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(浮山中學 安徽樅陽 246736)
對一道2013年全國初中數學競賽題的剖析
●章禮抗
(浮山中學 安徽樅陽 246736)
題目如圖1,已知在四邊形ABCD中,AB=DC,E,F分別為AD與BC的中點,聯結EF與BA的延長線相交于點N,與CD的延長線相交于點M.求證:∠BNF=∠CMF.
(2013年全國初中數學聯賽初二組初賽試題)
圖1 圖2
證法1如圖2,聯結AC,取AC的中點K,聯結EK,FK.因為AE=ED,AK=KC,所以
同理
從而
故
∠FEK=∠EFK.
由EK∥DC,得
∠CMF=∠FEK,
又因為FK∥AB,所以
∠BNF=∠EFK,
因此
∠BNF=∠CMF.
推論1在四邊形ABCD中,E,F分別是AD,CB的中點,AB,CD的延長線分別與EF的延長線交于點N,M,則
(1)AB>DC?∠ANE<∠CME;
(2)AB
證明如圖2,聯結AC,取AC的中點K,聯結EK,FK.因為
AE=ED,AK=KC,
所以
同理
故
在△EKF中根據大邊對大角,知
∠FEK>∠EFK.
因為EK∥DC,所以
∠CMF=∠FEK,
又因為FK∥AB,所以
∠BNF=∠EFK,
故
∠ANE=∠BNF<∠CMF,
即推論1的第(1)個等價關系成立.同理可證第(2)個等價關系也成立.
證明聯結AC,取AC的中點M,聯結MF,ME.因為E,F是四邊形ABCD的一組對邊ABCD的中點,且MF,ME分別是△ADC,△ABC的中位線,所以
在△MEF中,因為EF 圖3 圖4 證明取AD中點G,聯結EG,FG.已知E是AC的中點,則EG是△ACD的中位線,因此 同理,由F,G分別是BD和AD的中點得 在△EFG中, 由式(1),(2),(3)知 分析2由證法1聯結BD,取BD的中點G,則可得到菱形. 證法2如圖5,聯結BD,AC.取BD,AC的中點G,H,聯結EG,EH,FG,FH.因為E,F分別為AD與BC的中點,所以 EGHFAB, 同理可得 GFEHDC. 又因為AB=DC,所以EGFH是菱形,故 ∠BNF=∠GEF=∠FEH=∠FMC. 圖5 圖6 推論4如圖6,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,且AC=BD,M,N分別為AD,BC的中點,MN與AC,BD分別交于點E,F.證明:∠AEM=∠NFB. 證明取AB的中點P,聯結MP,NP,則MP,NP分別是△ABD與△BCA的中位線.因為 PM∥BD,PN∥AC, 且 所以 ∠NFB=∠DFM=∠PMN, ∠AEM=∠CEN=∠PNM. 因為AC=BD,所以 PM=PN, 從而 ∠PMN=∠PNM, 故 ∠AEM=∠NFB. 分析3根據“銳角兩邊對應平行則兩角相等”可創造條件:聯結CE并延長至點G,使EG=EC.由E是AD的中點可知△GAE≌△CDE,從而GA∥MC,由EF是△BCG的中位線知GB∥EF. 證法3如圖7,延長CE至點G,使CE=GE,聯結GA,GB.由E是AD的中點,知 GA=DC. 因為AB=DC,所以 BA=GA. 又因為EF是△BCG的中位線,所以 GB∥MF, 從而 ∠GBA=∠BNF=∠BGA. 由∠BGA與∠FMC的兩邊對應平行,知 ∠BGA=∠FMC=∠GBA=∠BNF. 圖7 圖8 分析4由證法3的提示,可聯結DF,并延長DF至點G,使FG=DF.同時利用“中位線和銳角兩邊對應平行則兩角相等”,可轉化兩角. 證法4如圖8,聯結DF,并延長DF至點G,使FG=FD,聯結AG,BG.易知△DCF≌△GBF,從而 BG∥DC. 因為EF是△AGD的中線,所以 FE∥AG. 又因為AB=DC,所以 BA=GB, 從而 ∠BGA=∠BAG=∠BNF. 由∠BGA與∠FMC的兩邊對應平行,知 ∠FMC=∠BGA=∠BAG=∠BNF. 分析5要證的2個角不在同一個三角形中,可先轉化到同一個三角形中.過點E分別作EH,EG,使EH∥DC,EG∥AB,且EH=DC,EG=AB,這樣只要證明在△GEH中∠GEF=∠FEH=∠BNF=∠CMF. 證法5如圖9,過點E作EHDC,EGAB,則四邊形ABGE和EHCD是平行四邊形.由AB=DC,E,F分別為AD與BC的中點,知△BGF≌△CHF,從而點G,F,H共線,故在△GEH中,∠GEF=∠FEH=∠BNF=∠CMF. 推論5在四邊形ABCD中,E,F分別是AD,CB的中點,且AD∥BC,則 證明(1)如圖10,過點E作EK∥DC,EG∥AB,且分別交BC于點K,G.因為AD∥BC,所以ABGE和CKED是平行四邊形,從而 BG=AE,KC=ED. 又當∠B+∠C=90°時, ∠EGK+∠EKG=90°, E,F分別是AD,CB的中點,從而 ∠EGK+∠EKG=90°, 即 ∠B+∠C=90°, 同理可知推論5的(2)和(3)結論成立 分析6受證法5的啟發,可過點D作DG∥AB,且DG=AB.同時利用“中位線和銳角兩邊對應平行則兩角相等”的原理,可轉化兩角. 證法6如圖11,過點D作DGAB,聯結GC,取GC的中點H,聯結DH,FH,則四邊形ABGD是平行四邊形.因為E,F分別是AD,BC的中點,且AB=DC,所以FHBG,從而FHDE,故四邊形EFHD是平行四邊形,因此 ∠HDC=∠FMC,∠GDH=∠BNF. 又因為△GDC是等腰三角形,所以 ∠GDH=∠HDC=∠BNF=∠CMF. 圖11 圖12 分析7要證的2個角不在同一個三角形中,可先轉到一個等腰三角形中,E,F分別是AD,BC的中點,可利用平行線切割線段成比例性質進行證明. 證法7如圖12,過點D,C分別作AB的平行線,交MF及其延長線于點G,K.由E是AD的中點,得 △AEN≌△DEG, 由F是BC的中點,得 △BFN≌△CFK. 因為AN=DG,BN=CK,且GD∥CK,所以 從而 即 又因為AN=MD=DG,所以 ∠GMD=∠MGD=∠ANG. 圖13 分析8要證的2個角可以轉化到同一個等腰梯形中,再利用中位線的性質進行證明. 證法8如圖13,過點A,B分別作MF的平行線交CM及其延長線于點G,K,則 ∠ANE=∠KBN,∠FMC=∠BKC. 因為E,F分別是AD,BC的中點,所以點M分別是GD,KC的中點.又因為KG=DC,AB=DC,所以四邊形GKBA是等腰梯形,從而 ∠KBN=∠BKM=∠BNF=∠CMF. 該題還有很多更好的證明方法,留給讀者思考.