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(安豐中學 江蘇東臺 224221)
歸納探路揭示本質——一道壓軸填空題的解題教學分析
●崔志榮
(安豐中學 江蘇東臺 224221)
在一次高三檢測考試中,筆者遇到了這樣一道壓軸填空題:
例1已知實數a,b滿足:a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,則a+b=______.
筆者所任教學校800多名高三學生,解答正確的不足20人,其正確率幾乎為0,筆者所教的2個班中,共2人正確.筆者私下找這2名學生了解答題情況,他們表示不會做,是胡亂猜到答案的.在接下來的集體備課中,備課組在討論這份試卷的評講問題時,又談到了該題講與不講的問題,現回憶整理了當時部分教師的看法:
教師A:例1的難度很大,學生的正確率十分低,我認為可以放棄這道題的評講,不要浪費時間.試想一下,我們講了這道題之后,能保證產生什么效益?能保證以后再碰到類似的問題,學生就會做嗎?
教師B:例1的難度確實很大,但也可以評講一下,讓班上少數成績好的學生了解一下方法,對他們以后的解題可能會有幫助,當然,我們不要期望評講了這道題后會帶來多大的效益,對95%的學生來說,是沒有用的.
教師C:教師A與教師B的觀點基本上是一致的,講與不講沒有太大的區別.我認為如果要講,也不要花太多的時間,讓幾個學生了解一下方法即可,我覺得可以這樣辦,找幾個成績好的學生,與他們單獨談一談解題方法,課堂上不講.
對例1的評講問題,筆者在集體備課會上思考沒有成熟,也就沒有表態發言.但講與不講的問題,會后筆者仍在繼續思考,筆者也同意以上幾位教師的觀點,講了之后,如果不能帶來什么效益,確實不如不講;如果要講,那么就要產生效益.現在的問題是能否通過評講產生效益呢?是否可以從解題教學上下功夫,得出這類壓軸題的處理策略,讓學生的思維得到鍛煉,以對大多數學生今后再碰到類似的問題有幫助呢?為此,筆者對例1的解題教學作了一個優化設計,并選擇了相關試題對學生進行鞏固訓練.現將教學過程整理成拙文,與讀者進行交流、研討.
2.1 函數的構造
對于條件a3-3a2+5a=1與b3-3b2+5b=5,如何構造函數?大多數學生往往會構造函數f(x)=x3-3x2+5x,從而f(a)=1,f(b)=5,這時教師應引導學生:怎樣構造出更好的函數,使f(a)與f(b)有較強的聯系?可以適當地點撥學生,最終目的是構造出函數f(x)=x3-3x2+5x-3,從而使得f(a)=-2且f(b)=2,但學生隨后發現函數f(x)不是奇函數,這時教師還要繼續給學生指明方向,函數值f(a)與f(b)為相反數,接下來我們解決問題的關鍵是什么呢?學生自然會想到要研究函數f(x)的性質,教師應追問:如何發現函數f(x)的性質呢?
2.2 性質的發現過程
如何發現函數f(x)=x3-3x2+5x-3的性質?是歸納法!在教學中,教師應指引學生如何發現問題的一個解題策略:先猜后證,并且要強化此解題策略,因為大多數學生只有在含有探究字眼的題目中,才能想到運用此策略.
在這次教學中,筆者首先用問題引導學生,我們在高一學習指數函數、對數函數時,是如何得到這2個函數的性質的?學生大都會答:描點法.繼而又問:通過先描出函數圖像的部分點,得到函數圖像,從而發現了函數的性質,這里用了什么樣的數學方法?通過引導,學生就知道歸納法了,還可進一步強調,對一些特殊的數列如何發現它的規律.學生容易回答:是由a1,a2,a3等歸納出來的.如此學生自然而然就會處理了,他們能求出f(0)=-3,f(1)=0,f(2)=3,f(3)=12,f(4)=33,可能有少數學生需要教師點撥,提示他們再求出f(-1)=-12,f(-2)=-33,從而師生共同發現了函數f(x)具有關于點(1,0)中心對稱的性質,因此a+b=2.
