不憤不啟 不悱不發——“與拋物線切線有關的問題”課例及點評

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(東陽中學 浙江東陽 322100)

不憤不啟不悱不發——“與拋物線切線有關的問題”課例及點評

●傅紅玲吳國建

(東陽中學 浙江東陽 322100)

在“金華市數學高考復習研討會”中，筆者上了一節題為“與拋物線切線有關的問題”的教研課，為此歷經一個從選題到反思的心路歷程，現將課例呈現給同行，謹請批評指正．

1 選“課題”的“變變變”過程

教研課課題：任選“圓錐曲線的綜合問題”中的一個點.圓錐曲線綜合問題涉及面廣，要選擇一個能體現解析幾何重點和高考熱點，并且通過一節課能讓這個點有完整體現的課題確實不易.幾經周折，最后選定近幾年高考題中出現較多的“以拋物線切線為載體的直線與圓錐曲線的位置關系問題”為基點的課題：與拋物線切線有關的問題，針對“直線與拋物線的位置關系”作進一步深入探究．

2 選“題目”的“變變變”過程

本課的題目選自近幾年高考題和模擬題，第一輪選題時，筆者準備了7個原始的高考題，經試講發現：讀題、求解析式花費時間太多，導致整堂課容量小，思想不能體現．因此第2輪選題時精簡題目，砍掉了與課題無關的小題，課題突出了，但整體感覺就一節課圍繞知識點做了幾個例題，只是熟悉了知識點，而沒有體現數學思想.最后確定題目形式:以一個高考題為母題，其余以變題的形式呈現，用統一的拋物線形式，真正地把“讀題、求解析式”的時間讓路給“探究、思考”，讓學生的思維訓練時間得到進一步保證.通過問題變式形式，環環相扣，層層深入，貫徹“把課堂交還給學生，讓學生的思維火花閃耀”的教學理念．

3 課堂過程簡錄——變式教學

整個課堂設計：采用探究式教學法，借助多媒體輔助，通過“問題導入—導疑—導研——導練—導評”5個環節，完成以下教學目標：(1)掌握以拋物線的切線為載體的直線和圓錐曲線綜合問題；(2)培養利用、挖掘、整合信息的能力；(3)通過問題變式得到一些漂亮的結論，激發學生探索的欲望，提升學習和研究的興趣．

3.1 問題導入,激活思維

師:今天非常高興能有這個機會，和同學們共同探究“與拋物線切線有關的問題”．先來復習：如何求拋物線的切線方程？

例1已知拋物線C:x2=4y，求在點Q(x0,y0)處的切線方程.

生:利用導數先求切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程．

(出示幻燈片.)

師:還有其他方法求斜率嗎？

生:待定系數法設出方程，再用Δ=0求切線的斜率．

點評從試講到上課情況看，特別是文科生大多選擇利用導數求斜率．

3.2 問題導疑,激發興趣

例2已知拋物線C:x2=4y，過拋物線外一點Q(x0,y0)作2條切線QA,QB,設切點為A,B.

師:設切點為A(x1,y1)，B(x2,y2),能否用類比的思想，寫出切線QA,QB的切線方程？

師:非常好！如圖1，現在聯結切點A,B,能用點Q表示弦AB嗎?請大家嘗試著完成．

圖1

問題1求過切點的弦AB所在的直線方程.

思考2分鐘后，發現學生不能很清晰地整理解題思路,繼續點撥.

師：聯系點Q與弦AB的橋梁是切線方程，點Q與切線方程有什么關系？能否利用切線方程求出弦所在的方程？請繼續嘗試．

生:點Q代入切線方程得

即

從而

即

點評此處，點A既在弦AB上，又在切線上，同時還在拋物線上.當資源較多的時候，一定要學會信息的篩選和整合．

筆者把圖中切線方程中的點A(x1,y1),B(x2,y2)改變顏色，突出這2個點坐標的作用.

師：觀察2個切線方程，結構上有何共同之處？

點評這一步環節學生求解困難比較大，需要點撥啟發，甚至是啟而不發，教師要耐心給學生充分的思考時間，要啟發到位.最后要點出2個方程的不同之處，強調形似神不似．

3.3 問題導研,層層推進

圖2

師:若點Q為準線上任意一點，弦AB會有什么特殊性質呢？會恒過焦點F嗎？

大膽猜想，嘗試著證明．

問題2已知點Q在準線l:y=-1上，證明：弦AB過焦點F.

師:若弦AB過焦點F，2條切線的交點Q會在什么位置呢？

請同學們大膽的猜想,并完成下列問題．

問題3已知弦AB過焦點F，求2條切線的交點Q的軌跡方程．

點評弦AB過拋物線的焦點?2條切線的交點在拋物線的準線上．

師:對于這種特殊位置對應的拋物線的2條切線有什么特殊的性質呢？請同學們大膽猜想，先從圖像上觀察，猜想2條切線可能的位置關系.

