歷經三重境界探究橢圓性質的一個案例

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(寧波市第二中學 浙江寧波 315000) (鄞州區教育局教研室 浙江寧波 315100)

歷經三重境界探究橢圓性質的一個案例

●任偉芳●江一鳴

(寧波市第二中學 浙江寧波 315000) (鄞州區教育局教研室 浙江寧波 315100)

高中數學課程標準指出：“高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識．”筆者在備高三復習課時，發現一個探究橢圓性質的題目，通過此題可以引導學生從一個普通數學問題出發，層層推進，自主探索，合作交流，進而領悟數學思想方法．為此，筆者以該題為引子精心編制了一個“探索橢圓的一個性質”的教學設計，并在教研活動中進行了展示，獲得廣泛好評．下面是這堂探究課的教學片斷和課后思考，供大家參考．

1 教學片段實錄

(2009年遼寧省數學高考理科試題)

說明課前預習作業要求：(1)用盡可能多的證法來證明；(2)如果移動點A會改變直線EF的斜率，那么直線EF的斜率與點A的哪個值有關；(3)能否把這個結論推廣到拋物線和雙曲線上.

片段1不畏浮云遮望眼,只緣身在最高層

師：預習作業同學們準備得很充分，4位同學分別用直接法、方程組法、參數法和點差法來證明，這4種證法都很精彩．盡管題目像“雄關漫道真如鐵”，同學們還是用多種解法把它“從頭越”．現在我們已處在題目思路方法的“最高層”，但不要被“浮云遮望眼”，力圖抓住問題的本質，去猜想、拓展、引申和類比，探究出新的問題．想一想：直線EF的斜率值與點A的哪個值有關系？

生1：直線EF的斜率與過點A的橢圓切線斜率是互為相反數．我是用量角器通過量直線的傾斜角驗證得到的，但是還沒有證明出來．

生2：這個結論我是猜想得出．

師：你是怎樣猜想出來的？

生2：只要把如圖2的橢圓變成特殊情形圓，如圖1所示，∠1=∠E+∠4，∠2=∠3+∠5，而∠1=∠2，因此∠4=∠5.類比到圖2得：直線EF的斜率與過點A的橢圓切線斜率是互為相反數．

圖1 圖2

師：通過觀察由特殊情形出發，類比猜想得到一般結論是科學研究的一種有效方法,但還要嚴格證明．

從而

設kAE=k,則kAF=-k.又點A(x0,y0)在橢圓上,得

從而

(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+

a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

記E(x1,y1)，F(x2,y2)，則

同理可得

于是

又因為y2-y0=-k(x2-x0)，y1-y0=k(x1-x0),

從而

又

故

kEF+kAQ=0.

師：對于一個命題成立自然會想到它的逆命題是否成立呢？

證明與結論1類似．

結論1作為橢圓性質的基本定理，進而又得到以下結論：

生4：根據△TAF∽△TEA，不難得到以下結論：

片段2行到水窮處，坐看云起時

師：橢圓也有類似于圓的性質的確令人驚奇，似乎我們已經到了“水窮處”了，但同學們思考一下：橢圓除了有“切割線定理”，是否還會有“相交弦定理”呢？這樣的探究就會看到“云起時”．如圖2，把2條弦AE和AF移開，變成2條相交弦，切線變成割線，結論1的條件是橢圓中2條弦相交點在橢圓上，如果2條弦相交點不在橢圓上時，通過研究還可以得到一般性結論．

圖3

(a2+b2t2)y2+2tmb2y+b2m2-a2b2=0.

設C(x1,y1)，E(x2,y2),則

同理可設Q(x3,y3)，F(x4,y4)，則

從而

記kCD+kEF的分子為

μ= (y3-y1)[-t(y4+y2)+n-m]+

(y4-y2)[-t(y3+y1)+n-m]=-t(y3y4-

y1y2)+(n-m)[(y3+y4)-(y1+y2)]=

即kCD+kEF=0結論成立．

生5：由此,可以進一步探究△PCD∽△PEF，得出結論：

片段3會當凌絕頂,一覽眾山小

師：是否可以把昨天作業中的數學問題由橢圓推廣到拋物線和雙曲線上？

(讓學生分小組討論、探究，再由代表進行總結發言.)

