高速電梯垂直振動建模與實驗分析

□ 吳 慧 □ 葉文華 □ 沈 言 □ 唐志榮

1.南京航空航天大學 機電學院 南京 210016

2.江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室 南京 210016

3.申龍電梯股份有限公司 江蘇蘇州 215213

隨著高速電梯迅猛發展，運行速度的提高對電梯的動態性能提出了更高的要求。電梯運行過程中產生的振動是影響電梯舒適性的重要因素，其中曳引機的旋轉失衡是最常見的振源之一。若曳引機的轉動頻率與電梯系統的某階固有頻率吻合或接近，在電梯實際運行中就可能發生共振。因而，在電梯設計及安裝時，比較精確地得到電梯系統的固有頻率，才能有效地防止電梯系統共振現象的發生。

張長友、朱昌明、武麗梅等人研究了普通電梯系統，但在建模時都忽略了張緊系統［1-2］,而在高速電梯中，張緊系統不僅補償對重和轎廂兩側的質量之差，也在保證電梯運行平穩中起著一定的作用，因而這種數學模型不適用于高速電梯的建模。劉?；?、王艷軍等人在考慮張緊系統的前提下，研究了高速電梯機械系統的振動［3-4］，但沒有考慮到鋼絲繩的質量對電梯系統動態性能的影響。實際上，當電梯行程超過50 m時，鋼絲繩質量就達到幾百千克，對電梯系統動態性能有較大影響，因而這種模型對于分析高速電梯也是不準確的。Roberts R等學者在建模時對曳引繩進行了考慮［5］，并將建立的電梯系統模型通過實驗得出的傳遞函數數據進行驗證。因此，考慮張緊系統和鋼絲繩，針對高速電梯系統的特點建立數學模型，對分析高速電梯系統的固有頻率和動態特性具有重要意義。

本文將考慮鋼絲繩的質量、張緊系統等以前研究中被忽略的因素，建立一個準確、適用于任何繞繩比為1∶1的電梯系統的垂直方向振動數學模型。

首先建立繞繩比為1∶1的電梯系統的15自由度垂直振動數學模型；然后推導其質量、剛度、阻尼矩陣；接著考慮電梯系統的時變性，將轎廂的行程離散化，利用Matlab編程求解電梯系統各階固有頻率隨載質量、提升高度的變化規律；最后通過模態實驗驗證建立的數學模型。

1 電梯系統動力學模型

電梯系統的曳引繩和補償繩通常采用45號鋼、65號鋼與纖維擰合而成。建模時，將曳引繩和補償繩都當作均質彈簧，對其進行離散化處理，處理方法是將兩點之間（曳引輪與轎架或對重之間、轎架與張緊系統或對重之間）的鋼絲繩等分為n段，分解為n+1個集中質量和n個彈性系數相同的無質量彈簧，如圖1所示，圖中m、k分別為兩點之間的曳引繩或補償繩的總質量、總剛度。離散后每段鋼絲繩剛度為總剛度的n倍，每個質點的質量是總質量的1/（n+1）倍。曳引繩、補償繩最末端質點質量直接疊加到鄰近的慣性部件（如曳引輪、張緊輪等）上去。

▲圖1 鋼絲繩簡化模型

利用材料力學相關公式可計算出h根鋼絲繩并聯時的總剛度［6］為：

k=（EA/L）×h （1）式中：L為鋼絲繩長度，m；E為彈性模量，Pa；A為橫截面積，m2。

理論上，鋼絲繩離散量愈大愈精確，經驗算求解，將鋼絲繩離散成不同段數時，對某電梯空載時處于最底層時的第一階固有頻率進行計算，可以得出：不考慮鋼絲繩時與考慮鋼絲繩時的固有頻率數值差別較大，在n≥3時，n的取值對結果影響很小。為此模型中體現出鋼絲繩的質量以及便于計算，同時保證精確度，在本文動力學模型中，將n取為3。另外考慮電梯系統涉及的彈性環節以及電梯系統的各組成部分質量，可以得到如圖2的電梯系統動力學模型。

圖2中各符號的物理意義說明如下：

▲圖2 電梯系統動力學模型

m1、I1、r1分 別 為曳引系統的等效質量、曳引輪和導向輪的等效轉動慣量和等效半徑；m2、m3、m4分別為對重等效質量、轎架及其附件等效質量、轎廂及其附件等效質量；k0、c0分別為曳引機底座橡膠的剛度與阻尼；kt、ct分別為曳引機的抗扭剛度與阻尼；kp、cp分別為張緊裝置阻尼器的剛度與阻尼；ks、cs分別為繩頭彈簧的剛度與阻尼；m5、I5、r5分別為張緊裝置的等效質量、張緊輪的等效轉動慣量、等效半徑；k4、c4分別為轎廂底部減振橡膠的等效剛度與阻尼分別為曳引輪與轎架之間的鋼絲繩的各分段等效質量、剛度和阻尼，其中計算得到；mr2、mr4、kr2、分別為曳引輪與對重之間鋼絲繩的各分段等效質量、剛度和阻尼，其中ks） 計算得到；分別為張緊裝置與對重之間鋼絲繩的各分段等效質量、剛度和阻計算得到；mc1、mc3、kc1、分別為張緊輪與轎架之間鋼絲繩的各分段等效質量、剛度和阻尼，其中ks）計算得到。

