數學的分類討論思想

李立文

【摘 要】在解題過程中碰到一方面解析不了的問題時，我們就從多方面去討論問題了，這就是我們所說的分類討論思想。分類討論題型多變，但熟練掌握了基本初等函數、數列、立體幾何、概率、直線、圓錐曲線等的性質及導數的應用和常見不等式的解法，為我們解需要分類討論的綜合題提供了知識依托和解題思路，從而提高解此類題的速度和正確率，為考試贏得時間和分數，最終取得考試的勝利。

【關鍵詞】中學數學 解題分析

一直以來高考很重視對考生各科能力的考查，數學也不例外，掌握一定的解題思想和方法因此尤顯重要，好的解題方法對整個考試成敗起到至關重要的作用。數學中解題的方法很多，但常用的思想和方法必須掌握，例如分類討論、數形結合、轉化與化歸等，會經常用到。今天就分類討論思想的一些想法與大家交流與探索，拋磚引玉。

一 分類討論的原則

（1）每次分類的對象是確定的，標準是同一的；

分類討論問題的難點在于什么時候開始討論，即認識為什么要分類討論，又從幾方面開始討論，只有明確了討論原因，才能準確、恰當地進行分類與討論.這就要求我們準確掌握所用的概念、定理、定義，考慮問題要全面.函數問題中的定義域，方程問題中根之間的大小，直線與二次曲線位置關系中的判別式等等，常常是分類討論劃分的依據.

（2）每次分類的對象不遺漏、不重復、分層次、不越級討論.

當問題中出現多個不確定因素時，要以起主導作用的因素進行劃分，做到不重不漏，然后對劃分的每一類分別求解，再整合后得到一個完整的答案.數形結合是簡化分類討論的重要方法.

二 分類討論的一般步驟

第一，明確討論對象，確定對象的范圍；

第二，確定分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；

第三，逐類討論，獲得階段性結果；

第四，歸納總結，得出結論.

三 分類討論應注意的問題

第一，按主元分類的結果應求并集.

第二，按參數分類的結果要分類給出.

第三，分類討論是一種重要的解題策略，但這種分類討論的方法有時比較繁雜，若有可能，應盡量避免分類.

四 分類討論的常見情形

（1）由數學概念引起的分類討論：主要是指有的概念本身是分類的，在不同條件下有不同結論，則必須進行分類討論求解，如絕對值、直線斜率、指數函數、對數函數等.

（2）由性質、定理、公式引起的分類討論：有的數學定理、公式、性質是分類給出的，在不同條件下結論不一致，如二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）由a的正負而導致開口方向不確定，等比數列前n項和公式因公比q是否為1而導致公式的表達式不確定等.

（3）由某些數學式子變形引起的分類討論：有的數學式子本身是分類給出的，如ax2+bx+c>0，a<0，a>0解法是不同的。

（4）由圖形引起的分類討論：有的圖形的類型、位置也要分類，如角的終邊所在象限，點、線、面的位置關系等.

（5）由實際意義引起的討論：此類問題在應用題中常見.

（6）由參數變化引起的討論：所解問題含有參數時，必須對參數的不同取值進行分類討論；含有參數的數學問題中，參變量的不同取值，使得變形受限導致不同的結果。

五 高考中較難的幾類分類討論題型

對于常見的含參數基本初等函數及不等式等的分類討論這里就不再一一舉例說明了，下面著重探討一下高考中較難的幾個考點的分類討論題型（主要是高考的倒數1、2、3、解答題，即壓軸性題型）。

類型一：非基本初等函數中的分類討論

例題1、已知函數f（x）=λx2+λx，g（x）=λx+1nx，h（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0。

（1）當λ=-1時，求函數g（x）的最大值

（2）求函數h（x）的單調區間

（3）設函數φ（x）=若對任意給定的非零實數x，存在非零實數t（t≠x），使得φ（x）=φ`（t）成立，求實數λ的取值范圍.

思路點撥：（2）中由于參數λ的存在，必須討論λ取值不同時的h`（x）>0和h`（x）<0情況。（3）由于是分段函數，故要對自變量x進行分類討論。

解：⑴當時，g（x）=1nx-x，（x>0）g∴g`（x）-1=，（x>0）

令g`（x）=0，則x=1，∴g（x）=1nx-x在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減g（x）msx=g（1）=-1

（2）h（x）=λx2+2λx+1nx，h`（x）2λx+2λ+=

，（x>0）

∴當λ>0時，h`（x）>0，∴函數h（x）的增區間為（1，+∞），

當λ<0時，h`（x）=，

當時，h`（x）<0，函數h（x）是減函數；

當時，h`（x）>0，函數h（x）是增函數。

綜上得，

當λ>0時，h（x）的增區間為（0，+∞）；

當λ<0時，h（x）的增區間為（0，），減區

間為（，∞）

⑶當x>0，φ`（x）=λ+在（0，+∞）上是減函數，此時φ`（x）的取值集合A=（λ，+∞）；

當x<0時，φ`（x）=2λ+λ，

若λ>0時，φ`（x）在（-∞，0）上是增函數，此時φ`（x）的取值集合B=（λ，+∞）；

若λ<0時，φ`（x）在（-∞，0）上是減函數，此時φ`（x）的取值集合B=（λ，+∞）。

對任意給定的非零實數x，

①當x>0時，∵φ`（x）在（0+∞）上是減函數，則在（0+∞）上不存在實數t（t≠x），使得φ`（x）=φ`（t），則t∈（-∞，0），要在（-∞，0）上存在非零實數t（t≠x），使得φ`（x）=φ`（t）成立，必定有A∈B，∴λ<0；