2.3 本質的揭示過程
通過歸納法,學生發現了函數的性質,再揭示問題的本質就不困難了,可以從下面3個角度引導學生進行證明.
方法1(對稱中心的證明)
f(1+x)+f(1-x)=
(1+x)3-3(1+x)2+5(1+x)-3+(1-x)3-
3(1-x)2+5(1-x)-3=
2[(1+x)2-(1+x)(1-x)+(1-x)2]-
3(1+x)2-3(1-x)2+4=
-2(1+x2)-2(1-x2)+4=0.
總結函數f(x)關于點(m,n)對稱,即
f(m+x)+f(m-x)=2n.
方法2(與二項式定理聯系)
結合二項式定理,考慮系數關系.由于x3,x2的系數為1,-3,從而聯想到(x-1)3的二項式系數,于是可將函數的系數配成
f(x)=x3-3x2+3x-1+2x-2=
(x-1)3+2(x-1).
函數f(x)是由奇函數y=x3+2x向右平移1個單位得到的,它關于點(1,0)中心對稱.
這個處理方法比較簡潔,但不容易想到,需要教師合理引導.
方法3(運用平移的手段與奇函數聯系)
由歸納容易得到函數f(x)關于點(1,0)中心對稱,而奇函數是關于原點對稱的,這說明只要將函數f(x)向左平移1個單位,就可得到奇函數.于是,由函數f(x)的解析式,可轉化到函數
g(x)= (x+1)3-3(x+1)2+5(x+1)-3=
x3+2x
為奇函數,故函數f(x)關于點(1,0)中心對稱.
教師由此說明命題者是怎樣設計這道試題的:先選擇了奇函數g(x)=x3+2x,然后將其向右平移1個單位后得到函數f(x)=x3-3x2+5x-3,關于點(1,0)對稱,最后運用函數值f(a)=-2,f(b)=2,整理得出了條件,要求學生求出a+b的值.
命題者的高明之處就是把函數的性質隱藏在平移中,讓我們不容易看出來.
2.4 鞏固的教學過程
為了解學生對這道壓軸填空題評講后的掌握程度,也為了進一步強化歸納法在解題中的策略性應用,筆者通過反復尋找,選取了2012年四川省數學高考理科試題第12題,讓學生當場練習反饋.
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大多數學生能用歸納法得到答案,投影展示一位學生的解答:
由題意可求出
[f(a3)]2-a1a5=
教師追問:能不能揭示這道高考題的本質呢?也有不少學生想到了函數的轉換:
由f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,得
f(a1)-π+f(a2)-π+…+f(a5)-π=0,
g(x)=2x+sinx.
g(b1)+g(b2)+…+g(bn)=0,
教師點評與原題一樣,通過歸納法發現了例2中函數的性質,于是有些學生就有目的地將原函數進行轉換,最終揭示了該題的本質,是命題者將一個單調遞增的奇函數通過左右、上下平移形成的新函數,再結合等差數列的對稱性命制而成的.
(1)不能忽視數學歸納猜想能力的教學培養.例1與例2從考查的要求來看,考生只需具有大膽歸納猜想處理手段即可.從大的方面來講,數學歸納猜想能夠讓我們發現問題,給數學的持續發展提供保障;作為高中數學的教與學,要培養學生數學歸納猜想的意識,培養學生數學歸納猜想的方法,也只有如此,才能讓學生發現新的數學結論,才能真正激發他們的學習興趣,學習才能輕松快樂.
(2)教師要把解題經驗與學生的思維活動銜接起來.長期的教學活動,使得教師往往具有豐富的解題經驗,很多題目一拿到手,立即就能看出問題的本質,很快就能找出解決問題的辦法,迅速得出結論.但這些問題對學生而言,都是陌生的,要從零開始思考.教學中,如果不能把教師的解題經驗與學生的零思考銜接好,就會使部分學生跟不上學習步伐,喪失學習興趣,學習產生困難.作為教師,要站在學生的思維起點上看問題,充分了解學生的思維過程,充分估計學生在解決問題時可能遇到的困難,再結合自身解題的優勢,設計出合理的教學過程,以突破學生的思維障礙,從而達到最佳的教學效果.