2 振動微分方程的建立

根據圖2所示電梯系統動力學模型，根據機械系統動力學［7］原理，利用拉格朗日方程，建立電梯系統15自由度耦合振動微分方程組，選取向上的振動位移和逆時針的振動角位移為正。

式中：［M］、［C］、［K］分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣與剛度矩陣；分別為系統的加速度、速度、位移以及外激勵向量；

F =｛F1，F2，F3，F4，F5，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0｝，F1、F2、F3、F4、F5分別表示曳引系統、對重、轎架、轎廂、張緊系統所受的外力 K、C見式（3）。

3 電梯系統固有頻率

在電梯動力學模型中，建立的運動微分方程組需體現在不同井道位置的轎廂的動態特性［8-9］。對電梯系統采用瞬時結構假定，將系統運動周期離散，以最底層為起點（位移為0），將轎廂從最底層到最高層的位移分為m個位移間隔。在每個分段位移內，可將原來的變系數微分方程轉化為常系數微分方程。

以某典型的高速電梯系統為例，性能參數見表1。電梯采用的曳引機是永磁同步曳引機，由主機直接帶動繩輪，無減速箱裝置，其轉動頻率為3.92 Hz，結合前文的理論分析，進行電梯系統的固有頻率的求解。

根據表1中的參數，求解可以得到：載重量為空載（0 kg）、半載（1 000 kg）、滿載（2 000 kg）時該電梯系統的固有頻率隨轎廂提升高度的變化曲線，如圖3所示，其中橫坐標為轎廂距離最底層的高度，縱坐標為系統各階固有頻率。

圖3顯示，該電梯系統的固有頻率具有以下特點：1）電梯系統的固有頻率不是一個固定值，而是隨著電梯提升高度、載重量的變化而變化；2）電梯系統的一階固有頻率的變化幾乎不受轎廂提升高度的影響；3）電梯系統的固有頻率一般隨著電梯載荷的增加而降低，但隨著固有頻率階數的增加，載荷對其影響減弱，尤其是五階和六階固有頻率，幾乎不受電梯載荷的影響；4）電梯的一階固有頻率（2.6～3 Hz）與曳引機的轉動頻率（3.92 Hz）比較接近，在實際電梯運行時，可能會有發生共振的趨勢。經進一步分析，當電梯系統轎廂空載時，其一階固有頻率最接近于曳引機的轉動頻率，因而應保證此情況下電梯系統不發生共振現象。

表1 電梯系統參數

4 實驗驗證

以上述高速電梯系統為研究對象進行實驗探究，利用便攜式數采前端、Test.Lab模態測試和分析軟件、激振器、加速度傳感器進行模態實驗。模態實驗主要有3種方法：力錘錘擊法、激振器法、工作模態法。分別在曳引機、曳引機底座、轎廂內壁、對重上設置加速度傳感器，利用激振器或者在轎廂和曳引機底座上進行激振，經多次實驗分析對比發現，相比力錘錘擊法和激振器法，工作模態法是通過在電梯運行過程中急停來將電梯系統激振起來，利用得到的信號互譜進行固有頻率的分析，能更好獲得響應信號，因而最終確定使用工作模態法進行實驗。

經過多次實驗發現，一階和二階固有頻率不會發生缺失，其主要原因是一階和二階固有頻率不易出現在其它頻率的混合區，從而不會被其它階固有頻率掩蓋。而且從第3章分析可以看出，空載時電梯一階固有頻率與電梯系統是否共振有著必然聯系。因而將實驗得到的電梯空載時的一階固有頻率與仿真得到的固有頻率進行比較。圖4可以看出，仿真曲線和實驗曲線基本吻合，從而證明用于仿真的數學模型的有效性；從實驗數據進一步驗證了將鋼絲繩離散成3段（n=3）建立數學模型的合理性。仿真數據與實驗數據出現差別的主要原因是：實驗中電梯裝在井道中，滾動導靴與導軌之間存在一定的接觸力，從而對其固有頻率有一定的影響。

▲圖3 某電梯系統各階固有頻率隨提升高度的變化情況

▲圖4 空載時一階固有頻率仿真與實驗對比

5 結論

考慮鋼絲繩及張緊系統等常被忽略的要素，建立了繞繩比為1∶1的電梯系統的15自由度數學模型；通過Matlab軟件編程獲得了某電梯系統固有頻率變化規律；進一步對電梯系統進行模態分析實驗，將仿真結果與實驗結果進行比較，驗證了數學模型的合理性。論文所提出的數學模型可以應用到其它繞繩比為1∶1的電梯系統中，這對于電梯系統設計、改進具有重要的應用價值。

［1］ 張長友,朱昌明.電梯系統動態固有頻率計算方法及減振策略［J］.系統仿真學報,2007,19（16）：3856-3859.

［2］ 武麗梅,鞏煜琰,李雪楓.曳引式電梯機械系統垂直振動動態特性分析［J］.機械設計與制造,2007（10）：16-18.

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