師：通過討論分析，還可以得到更一般的結論：

證明設圓錐曲線方程為

f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,

(1)

直線PQR與直線PST的傾斜角分別為θ1,θ2，則過點P的直線PQR的參數方程為

(2)

聯立式(1)，(2)，得

PQ·PR=t1·t2=

同理可得

PS·PT=t3·t4=

該值與點P位置無關．

特別地，當B=0,θ1+θ2=π(即直線QR與直線ST的斜率互為相反數)時，|PQ|·|PR|=|PS|·|PT|成立．

師：當圓錐曲線換成圓時，就是圓冪定理．上述證明已涵蓋了圓冪定理，并且說明把圓推廣到橢圓、雙曲線、拋物線時，類似結論仍然成立．結論9是圓錐曲線的牛頓定理，它的特例包含了今天我們所探究的所有結論，此結論可以作為編寫相關圓錐曲線試題的依據或根源．

師(結束語)：同學們，優美的結論、奇妙的數學，令人神往．在平常的學習中，要做學習的有心人，處處留心皆學問，讓我們探究數學、喜歡數學、享受數學吧!

2 課后思考

2.1 摒棄知識灌輸，營造探究環境

高三數學復習時間緊、任務重，教師往往把思維變成即成思路，精心備好課，準備若干解題方法，整個課堂以講解為主，使問題解答變成可傳信物，學生看到的是思維的結果，很難體會思維的過程．事實上,很多學生并不一定會像教師那樣去思考、去探究，原因是：思維是靠啟迪，而不是靠灌輸，越是傳授得一清二楚，學習者就越不會思維．因此在教學時要給學生獨立思考、自由發現問題進而解決問題的機會，有意培養其自主探究的能力和習慣，從而提高學生的后期繼續學習的能力．復習課營造良好的探究環境，是提高數學課堂教學效果的關鍵，是發展學生數學學習能力的根本．本節課教學設計的策略是啟發引導學生跨越探究的三重境界，從“不畏浮云遮望眼,只緣身在最高層”的堅持到“行到水窮處，坐看云起時”的困惑再到“會當凌絕頂,一覽眾山小”的頂峰境界，使學生充分品味探究過程的魅力，體驗數學學習的樂趣．

2.2 運用合作學習，促進有效探究

小組合作學習是新課程理念下比較常用的一種教學手段，但并不是所有的內容都適合合作學習，只有那些抽象的、深刻的、具有開放性的問題，才需要合作學習．本節課教學班級的學生屬中偏下水平，如果讓學生獨立去思考探究，能夠得到結論7和結論8的學生畢竟少數．事實證明，通過合作學習，學生的積極性得到很大的提高，課堂氣氛熱烈，結論7和結論8的合作發現也為師生共同探究，為得到結論9起到了很好的鋪墊作用．有效的合作學習，可以使數學課堂充滿活力，更能揭示數學本質，可以使數學課堂充滿智慧，更有內涵，探究更有成效．

2.3 把握探究方式，提高復習效率

數學探究式課堂教學，主要是指在數學課堂教學中，學生在教師的指導下，用類似科學研究的方式去解決問題的學習方式．“類似科學研究的方式”就是讓學生通過觀察、比較、類比、猜想等方式發現問題，提出結論，進行推理和證明解決問題．其實質是讓學生學習科學研究的思維方式，從而培養學生主動探究、體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識．這節復習課從一道好題出發，從橢圓性質到一般圓錐曲線性質，從圓冪定理推測出圓錐曲線也有類似“圓冪定理”的結論，達到了“秀枝一株，嫁接成林”的目標，教學設計高屋建瓴，潛移默化，淺入深出，最后走向“以不變應萬變”的“一課一例”的復習課模式．

總之，本節課通過對橢圓性質的探索，合理地運用幾何直觀去推測，或是出于直覺，或是通過歸納和類比，體現了一種自然思考的過程．課堂上不但提出了幾個新的結論，而且在猜測和證明的過程中，體現了科學研究的一般規律，有利于激發學生的興趣．因此，在日常教學中，我們要注意挖掘探究素材，讓學生在“一題多解、一題多變、多題歸一”中體會題目的數學本質，領悟解題的思想方法，促進學生創新思維的發展．

[1] 李士锜.數學學習心理[M].上海：華東師范大學出版社，2001：64-65.

[2] 王順耿.再論圓錐曲線“相交弦定理”的探索[J].數學教學，2008(7):31-37.