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(侯集高級中學 江蘇徐州 221121)
一道2013年高考試題“秒殺”引發的探究
●李培穎
(侯集高級中學 江蘇徐州 221121)
(2013年江蘇省數學高考試題第13題)
數學高考結束后,多數學生反映“全卷總體難度不大,時間也夠用,感覺不錯”.其中一些學生還說他們“秒殺”了第13題(倒數第2個填空題).一般來說,江蘇省數學高考試題中第13,14題更注重考查學生的思維品質以及運用數學方法的能力,復雜程度和解題難度都較高,第13題能“秒殺”嗎?在高考所有科目考完后,筆者與部分學生進行了交流,他們的做法如下:
圖1 圖2
學生對題目的理解是:滿足題意的點A到點P之間的最短距離就是點A到點P0的距離,即AP0.這樣的理解貌似合理,但經得起推敲嗎?我們不妨通過建立目標函數求解如下:
(1)
f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2.
①當a<2時,f(t)min=f(2)=2a2-4a+2=8,解得a=-1;
通過嚴密的推導,不難發現,用所謂“秒殺”的辦法得出的結果是錯誤的.
現將例1改編為例2,繼續研究:
圖3
此處求解思路常有以下2種:
思路1(分離變量求最值)
式(2)可變形為
u2-4≥2a(u-2).
①當u=2時,不等式為0≥2a×0,從而a∈R;
②當u>2時,不等式可變形為u+2≥2a,從而a≤2.
綜上所述,a≤2.
思路2(數形結合)
式(2)可變形為
u2-2au+4a-4≥0.
令f(u)=u2-2au+4a-4=u2-4-2a(u-2),則函數f(u)的圖像恒過定點(2,0),易得a≤2.即點A橫坐標的取值范圍是(-∞,2].
圖4
對于例2,我們還可以給出幾何解釋:
將例1中的條件一般化,可得:
將例2中的條件一般化,可得: