多級混合式行星齒輪傳動的動態特性分析

□譚昕

江漢大學 機電與建筑工程學院 武漢 430056

海上鉆井平臺的重要部件之一是升降機構中的大傳動比、多級混合式行星齒輪減速箱，該減速箱傳遞的扭矩在百萬?！っ滓陨?，工作壽命通常為數百小時，它的動態特性對整個升降機構的工作壽命和穩定性有著重要的影響。本文通過有限元方法在ADAMS環境中構建了多級混合式行星齒輪減速箱的多體動力學模型，并將柔性體零件（如齒圈、太陽輪、行星輪等）的變形影響考慮其中，通過仿真分析，研究了齒輪箱主要零部件的靜態強度和嚙合過程中的動態嚙合力，為該型齒輪箱的結構優化設計提供了有效的分析依據。

1 行星齒輪系統的有限元建模方法

如圖1所示為某型海上石油鉆井平臺升降機構中多級混合式行星齒輪減速箱的傳統系統結構簡圖，其中包含的各級齒輪的參數見表1。

本文運用20節點的3D六面體單元對彈性體齒圈進行有限元網格劃分，并把輪齒間的接觸方式視作線接觸，接觸線上各有限單元具有獨立的剛度系數K（Mi），把接觸點上的當量法向變形量 δe（Mi）作為輪齒的輪廓變形量。行星輪和太陽輪由于直徑較小，其相應的彈性變形遠比齒圈的變形小，故而將行星輪和太陽輪視作剛體，并用下標j來表示行星輪的動坐標系原點。單個行星輪系的參照系設置如圖2所示。

根據圖2所示參照系確定各行星輪的旋量計算公式為［1］：

▲圖1 傳動系統結構簡圖

式中：Oj表示第j個行星輪的回轉中心；｛τj｝表示第j個行星輪的旋量，表示｛τj｝的平動分量；ωj表示｛τj｝ 的轉動分量；Sj、Tj、Zj分別代表行星輪動系的 3 個坐標方向；vj、wj、uj分別表示 3 個平動自由度；φj、ψj、θj分別表示3個轉動自由度。圖3所示為有限單元劃分的模型。

如圖3所示，齒圈有限元模型所包含的每一個3D Brick單元之間的矩形結合面在有限單元發生變形時仍被視作始終保持平直，根據式（1），此時每個結合面的旋量公式可表達為［2］：

▲圖2 行星輪系的參照系設置

▲圖3 有限單元劃分模型

表1 行星齒輪傳動鏈的幾何參數

式中：Nck表示結合面的中心節點。

被視作彈性體的輪齒在發生相互接觸時，接觸線上的有限單元采取統一的計算公式來計算嚙合時各單元的變形和載荷。若以xfi表示齒圈上第i個有限單元的位移向量，則齒圈的線性動力學方程可以表示為［3］：

式中：ffi表示該有限單元體上承受的外載荷；Mffi表示有限單元體的質量矩陣；Kffi表示有限單元體的剛度矩陣；Cffi表示有限單元體的阻尼矩陣，三者之間的關系為：

如果有限單元體是固結于參照系的，則xfi沒有剛體自由度，此時Kffi和Mffi都是正定的，只有動系中的有限單元具有剛體自由度。用向量xri表示輪齒宏觀運動中的小位移，在二維模型中，xri有3個分量，在圖2所示參照系中，由于每個齒輪的平動被約束了，則只有轉動自由度θi，因此可得到如下矩陣方程：

式（5）可通過線性迭代方法計算，計算結果用于確定齒圈的變形，方程計算出的接觸力也可用于后續齒面變形量和應力的計算。將該計算步驟進行循環，可以計算出接觸區全部有限單元體的變形量及應力。

第一級行星傳動中太陽輪與行星輪之間的嚙合剛度變化可以從有限單元分析中獲得。設太陽輪傳遞的扭矩為Ts，傳遞誤差函數為us=rsθs，則嚙合剛度可表示為Ks=Ts/（rsus），在一個嚙合周期內將上述計算步驟循環若干次，則嚙合剛度變化曲線如圖4所示。

