式,光能量在波導間還能發生遂穿的相干破壞現象,實現光束的局域態傳輸[9,10].此外考慮到探測光非線性作用時,當探測光束足夠強時,衍射將被平衡,形成孤子態[11-13].因此通過缺陷和非線性等作用調控光波的衍射行為,可以有效地控制光波的傳輸行為.

最近人們發現,通過改變相鄰波導的間距來調控波導件的耦合效應,相當于在晶格體系中引入一種勢壘作用[14].例如,間距減小的不均勻波導陣列可以實現光波的無反射傳輸[14-16].這種波導全同但間距不均勻的波導陣列所形成的缺陷結構是一種非對角線無序的晶格體系.此類缺陷存在共軛的局域模式,而且支持光波的局域態傳輸[17-19].

本文將非線性薛定諤方程(NLSE)作為理論基礎,波導間距遵從兩個正(負)雙曲正割函數和正(負)矩形函數,并將兩個函數極值形成的勢壘中間部分作為勢阱,研究窄高斯光束在正雙曲正割(和正矩形)勢壘處和勢阱處入射時的衍射行為和周期性振蕩現象.此外,還利用負雙曲正割勢壘和負矩形勢壘支持局域模式的特性,研究在負勢壘結構體系中寬光束的能量耦合現象,以及在引入非線性作用后發生的局域現象.

2 模型分析

首先介紹間距調制型光子晶格的理論基礎.歸一化的非線性薛定諤方程可以表述為[20]

其中u(x,z)為光場的包絡函數,z為傳播方向,x為橫向.xs=10μm和zs=1 mm分別為x和z方向上的歸一化系數.真空中光波的波長λ=532 nm,波導陣列的平均折射率為n0=2.35.γ為非線性系數,當γ=0時對應線性情況;當γ=1時,對應自聚焦非線性情況.方程V(x)為折射率包絡函數,用來描述一維間距調制型光子晶格的結構.用高斯函數的級數疊加描述V(x),形式如下

ξ=2.5×10-4為折射率調制深度,N=30為波導總數目,n代表從1到N的每一個波導,ω=5μm為高斯函數半高寬(HWFM),d為相鄰波導間的距離,其變化規律遵循正、負雙曲正割和矩形四種不同的勢函數[14].當d=d0=17μm,ω=5μm時,對應間距全同的均勻波導陣列;當d=±A×sech(m-na)/ω2±A×sech(m-nb)/ω2+d0時,分別對應間距為兩個正 ‘+’(或負[‘-’)雙曲正割函數型波導陣列;當d=±A×exp-(m-na)/ω316±A×exp-(m-nb)16/ω316+d0時,分別對應間距為兩個正‘+’(或負‘-’)矩形函數型波導陣列.其中,間距調制振幅A=5μm反映勢函數的深度,m為間距序號,na和nb分別是兩個函數的中心位置,ω2和ω3分別反映雙曲正割函數和矩形函數的寬度,模擬中分別取16μm和13μm.通過改變間距d,臨近波導間的耦合系數便可被調制.同時,假設波導是全同的并且每個波導只能支持一種傳輸模式.

對于線性離散模型,波導間能量的相互耦合滿足耦合波方程[21],

其中En為每個波導中的電場分布,Cn,n+1為第n個和第n+1個波導間的耦合系數.將En寫為En=En(x)·exp(-iβnz)后代入 (3)式,可以得到遞推關系式

考慮到邊界條件,當n≤0時,En=0;當n＞N時,En=0.由于波導全同,故而有β1=β2=···=βn=常數.對于由N個波導構成的陣列而言,光場在所有波導中的分布均滿足方程(4)式,用矩陣形式描述可寫為A·X=0.