②當x<0時，φ`（x）=2λx+λ在（-∞，0）時是單調函數，則t∈（∞，+0），要在（0，+∞）上存在非零實數t（t≠x），使得φ`（x）=φ`（t）成立，必定有B∈A，∴λ<0。

綜上得，實數 的取值范圍為（-∞，0）。

總結升華：利用導數求函數的極大（?。┲?，求函數在連續區間[a，b]上的最大最小值，或利用求導法解決一些實際應用問題是函數內容的繼續與延伸，這種解決問題的方法使復雜問題變得簡單化，因而已逐漸成為新高考的又一熱點，熟練掌握導數的應用是解此類題的關鍵。

對于非基本初等函數而言，若含參數時求單調區間、求最值、恒成立求取值范圍等，一般用導數來研究的。對參數討論時，其標準是看導數是否能恒大于零或者恒小于零，或者看導數等于零的根是否屬于定義域分情況討論；對于分段函數求最值問題時，要對每段進行討論，然后總結出結論。對于基本初等函數，分類討論時不必用導數來研究，掌握基本初等函數本身性質即可。

類型二：含參數數列的分類討論

例題2、對于給定數列，如果存在實常數p，q，使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立，我們稱數列是“M類數列”.

（I）若an=2n，bn=3·2n，n∈N*，數列、是否為“M類數列”？

若是，指出它對應的實常數p，q，若不是，請說明理由；

（II）若數列滿足a1=2，an+an+1=3t·2n（n∈N*），t為常數.

（1） 求數列前2009項的和；

（2） 是否存在實數t，使得數列是“M類數列”，如果存在，求出t；如果不存在，說明理由.

思路點撥：此題是以數列為背景的情境模式題，理解題目給出的概念和性質是解題的關鍵。同時（II）中的（2）小題是探索性問題，常常會對參數進行分類說明。

解：（I）因為an=2n則有an+1=an+1，n∈N*

故數列是“M類數列”，對應的實常數分別為1，2

因為bn=3·2n，則有bn+1=2bn，n∈N*

故數列是“M類數列”，對應的實常數分別為2，0

（II）（1）因為an+an+1=3t·2n（n∈N*）則有a2+a3=3t·22，a4+a5=3t·24，a2006+a2007=3t·22006，a2008+a2009=3t·22008

故數列前M項的和

S2009=a1+（a2+a3）+（a4+a4）+……+（a2006+a2007）+（a2008+a2009）

=2+3t·22+3t·24+……+3t·22006+3t·22008=2+t（22010-4）

若數列是“M類數列”，則存在實常數

使得an+1=pan+q對于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q對于任意n∈N*都成立，因此（an+1+a n+2）=p（an+a n+1）+2q對于任意n∈N*都成立，而an+a n+1=3t·2n（n∈N*），且a n+1+a n+2=3t·2 n+1（n∈N*）則有3t·2 n+1=3t·p2n+2q對于任意n∈N*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0

①當p=2，q=0時，a n+1=2an，an=2n，t=1，經檢驗滿足條件.

②當t=0，q=0時，a n+1=-an，a n=2（-1）n-1，p=-1經檢驗滿足條件.

因此當且僅當t=1或t=0，時，數列也是“M類數列”.對應的實常數分別為2，O或-1，0

總結升華：縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數列的試題出現的頻率較高，不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯系，而且還與三角、立體幾何密切相關；數列作為特殊的函數，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養老保險，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善于觀察題設的特征，聯想有關數學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數列題的速度.

對于數列本身而言，有時要對奇數項和偶數項進行討論，等比數列的公比q=1和q≠1討論，對第一項和第一項以后的項討論；對于含參數的數列而言，在求出參數值時，要對所有可能取值討論；對于探索存在性的數列而言，有時根據題目給定的條件從多方面考慮它的存在性，盡管有些情況不存在，但也要去探索，這樣解題才算完整。

類型三：解析幾何問題的分類討論

例題3、已知向量

.

（Ⅰ）求點Q（x，y）的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設曲線C與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N，又點A（0，-1），當=時，求實數m的取值范圍。

思路點撥：此題以平面向量為載體得出軌跡方程；（Ⅱ）中先是由直線與圓錐曲線的位置關系得到 與 的整體關系式，再通過討論直線中的參數 的取值（當斜率存在時一般討論斜率k=0和k≠0）進而得出 的取值范圍。

解：（Ⅰ），，，所以，

即，化簡得，

所以Q點的軌跡C的方程為

（II）由得

，

由于直線與橢圓有兩個不同的交點，，即①

（1）當k≠0時，設弦MN的中點為p（xp，yp），xM、xN

分別為點M、N的橫坐標，則

又②.

將②代入①得2m>m2，解得0

0，解得m>

故所求的m取值范圍是（，2）

（2）當k=0時，=，∴AP⊥MN，m2<3k2+1，解得-1

所以當k≠0時，m的取值范圍是（，2）

當k=0時，m的取值范圍是（-1，1）。

總結升華：圓錐曲線將幾何與代數進行了完美結合借助純代數的解決手段研究曲線的概念和性質及直線與圓錐曲線的位置關系是高考的熱點、重點和難點所在；加強直線與圓錐曲線的位置關系問題的復習此處一直為高考的熱點這類問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數形結合思想和設而不求法與弦長公式及韋達定理聯系去解決

當碰到含參數的曲線或直線時，要利用數形結合思想找到符合條件的多種情況的解，針對每種情況要做具體的討論方能解答完整。一般討論角度為：（1）直線的斜率存在與不存在；斜率存在時要分斜率等于零和不等于零；這兩種可歸結為特殊直線（垂直于坐標軸的直線）和非特殊直線。（2）含參數的圓錐曲線的探索存在性問題要對參數取不同值時所表示的不同軌跡所具有的性質進行討論（橢圓的性質，雙曲線的性質，拋物線的性質）