基于廣義MUSIC算法的低仰角估計新方法

蔣柏峰 呂曉德 向茂生

①(中國科學院電子學研究所微波成像技術國家級重點實驗室 北京 100190)

②(中國科學院大學 北京 100049)

1 引言

由于工作在 VHF頻段的雷達具有良好的反隱身、反輻射導彈性能，近年來重新受到業界的重視。對于低仰角目標，當雷達俯仰向波束較寬時，目標的直達波信號和經反射面反射產生的多徑信號都將位于接收天線的主瓣范圍之內。由于直達波與多徑信號的波程差較小，二者之間只存在復反射系數及微小的時延差異，因此二者具有較強的相關性。這造成俯仰向波瓣分裂，對低仰角目標的 DOA估計與跟蹤產生嚴重影響[1－12]。針對這一問題，文獻[2,3]提出一種利用波瓣分裂的仰角測量方法，該方法利用多徑反射模型，分析波瓣分裂情況，進而利用單脈沖測角方法實現角度測量。這種方法雖然結構簡單，計算量較小，但是嚴重依賴反射系數，在反射模型不準確時，性能嚴重下降。多徑情況下的DOA估計問題，本質上是相干信源情況下的 DOA估計問題。在空間譜估計領域，利用空間平滑、最大似然等方法可以實現相干信源角度估計，但存在陣列自由度損失、計算量大等問題[4－6]。文獻[7]提出了廣義 MUSIC算法，該算法可直接應用于相干信源DOA估計。文獻[8]在廣義MUSIC算法基礎上，提出了一種新的譜峰搜索方法，該文利用目標距離信息將2維角度搜索轉化為1維搜索，降低了運算量。文獻[9]在文獻[8]基礎上提出一種多徑衰減系數和仰角聯合估計的算法。

針對多徑情況下的低仰角目標DOA估計問題，本文首先介紹了廣義MUSIC算法及兩種改進算法，理論分析指出這些算法有效性的實質是對基本譜峰搜索公式的加權。權值的不同導致了角度估計性能的差異。在此基礎上，本文分析了權值及目標角度位置對 DOA估計結果的影響，提出了基于廣義MUSIC算法的低仰角估計方法模型。通過仿真試驗，本文確定了一個性能較為優異的權值。仿真試驗表明，基于該權值的算法相比已有算法具有更高的估計成功概率，更優的估計性能。

2 廣義MUSIC算法及其改進算法

多徑信號由鏡面反射分量和漫反射分量組成，當反射面較為平坦時，可以忽略漫反射分量，只考慮鏡面反射分量的影響[12]。此時陣列接收信號可表示為[9]：

陣列接收信號的協方差矩陣可表示為[13]：

式中σ2為噪聲功率，US為M×1維信號子空間，UN為 M×(M?1)維噪聲子空間，“H”表示共軛轉置。

由陣列流型與噪聲子空間的正交性可得：

利用式(3)進行DOA估計時，涉及θd,θs,3 個變量的搜索，運算量非常大。針對這一問題，文獻[7]提出的廣義 MUSIC 算法，去除了對譜峰搜索的影響，其譜峰搜索公式為：

由廣義Rayleigh商的性質，式(4)可以等效為：

θd和θs之間的關系可表示為：

式中h表示天線的高度，Rd表示目標到天線的距離。

文獻[9]在文獻[8]基礎上提出了多徑衰減系數與角度的聯合估計方法，可表示為：

式中ω=[1 0]T。

3 算法的理論分析

3.1 已有算法的理論分析

常規MUSIC算法的譜峰搜索公式可表示為[13]：

對于常規 MUSIC算法來說，式(9)與式(10)沒有本質區別，利用二者得到的DOA估計結果也是相同的。對于廣義 MUSIC算法及改進算法來說，也存在類似的兩種形式的譜峰搜索公式，前文介紹的 3種算法使用了式(10)形式的譜峰搜索公式。這兩種形式對于廣義MUSIC算法及改進算法來說，差異是巨大的。下面將通過理論分析說明這一問題。

令

3種算法式(10)形式的譜峰搜索公式可表示為：

其中，“*”表示復數共軛。3種算法式(9)形式的譜峰搜索公式可表示為：

由上述公式可知，3種算法的譜峰搜索公式分母都為 A11A22?A12A21，只是分子有所不同。理想情況下，當角度取 θd,θs時，A11A22?A12A21=0，此時將形成尖銳的譜峰，因此可利用上述公式進行譜峰搜索。需要注意的是，當角度取值接近 0°，即θd≈θs≈0°時，A22A11?A21A12≈0。此時3種算法式(9)形式的譜峰搜索將得到很大的譜值。在實際情況下，目標角度處的譜值是有限的，0°附近的大譜值將淹沒目標角度處的譜值，此時將嚴重影響目標的 DOA估計。3種算法式(9)形式的譜峰搜索公式在實際應用中性能很差。