其中

3 一維間距調制型光子晶格

研究中,我們采用分步傅里葉變換光束傳輸法(SSFT-BPM)研究光波在晶格中的傳輸規律,模擬結果如圖1所示.當間距函數d的變化滿足正雙曲正割函數或正矩形函數時,相當于在均勻波導陣列中引入正雙曲正割勢壘或正矩形勢壘.在具有兩個正雙曲正割勢或正矩形勢壘的晶格結構中,當窄高斯光束入射在任意一種勢壘的中心區域時,光能量都會發生類似于“分立衍射”的效應.圖1(a),(c)分別描述了正雙曲正割勢壘和正矩形勢壘被窄光束單波導激勵時,隨著傳播距離的增加,光能量在兩個勢壘之間耦合傳輸,并有相當一部分能量泄露出勢壘無法產生局域傳輸現象.圖1(c),(d)分別描述了寬光束以布拉格角斜入射時,先發生反常衍射現象;當光波到達正雙曲正割勢壘邊緣時,大部分能量被反射,還有不小部分能量透射經過勢壘[如圖1(c)].當光波到達正矩形勢壘邊緣時,幾乎所有的能量都被反射(如圖1(d)).

為進一步研究在這種結構體系中的光場分布規律,我們計算了該結構體系的線性模式.研究發現,這兩種間距變化的波導陣列都屬于非對角元無序晶格,這樣的晶格體系存在一對共軛的本征模式,而本征模式恰好分布在勢阱位置,這就是說勢阱部分可以支持局域模式,即光波可以在勢阱處保持局域態的傳播.圖2(a),(b)分別展示了在這兩種調制型晶格中的一對共軛的本征模.當窄高斯光束入射在這兩種調制型晶格的勢阱中心時,在300 mm的傳輸過程中大部分能量被局域在勢阱范圍內,很少有能量泄露出去.隨著傳播距離的增長,當光束衍射碰觸到勢壘部分時,能量被對稱地反射回來并如此往復向前傳輸.由于窄光束入射,勢阱被分別激發成兩對共軛模式[15],共軛模式之間會發生能量轉移從而出現如圖2(c),(d)所示的振蕩局域傳輸圖樣.

圖1 高斯光束在具有兩個正雙曲正割勢壘(a),(b)和兩個正矩形勢壘(c),(d)的一維調制型光子晶格中傳輸;(a),(c)為窄光束正入射到一個勢壘中央的情況;(b),(d)寬光束以布拉格角斜入到一個勢壘邊緣的情況;右側點狀插圖為波導間距示意圖,Cn,n+1表示第n個波導與第n+1個波導之間的耦合系數,白色線段標注的是晶格中的勢壘位置

圖2 一維調制型光子晶格中共軛本征模式(a),(b)和窄高斯光在其中的局域傳輸(c),(d);(a),(c)正雙曲正割勢阱;(b),(d)正矩形勢阱;紅色點和黑色點分別表示一對共軛本征模式;白色線段標注的是晶格中的勢壘位置

當波導間距函數d的變化遵從負雙曲正割函數或負矩形函數時,相當于在均勻波導陣列中引入負雙曲正割勢壘或負矩形勢壘.當負雙曲正割勢阱的中心波導被激勵時,勢阱部分不存在共軛的局域模式.在100 mm的傳輸長度內,光能量能無反射地穿透兩側的勢壘并繼續沿著分立衍射的方向向前傳輸而幾乎不發生任何畸變(圖3(a)).在傳輸中能量很好地保持了其對稱性,這點與分立衍射現象類似,只是發生了能量的平移和形狀的放大現象.由負矩形勢壘構成的勢阱同樣不支持局域傳輸模式,部分能量碰到勢壘后會被對稱反射回來,同時又有部分能量會穿透勢壘,所以能量只能在里面發生振蕩衰減,而無法形成穩定的局域狀態(圖3(b)).