2 多級混合式行星傳動系統的動態仿真方法

▲圖4 嚙合剛度變化曲線

對于多級齒輪傳動，通常把可視為剛體的部件，如軸、軸承等，放在Pro/E等通用三維建模軟件中直接進行數字化建模。而視作彈性體的部件，如太陽輪、齒圈和齒輪箱體等，則在Pro/E中建模后，以IGES格式文件導入ANSYS軟件中，用3D 20節點Brick單元進行網格劃分，添加材料屬性后，獲得有限元模型。該有限元模型可導出節點的位置矩陣、剛度矩陣，再將這些矩陣數據導入ADAMS軟件中。在ADAMS軟件中，將Pro/E生成的剛體部件和有限元生成的彈性體部件裝配成三維剛-柔混合多體動力學模型，再將力約束、位移約束等邊界條件施加于這個混合多體動力學模型［4］。整個建模流程如圖5所示，獲得的齒輪箱三維裝配體模型如圖6所示。

ADAMS軟件自帶了一些計算函數，本文選擇實體-實體函數來仿真接觸部件間的沖擊過程，該函數表示如下：［5］

式中：Step（q，q0-q，1，q0，0）表示跳躍函數；q0表示接觸部件之間的初始距離；q表示兩部件在傳動過程中的實際距離；q0-q表示每個部件的變形量，當q≥q0,意味著沒有沖擊發生，此時式（6）的值為 0；當 q＜q0，則意味著碰撞發生了。

仿真中各部件的材料取為鋼材，泊松比為0.29，彈性模量為207 GPa。 多級混合式行星傳動系統的最大輸入角速度選為1 164 r/min，最大輸入扭矩為691 N·m，最大輸出角速度為0.207 r/min。用ADAMS軟件中的跳躍函數 Step （x，Begin，Initial Value，End，Final Value）來仿真外載荷加載過程，在0.2 s內，輸入軸由0加速至1 164 r/min。

3 仿真結果分析

▲圖5 多體動力學模型建模流程

▲圖6 齒輪箱的三維裝配體模型

▲圖7 系統輸入、輸出角速度曲線

▲圖8 輸入軸齒輪嚙合力波動曲線

▲圖9 輸出軸齒輪嚙合力波動曲線

如圖7所示，在0.2～0.8 s內，輸入軸的角速度幾乎恒定，其均值為1 164 r/min，而相應的輸出軸轉速為0.207 r/min，這說明在該時間范圍內，整個傳動系統按照給定傳動比穩定運行。

圖8、圖9所示為作用于輸入和輸出軸齒輪上的嚙合力。 在0～0.2 s內，傳動鏈處于加速狀態，因此作用在齒輪上的嚙合力在逐漸增加；在0.2～0.4 s內，傳動鏈的加速過程結束，系統輸出端扭矩比啟動時增大了，因此嚙合力的波動也隨之明顯增大；0.4 s之后，嚙合力的波動基本上保持恒定。

輸入端齒輪的嚙合力波動要比輸出端大，這是因為輸入端軸、齒輪強度較低，且其模態較豐富，易于產生變形，從而引起嚙合力的波動。

▲圖10 輸出端行星架和齒圈的應力圖

如圖10所示，輸出端行星架的最大應力為332.9 MPa，而齒圈的最大應力為463.5 MPa。從圖中可以看出，齒圈的最大應力出現在螺栓連接孔處。由于這些部件的制造材料為中碳鋼，其屈服許用應力為560 MPa，因此傳動部件都是安全的。

4 結論

本文介紹了一種用于海上鉆井平臺升降機構減速箱的有限元建模與動態仿真方法，前者用于建立多級混合式行星傳動系統的剛-柔多體模型，而后者則在ADAMS環境下完成，仿真結果表明，系統的主要振動源是輸入、輸出軸上齒輪的嚙合力波動，而系統主要承載部件的靜、動態強度是足夠的。

［1］ 李潤方，王建軍.齒輪系統動力學［M］.北京：科學出版社，1997.

［2］ 王建軍.計入內齒圈彈性的直齒行星傳動動力學研究［D］.天津：天津大學,2006.

［3］ 孫濤,沈允文,孫智民.行星齒輪傳動非線性動力學模型與方程［J］.機械工程學報，2002，38（3）：6-10.

［4］ 余偉煒,高炳軍.ANSYS在機械與化工裝備中的應用［M］.北京:中國水利水電出版社,2006.

［5］ 徐亮，楊文濤.ADAMS建模與分析實例［M］.北京：化學工業出版社，2008.