不定方程y3＝x2＋260642的全部整數解

劉 建，馮 蕾

（延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000）

不定方程y3＝x2＋260642的全部整數解

劉 建，馮 蕾

（延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000）

借助于平方剩余的理論縮小解的范圍，并且運用同余式、二次剩余及一些簡單的初等方法，證明了不定方程y3＝x2＋260642僅有整數解（x，y）＝（±1265，123）。

不定方程；初等方法；整數解

1 引言

2 相關引理

引理1不定方程

僅有整數解（a，b）＝（±11，1）。

證明：由（1）可知，b｜361，故b只可能取±1，±19，±361。逐次驗算：當b＝1時，不定方程（1）可化為3a2×1－2×13＝361，此時a＝±11；當b＝－1時，不定方程（1）可化為3a2×（－1）－2×（－1）3＝361，此時無解；當b＝19時，不定方程（1）可化為3a2×19－2×193＝361，此時無解；當b＝－19時，不定方程（1）可化為3a2×（－19）－2×（－19）3＝361，此時無解；當b＝361時，不定方程（1）可化為3a2×361－2×3613＝361，此時無解；當b＝－361時，不定方程（1）可化為3a2×（－361）－2×（－361）3＝361，此時無解。綜上，該不定方程的整數解是（a，b）＝（±11，1）。

類似地可以證明引理2。

引理2不定方程

僅有整數解（a，b）＝（±11，－1）。

引理3 不定方程

滿足條件（x，y）＝1的一切整數解為

證明：請參考文獻［3－7］。

3 主要結論及其證明

定理不定方程

僅有整數解（x，y）＝（±1265，123）。

若3a2b－2b3＝361，則由引理1知，a＝±11，b＝1代入（9）式得x＝±1265，y＝123。

若3a2b－2b3＝－361，則由引理2知，a＝±11，b＝－1代入（9）式得x＝±1265，y＝123。

綜上所述，不定方程（4）僅有整數解（x，y）＝（±1265，123）。

［1］柯召，孫琦.談談不定方程［M］.上海：上海教育出版社，1980：45－61.

［2］李偉.不定方程y3＝x2＋2的初等解法［J］.四川大學學報（自然科學版），1997，1（34）：16－19.

［3］管訓貴.不定方程y3＝x2＋1250的全部整數解［J］.河北北方學院學報（自然科學版），2011，27（4）：18－19.

［4］潘承洞，潘承彪.代數數論［M］.山東：山東大學出版社，2001：149－160.

［5］管訓貴.不定方程x2－py2＝z2的正整數解［J］.河北北方學院學報（自然科學版），2009，25（5）：5－7.

［6］管訓貴.關于不定方程x2＋（p－1）y2＝pz2［J］.河北北方學院學報（自然科學版），2010，26（1）：12－14.

［7］管訓貴.關于Diophantine方程y2＝px（x2＋2）［J］.北京教育學院學報（自然科學版），2011，6（1）：1－2.

［責任編輯 畢 偉］

All Integeral Solutions of Diophantine Equation y3＝x2＋260642

LIU JIAN，FENG LEI
（College of Mathematics and Computer Science，Yanan University，Yanan 716000，China）

With the same square residual theory the scale of the solutions are reduced and bymeans of Congruence，quadratic residue and some of the simple elementary method，the diophantine equation y3＝x2＋260642is proved only integer solutions（x，y）＝（±1265，123）.

diophantine equation；elementarymethod；integral solution

O156.4

A

1004－602X（2014）04－0004－02

10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.04.004

2014-10-28

陜西省教育廳科研計劃資助項目（2013JK0557）；延安大學自然科學專項基金項目（YDZ2013－05）；延安大學研究生教育創新計劃項目

劉 建（1989—），女，陜西綏德人，延安大學在讀碩士研究生。