圖3 一維調制型晶格中,(a)窄高斯光束入射到兩個負雙曲正割勢壘間的勢阱處發生的無反射傳輸;(b)窄高斯光束入射到兩個負矩形勢壘間的勢阱處發生的振蕩衰減現象;白色線段標注的是晶格中的勢壘位置;右側點狀插圖為波導間距示意圖,Cn,n+1表示第n個波導與第n+1個波導之間的耦合系數;白色線段標注的是晶格中的勢壘位置;兩個勢壘中間所夾區域即為勢阱位置

圖4 寬高斯光束在一維間距調制型光開關中的動態耦合;左右兩列圖分別對應負雙曲正割勢壘和負矩形勢壘的情況;(a),(d)兩對共軛的本征模式;(b),(e)為光強傳輸俯視圖;(c),(f)為兩個勢壘中光強關于傳播長度的變化曲線;白色線段標注的是晶格中的勢壘位置,黑色和紅色分別對應1勢壘和2勢壘中的光能量

類似地,我們通過計算發現,對于含有兩個負雙曲正割勢壘和兩個負矩形勢壘的晶格結構,也存在一對共軛的本征模,只是它們都分布在勢壘部分,而且這樣的一對共軛模式均可以看作是每個勢壘所支持的基態模式的線性疊加[15,16](圖4(a),(d)).當兩個勢壘之間的距離足夠近時,基態模式之間也能發生能量轉移和耦合(能量遂穿)效應,圖4(b),(e)即為分別在具有兩個負雙曲正割勢和負矩形勢的結構中,當兩個勢壘之間的距離僅為一個波導寬度時,一束與勢壘寬度相當(4—6個波導周期)的寬光束正入射到一個勢壘的傳播圖樣.顯然,隨著距離的增長,光波能量將局域在兩個勢壘中并來回耦合.這是因為光波在兩個勢壘之間耦合傳輸光波在任意一個勢壘中均存在基態模式,隨著傳輸距離的增大,兩個基態模式之間來回跳躍實現耦合,并最終使得光波能量在兩個勢壘之間來回振蕩.在300 mm的傳播距離中,光強在由負雙曲正割勢組成的光開關中能耦合兩次,對于負矩形情況,在350 mm的傳輸距離中,在334 mm處能量發生第一次完全耦合,這主要是由于高斯型勢壘函數是漸變的,而矩形勢壘函數則是突變的.圖4(c),(f)為兩種結構中光波能量隨著傳輸距離的變化曲線.由于存在散射效應,曲線最大值均不能達到1.從圖(b)—(f)還可以發現兩個勢壘之間的耦合作用強弱不僅取決于勢壘函數,還取決于它們間的中心距離,與波導之間的耦合相類似的,勢壘之間的間距越大,兩種基態模式之間的能量轉移也越弱.這兩種結果表明間距調制型光子晶格在全光開關方面是很有價值和意義的.

當入射光的非線性效應足夠強時,研究發現這種效應會破壞如圖4所示的耦合效應,使能量不能在兩個勢壘中來回發生遂穿(振蕩耦合),而是使得光波在傳輸過程中一直被局域在入射的那個勢壘中.圖5展示了光波能量在非線性作用下,被局域在一個勢壘中的現象,實現了光路中實時“開”和“關”的功能和對于不同的入射光波的定向選擇傳輸的目的,是一種新型的光學開關.

圖5 非線性作用后分別在由兩個負雙曲正割勢壘(a)和負矩形勢壘(b)所構成的光開光中的能量局域傳輸效應;白色線段標注的是晶格中的勢壘位置;γ=1,當入射光強(歸一化后)分別增大到I1=0.1225和I2=0.0625時,在兩個勢壘中出現局域傳輸效應

4 結論

綜上所述,本文數值研究了高斯光束在四種不同間距調制型光子晶格中的傳輸規律.通過在這四種晶格中不同位置入射不同的高斯光束,發現在對于波導間距變化滿足正雙曲正割函數和正矩形函數的調制型晶格,勢阱部分可以支持穩定的局域傳輸現象.對于間距變化滿足負雙曲正割函數和負矩形函數的情況,勢阱部分不存在本征局域模式而不能支持光波的局域態,光束在其中分別將發生無反射遂穿和振蕩衰減過程;但是勢壘部分卻可以實現局域傳輸.因此具有負雙曲正割勢壘和負矩形勢壘的光子晶格可以被用作全光開關.在線性情況下,光束在兩個勢壘間來回振蕩耦合傳輸;在非線性情況下,光波將發生局域現象.研究結果在光信號處理和光調制方面有著潛在的應用價值.

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