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(西華師范大學數學與信息學院 四川南充 637002)
構造對偶式巧解競賽題
●高明
(西華師范大學數學與信息學院 四川南充 637002)
構造對偶式是基于對稱思想的一種解題方法,主要利用題目的結構特征,尋找銜接點,構造一個地位相等、結構類似、聯系緊密的對偶式,通過二者的和、差、積、商等運算,架設解題的橋梁,使問題巧妙獲解.
在一些關于三角函數求值的問題中,通過構造互余對偶式、和差對偶式,常常能達到簡化運算過程,起到化難為易、事半功倍的效果.
例1cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值為______.
(1991年全國高中數學聯賽試題)
分析本題主要考查三角函數的轉化和化簡,常常采用降次的方法進行解決,但運算較為繁瑣.事實上,從整體結構思考,將cos210°+cos250°-sin40°sin80°視為一個整體(令為A),構造互余對偶式sin210°+sin250°-cos40°cos80°(令為B),即
A=cos210°+cos250°-sin40°sin80°,
B=sin210°+sin250°-cos40°cos80°,
將2個式子進行和差運算,可得
A+B=2-cos40°,
因此
(2012年全國高中數學聯賽試題)
圖1
解得
從而
評注在對三角函數求值時,通過正弦余弦互余、和差式等結構特征,由目標導向構造對偶式,再進行恰當的運算,從而另辟蹊徑,出奇制勝.
在證明某些不等式問題時,利用不等式的結構特征,構造對偶式,使問題化繁為簡,巧妙解決.
例3已知a1,a2,…,an都是正數,且其和為1,求證:
(第24屆全蘇數學奧林匹克競賽試題)
A-B=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-a1)=0,
即
A=B.
同時
從而
例4若已知a1,a2,…,an都是正數,且其和為1,求證:
(第6屆河南省高中數學競賽試題)
分析將所證表達式的左邊令為A,由于A具有輪換對稱的特征,于是構造一個地位相等、結構類似、聯系緊密的對偶式(令為B):
將A,B進行和差運算,得
A-B=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-a1)=0,
即
A=B.
從而
評注在多元變量不等式的證明中,抓住題目的條件或結論的結構特征,有技巧地構造一個結構相似的式子,通過整體結構的運算,化整為零,各個擊破,使問題變得清晰可解.
在解一些含根式的無理方程時,根據無理式的結構特點,構造共軛的對偶式,可達到去除難點、靈活化簡的目的.
例5方程
的解x為______.
(第12屆希望杯高中數學競賽試題)
分析該方程為無理方程,涉及正弦余弦運算,化簡異常復雜,不易直接解出方程的解,解題思維受阻.不妨轉變角度,視
為一個整體,再構造結構類似的對偶式方程
將2個式子進行和差運算,得
從而
6cosx=m2+6m+3,
解得m=0,于是
因此
從而
化簡得
因此
解得
評注對于含無理式的方程,通過構造對偶式,簡化了復雜的結構討論,降低問題的難度,使得解答自然,探索過程更加簡潔,運算更加輕松,巧妙解決問題.
數學競賽試題因其內容的廣泛性與深刻性,其解答包含著豐富的思想.在教學過程中,教師應有意識地讓學生掌握和運用構造的思想,加深對數學方法的理解,既有助于培養學生的發散思維、收斂思維和邏輯思維能力,又可以讓學生開闊視野,深化解題方法,提高解題技巧,培養創新思維的目的,體現構造思想解決數學問題的美妙.