生:垂直．

師:進一步通過特殊點來驗證.

生:垂直．

師:針對一個開放的數學問題,先通過猜想,再驗證,最后一定要用嚴密的數學推理來證明.將本結論推廣到一般情況．

采用指數平滑法的二次指數平滑法對當日已知負荷進行超短期負荷預測，結果記為y2。二次指數平滑法是用線性關系去擬合數據變化趨勢，相比于一次指數平滑法精度有所提高，相對于三次及高次指數平滑法運算量小、計算簡單。

問題4若弦AB過焦點F,判斷2條切線是否垂直？并給出證明.

(本題條件較多，可以從多個角度、多種方法來思考，教師要給學生充分的思考空間.)

師:哪位同學來整理下解題思路？

師生合作:設切點為A(x1,y1)，B(x2,y2),則

x2-4kx-4=0,

從而

x1x2=-4,

于是

因此QA⊥QB(完整板書).

師:還有其他方法嗎？

生:弦AB是過焦點的弦，因此借助于拋物線的定義，用平面幾何和解析幾何結合完成(用幻燈片直接投影)．

師生合作:前面幾種方法都從弦AB出發，把點Q看成2條切線的交點，即終結點.換種角度來思考:把2條切線的交點作為起始點,再觀察切線QA與QB，它們是對稱的，可否從設切線方程入手？

解由Q(x0,-1),可設切線QA：y+1=k(x-x0),代入得

x2-4kx+4kx0+4=0,

利用

Δ=16k2-4×4(x0k+1)=0,

得

k2-x0k-1=0,

從而

k1·k2=-1．

點評引導本題時，體現的思想方法是：先借助于圖像進行粗略判斷，再進一步借助于特殊點進行驗證，最后用數學思想方法進行嚴密證明，從而得到結論.這種思想方法，特別是對開放題會有明顯的效果.本題的條件多樣，如何更有效整合利用這些信息，就顯得更加重要．

3.4 問題導練,及時反饋

圖3

(學生板演.)

解法1

于是

點評解法1利用了點Q的坐標，解法2利用了弦AB的直線方程，2位學生都充分利用本堂課得到的結論，很順利地完成了解題.讓學生動起來,從中享受結論帶來的方便.

3.5 問題導評,整合提高

師：通過大家的共同努力，這堂課得到了幾個漂亮的結論:

(1)在點Q(x0,y0)處的切線方程為

(2)弦AB過拋物線的焦點?2條切線的交點在拋物線的準線上?2條切線互相垂直.

師：這些結論是在給定一個具體的拋物線時得到的,請同學們課后進一步去探究：對于一般情況，這些結論是否依然成立？與拋物線有關的切線還有很多漂亮的結論，希望同學們能運用已有的信息，整合新的資料，大膽地猜想并利用嚴密的數學推論得到新的結論．

4 課后點評

本堂課是圓錐曲線綜合課，首先題目選得合適，“與拋物線切線有關的問題”的口子雖然小,但是非常值得研究；其次是上得好課，采用問題導學的探究式教學，真正地把課堂還給學生，且問題設計得非常好，逐步提升思維深度，一環扣一環，層層深入，結構清晰，節奏明快，并在問題4中達到一個高潮，4種解法反應出學生的高水平,能從不同角度思考問題，也能很好地利用得到的結論，從講解到提問到板演,整個課堂掌控良好．課堂氛圍較好，教師有親和力，很有耐心.一是給出充分的時間讓學生探究;二是學生回答不出時耐心地引導和等待，充分肯定學生;三是走到學生中去，密切關注學生的答題情況，真正體現了以學生為主體的思想．

5 課后反思

本堂課集合數學組的整體力量，基本達成初定目標，但依然留有很多遺憾：

(1)知識層面：在探究問題3時，筆者備課時還準備了交軌法，用交點的思想求點Q的坐標，利用韋達定理完成，在本節課中未能用上．

若能引導學生想到下列解法：把點Q點看成2條切線的起始點，或把點Q看成2條切線的交點，即終止點，則可以從不同角度思考問題，充分挖掘信息，開闊學生思考問題的角度，進一步提升整合信息和挖掘信息的能力．

(2)教學引導層面：在問題4探究第4種方法的過程中，整個過程基本上是筆者在主導，其實可以更相信學生，更大尺度地放手讓學生探究．

[1] 李鋒,于海龍,童嘉森.拋物線的切線及其性質初探[J].高中數理化，2011(21)：9-10.

[2] 林國夫.拋物線中精彩的一點一線[J].中學數學:高中版,2010(9):50-51.