考察3種算法式(10)形式的譜峰搜索公式可知，當角度取接近0°值時，譜峰搜索公式的分子也接近0，這相當于對式(9)形式的譜峰搜索公式進行了加權，抑制了小角度產生的大譜值?？梢灶A見，相比式(9)形式的譜峰搜索公式，式(10)形式的譜峰搜索公式在低信噪比時將更為有效。而這種有效性的本質是通過加權，抑制了小角度產生的大譜值。已有的3種算法正是使用了式(10)形式的譜峰搜索公式。

3.2 基于廣義MUSIC算法的仰角估計方法模型

由前文的分析可知，廣義 MUSIC算法及改進算法有效性的實質是對基本譜峰搜索公式(A11A22?A12A21)?1的加權。這就是基于廣義MUSIC算法的仰角估計方法模型。權值不同，仰角估計性能也不盡相同。因此權值是影響算法估計性能的關鍵。

加權的目的是抑制小角度產生的大譜值。從已有3種算法的權值來看，可以認為權值是以A11,A12,A21,A22,a12,a21為變量的函數。該函數要求角度取值接近0°時函數值接近0。變量 A11,A12,A21,A22不僅與角度有關，還與噪聲子空間有關，利用這些變量構造的權值具有一定的隨機性，加權效果難于控制和分析。因此本文主要分析以 a12,a21為變量的權值。具體來說是要構建權值函數 f(a12,a21)，使得該函數在角度取值接近 0°時函數值接近 0。比較直觀的兩種構造方式為：

式(17)，式(18)中m為可變的加權系數。

角度取值接近 0°時，式(17)，式(18)的取值接近0。加權系數m影響權值接近0的速度，進而影響加權效果，最終對 DOA估計結果產生影響。合理的m取值可以通過仿真試驗得到。由前文分析可知，式(9)形式的譜峰搜索公式DOA估計效果較差，主要是受小角度產生的大譜值影響。因此可以預見，目標角度越接近0°，這種影響越大，DOA估計性能越差。信噪比是影響DOA估計的另一個重要因素，信噪比越低，DOA估計性能越差。因此在分析不同權值對 DOA估計的影響時，要綜合考慮目標角度及信噪比兩方面因素的影響。

4 算法仿真及性能分析

本節將首先通過仿真試驗說明權值對廣義MUSIC算法及改進算法的影響；進一步通過仿真分析信噪比、目標角度以及加權系數對兩種加權方式性能的影響，明確兩種加權方式的適用性；最后將本文提出的加權方法與已有算法進行對比分析。

4.1 兩種形式的譜峰搜索公式性能對比

設天線高度100 m，目標距離100 km，地面反射系數為0.9ejπ，陣元數量為8，快拍數為64，直達波入射角 θs=2°，多徑角度 θs≈?2.11°，信噪比取-20～20 dB，間隔 5 dB。使用式(7)的角度對應關系，應用3種算法兩種形式的譜峰搜索公式在每個信噪比情況下分別進行1000次獨立重復試驗，統計估計成功概率和均方根誤差，結果如圖1所示。

圖1中，虛線表示式(9)形式的譜峰搜索方式，實線表示式(10)形式的譜峰搜索方式。由圖 1可以看出，隨著信噪比的增加，各種譜峰搜索方式的成功概率逐漸增加，估計均方根誤差逐漸減小。由圖1(a)可以看出，相比式(10)形式的譜峰搜索方式，式(9)形式的譜峰搜索方式估計成功概率較低，在信噪比小于10 dB時，成功概率接近為0。在低信噪比時，文獻[9]算法的成功概率比廣義 MUSIC算法和文獻[8]方法要高。這說明了權值對廣義 MUSIC算法的估計性能有較大影響。由圖1(b)可以看出，式(10)形式下 3種算法的估計均方根誤差相差不大。值得注意的是，廣義 MUSIC算法的估計成功概率曲線和均方根誤差曲線與文獻[8]方法對應的曲線幾乎重合，說明二者的估計性能是相似的。

