“形數”試題繽紛現 如今靚影又重來——對湖北省3道高考“形數”試題的賞析

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(黃陂區第一中學盤龍校區 湖北武漢 430312)

“形數”試題繽紛現如今靚影又重來——對湖北省3道高考“形數”試題的賞析

●李紅春

(黃陂區第一中學盤龍校區 湖北武漢 430312)

翻開2013年湖北省數學高考試卷，一股別樣的氣息撲面而來，特別是理科第14題，該題融知識、方法、思想、能力于一體，文化底蘊深厚.值得一提的是這是湖北省自主命題以來，第3次考查“形數”知識，然而?？汲Ｐ?，不禁讓人有這樣的感慨：“形數”試題繽紛現，如今靚影又重來！

1 靚影重現

例1古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形數1，3，6，10，…，第n個三角形數為

記第n個k邊形數為N(n,k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：

四邊形數N(n,4)=n2；

六邊形數N(n,6)=2n2-n；

……

可以推測N(n,k)的表達式，由此計算N(10,24)=______.

(2013年湖北省數學高考理科試題)

解法1 由觀察可知

N(n,4)=1+3+5+…+(2n-1)=n2；

N(n,5)= 1+4+7+…+(3n-2)=

N(n,6)=1+5+9+…+(4n-3)=2n2-n；

…

N(n,k)= 1+(k-1)+(2k-3)+…+

[(k-2)n-(k-3)]=

從而

N(10,24)=1 000.

解法2由觀察可知

N(n,k)=an2+bn.

從而

N(10,24)=1 000.

例2傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數,他們研究過如圖1所示的三角形數：

圖1

將三角形數1，3，6，10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}.可以推測：

(1)b2 012是數列{an}中的第______項；

(2)b2k-1=______(用k表示).

(2012年湖北省數學高考文科試題)

解歸納猜想數列{an}的通項公式為

又數列{bn}是由可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列，由任意2個連續正整數之積的個位數字特征可得：

b1=a4，b2=a5，b3=a9，b4=a10，

b5=a14，b6=a15，b7=a19，b8=a20，

…

歸納猜想,得

b2k-1=a5k-1，b2k=a5k，

從而

b2 012=b2×1 006=a5×1 006=a5 030，

例3古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數，比如：

圖2

圖3

他們研究過圖2中的1，3，6，10，…由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似地，稱圖3中的1，4，9，16，…這樣的數為正方形數.下列數中既是三角形數又是正方形數的是

( )

A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378

(2009年湖北省數學高考理科試題)

解設三角形數數列為{an}，觀察圖形可知a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，猜想

設正方形數數列為{bn}，由b1=1=12，b2=4=22，b3=9=32，b4=16=42，猜想

bn=n2.

分析可知三角形數的個位數字只能是0，1，3，5，6，8.正方形數是平方數，其個位數字只能是0，1，4，5，6，9.故排除選項A，B，D，選C.

2 亮點賞析

2.1 植根課本

“問渠那得清如許，為有源頭活水來”，以上3道試題均源自新課標人教A版《數學(必修5)》第2.1節“數列的概念與簡單表示法”的引言部分以及《數學(選修3-1)》第2.2節“畢達哥拉斯學派”的部分內容．由于試題取材于課本，不但背景公平，而且學生做這樣的試題倍感親切，無形中加深了對課本的深厚感情，對引導師生重視課本、研讀教材、挖掘教材有著重要作用．

2.2 底蘊深厚

著名數學家和數學史家鄒騰強調：通過數學史的學習，學生不僅獲得了一種歷史感，而且通過從新的角度看數學學科，他們將對數學產生更敏銳的理解力和鑒賞力．

在數學史上，古希臘數學家畢達哥拉斯最早把正整數和幾何圖形聯系在一起，把數描繪成沙灘上的小石子，又按小石子所能排列的形狀，把正整數與正三角形、正方形等圖形聯系起來，將數分為三角形數、正方形數……

形數試題底蘊深厚，如三角平方數數列為{fn}，則

這個含有無理數的公式，給出的解卻是正整數，與斐波納契數列{an}，其通項為

一樣神奇．這些以數學史為背景的試題的出現，不但激發了人們對數學學習的興趣，更在潛移默化中傳播了源遠流長的數學文化．

2.3 立意高遠

合情推理，是數學家波利亞提出的概念，它是指“觀察、歸納、類比、實驗、聯想、猜測、矯正和調控等方法”．一直以來，我們十分重視雙基教學，但學生在校所學到的學科知識，隨著他們離開學校，多數會逐漸忘掉.“教育是所有學會的東西都忘卻以后仍然留下來的那些東西”，學生學習數學獲得的不僅僅是知識，除此之外，更重要的是思想與方法．而在研究“探究性學習”的今天，我們的教學一直在研究如何組織和組織的形式上，對在發展過程中使用的合情推理等方法沒有予以足夠的重視，而這些恰恰是人類優秀文化素質的重要組成部分．歸納、類比是發現和獲取知識的重要方法，也是探究和解決問題的重要工具，如今歸納與演繹并重已成為新課程數學教學的一條重要原則．我們的數學課堂，一方面要教會學生規范地演繹推理證明，另一方面也要教會學生運用歸納、類比、合情推理發現和猜想.《數學(選修2-2)》中專設一章推理與證明，結合具體案例進行學習和深化．

這3道“形數”試題，別具一格，著重考查學生合情推理能力，以及特殊與一般思想；考查考生探索、研究及理性思維.在此題的求解過程中，“歸納、猜想、驗證，從特殊到一般”展現了數學命題的發現與驗證的全過程，突出了新課程“知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀”的三維目標．

2.4 導向鮮明

這3道試題取材一樣，都是將文字語言和圖形語言相結合，以數學符號語言和圖形語言為載體，要求學生從特殊結構發現一般規律，提醒我們：高三復習必須重視對歷年高考試題的研究！因為歷年高考試題一直是新高考試題的重要來源，命題者一直重視傳承和相互借鑒，他們堅持“命題是一種自然的發展，不會有突變，不能隔斷歷史”的觀點．其次，高考試題凝結了命題者巨大的智慧和心血，有的立意高遠，有的背景深刻，有的內涵豐富，有的創意新穎.在研究的過程中，我們可以掌握豐富的數學方法，學習樸素的數學原理，完成火熱的數學思考，激發蘊藏的生命活力，使我們領悟解題方法、解題思想、問題的深層次聯系，使我們的解題能力與思維品質向更深、更高的層次發展和升華！