4.2 加權系數的分析

保持 4.1節的基本參數不變，當直達波入射角分別取 θd= 1°,3°,5°,7°，加權系數m在0.1～5.9之間變化，變化間隔為0.1，信噪比取?10 dB,?5 dB,5 dB時，利用式(17)，式(18)的權值，分別進行1000次獨立重復試驗，統計估計結果的成功概率和均方根誤差，結果如圖2，圖3所示。

圖2中藍色曲線為式(17)加權方式對應的仿真結果，紅色曲線為式(18)加權方式對應的仿真結果。由圖 2可以看出，式(17)加權方式的估計成功概率在加權系數小于1時較高，在加權系數大于1時，受目標角度、信噪比的影響較大。式(18)加權方式的估計成功概率在加權系數大于 1.1時較高，幾乎不受目標角度的影響；在加權系數小于1時，估計成功概率較低。因此，在分析兩種加權方式的估計性能時，對于式(17)的加權方式，可主要關注加權系數小于 1的部分；而對于式(18)的加權方式，則要關注加權系數大于1的部分。

圖3中藍色曲線為式(17)加權方式對應的仿真結果，紅色曲線為式(18)加權方式對應的仿真結果。由圖3(a)，圖3(b)，圖3(c)可以看出，對于式(17)的加權方式，估計均方根誤差隨加權系數的增加總體呈下降趨勢(m<1)；隨著目標角度、信噪比的增加，適當減小加權系數可提升估計性能；由圖3(d)可以看出，當目標角度進一步增加時，估計均方根誤差曲線呈現遞減趨勢。而對于式(18)的加權方式，隨著加權系數的增加，估計均方根誤差曲線存在一個駐點，位于m=1.1處。當目標角度由3°變到5°時，駐點位置大于1.1。當信噪比進一步增高、目標角度增大時，估計均方根誤差曲線隨著加權系數的增加而下降。因此在目標角度較大的情況下，應用式(18)的加權方式時可適當增加加權系數，估計性能會有所提升。綜合考慮估計成功概率和均方根誤差兩個指標，在沒有目標角度先驗信息的情況下，取式(18)加權方式 m=1.1是比較合理的選擇。

圖2 不同加權系數時的估計成功概率對比Fig.2 Probability comparison of successful estimation of different weighted coefficient

4.3 不同方法的性能對比

保持 4.1節的基本參數不變，當目標角度分別取θd= 1°,3°,5°,7°時，信噪比取?10～20 dB，間隔5 dB，對比文獻[8]，文獻[9]和利用式(18)加權方式m=1.1時3種算法的估計成功概率及均方根誤差，結果如圖4所示。

由圖4可以看出，隨著信噪比的增加，3種算法的估計性能逐漸變好。與已有方法相比，本文算法具有更高的估計成功概率。當目標角度值為1°時，3種算法的估計均方根誤差接近，但本文算法的成功概率更高，在信噪比為?10 dB時，本文算法仍能保證0.8的成功概率；當目標角度為3°時，本文算法在估計成功概率和均方根誤差兩方面都有優勢；目標角度為5°和7°時，本文算法在加權系數m=1.1時，估計均方根誤差并沒有明顯優于已有算法。由4.2節的分析結果可知，當目標角度較大時，可適當增大加權系數。圖4(g)，圖4(h)給出了 m=1.1,2.5,4.5,5.5時的估計成功概率和均方根誤差曲線，可以看出，當目標角度為 7°時，估計成功概率都為 1。而隨著加權系數的增大，本文算法的估計均方根誤差減小，明顯優于已有算法。

圖4 不同算法的估計性能對比Fig.4 Estimation comparison of different algorithms

5 結束語

針對多徑環境下的目標低仰角估計問題，本文首先介紹了廣義 MUSIC算法及兩種改進算法，理論分析指出，這些算法有效性的實質是對基本譜峰搜索公式的加權，3種算法可以統一在加權模型下。不同算法之間角度估計性能的差異正是由權值的差異造成的。在此基礎上，本文提出了兩種權值可調的加權方式，并通過仿真試驗確定了一個性能較優的權值。本文進一步通過仿真對比分析了已有3種算法與基于該權值算法的角度估計性能，仿真結論指出，基于該權值的算法具有更高的估計成功概率，在多數情況下，估計均方根誤差優于已有算法或與已有算法一致。利用目標角度的先驗信息，通過調整權值，可獲得更優良的角度估計性能。權值是影響角度估計性能的重要因素，本文提出的加權方式模型較為簡單，因此下一步的工作重點將放在權值設計準則的探討與權值的優化設計上。

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