基于泰勒展開的結構響應面方法

郭 明， 柴 山, 劉金釗

(山東理工大學 交通與車輛工程學院， 山東 淄博 255091)

1 預備知識

結構優化設計問題的數學模型一般形式為

findX=[x1,x2,…，xn]T∈Rn

minf(X)=f(x1,x2,…,xn)

s.t.σil≤[σ]i

(i=1,2,…,n；l=1,2,…,N)

(1)

?

其中X為設計變量；f(X)為目標函數；σil及δlk分別為應力約束條件和位移約束條件.

在一個結構設計方案中,全部變量可分為三種類型,即設計變量、性能變量和中間變量.

1)設計變量是結構優化設計中的自變量，通常由設計者主動選擇.

2)性能變量是結構的各種性態變量,例如應力、位移、自振頻率等等,是設計變量的因變量,設計者不能直接選出所需要的性態變量,而只能靠結構分析來描述.

3)中間變量是由設計變量求性態變量運算中的一些量.例如單元的應力是一個性態變量,求應力時所需的內力就是一個中間變量.

一般說來，在結構優化設計數學模型中，目標函數是設計者關心的目標與設計變量相關的函數，而約束條件是對性能變量的某些限制，是性能變量的函數[1].在有限元方程中，剛度矩陣、質量矩陣、阻尼矩陣是設計變量的函數，而應力、位移這些性能變量是要通過求解有限元方程求得的，因而是設計變量的隱函數.一般的數學規劃問題的目標函數和約束條件都是設計變量的顯函數，結構優化設計數學模型中約束條件是設計變量的隱函數，這也是結構優化設計問題區別于一般的數學規劃問題的一個重要特點，由于這一特點，大大增加了結構優化設計問題的復雜性，增加了求解難度.

要解決結構優化設計數學模型中約束條件是設計變量的隱函數的問題，就必須進行約束條件的顯式化，響應面方法是最常用的顯式化方法.響應面方法最初由Box和Wilson于1951年提出[2]，其基本思想是通過一系列確定性實驗，用多項式函數來近似隱式極限狀態函數.通過合理地選取試驗點和迭代策略，來保證多項式函數能夠逼近于真實的隱式極限狀態函數.當系統變量和系統輸出響應以某種隱含的方式存在時，RSM無疑提供了一種近似表達這種隱含關系的合適手段.RSM方法在統計數據處理、工業過程控制和可靠度分析等領域已為人們所熟知，近幾年在結構優化中也逐步得到了廣泛的應用.1995年，Myers和Montgomery對響應面的及其應用進行了全面的闡述，并把響應面方法定義為“一種用于開發、改進、優化的統計和數學方法”[3].如今，響應面方法廣泛用于優化設計中，即通過合理的試驗設計方法構建目標函數、約束函數和設計變量之間的近似函數[4].

由于傳統的多項式基響應面是應用最小二乘法建立的逼近函數，在某些問題中其擬合精度偏低.本文在結合桁架結構優化設計問題，分析傳統多項式響應面法及其擬合精度的基礎上，提出了基于泰勒展開的響應面法，可以有效地提高在展開點附近響應面的擬合精度，這對于結構優化設計非常有利.

2 傳統多項式基響應面方法及其擬合精度分析

2.1 傳統多項式基響應面算法簡介

常用的多項式基響應面法的形式有下面幾種:

線性型

(2)

二次型

(3)

完整二次型(含交叉項)

(4)

(5)

每次試驗的表達式可統一寫成如下矩陣形式

Y=Xβ+ε

(6)

其中

系數向量的無偏估計β可由最小二乘法獲得，即令每次試驗的誤差平方和δ為最小

δ=εTε=(Y-Xβ)T(Y-Xβ)→min

(7)

β=(XTX)-1XTY

(8)

2.2 多項式基響應面算法的精度分析

利用多項式基響應面方法進行顯式化時，響應面的擬合的精度是要考慮的，文中用幾個簡單的算例對多項式基響應面方法的擬合精度進行探討.本文主要討論的是桁架結構，選取桁架結構的截面積為設計變量，截面積變化范圍為0.01m2～0.05m2，且截面均為圓截面，彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比為0.3，以節點的位移為結構的響應.

算例1 以最簡單的二桿桁架為例,二桿桁架結構如圖1所示.

圖1 二桿桁架結構

通過結構力學求得的二桿桁架的節點A沿力F方向的位移解析解如下：

利用多項式基響應面求解的A節點的近似響應值與真實響應值之間的相對誤差和以及響應面形式的選擇情況見表1.

表1 二桿桁架的擬合精度及響應面形式的選擇 %

算例2 分析一個超靜定的六桿桁架的例子，六桿桁架的結構如圖2所示[6].

圖2 六桿桁架結構

六桿桁架節點B沿力F方向的位移的解析解為

利用多項式基響應面求解B節點的近似響應值與真實響應值之間的相對誤差和以及響應面形式的選擇情況見表2.

表2 六桿桁架的擬合精度及響應面形式的選擇 %

由表1和表2可以看出，利用多項式基響應面方法對桁架結構的位移進行擬合時，線性形式的響應面在檢驗點處相對誤都較大，不能夠滿足足夠的逼近；二次形式的響應面在檢驗點處計算精度雖然有所提高，但是誤差也很大；靜定結構增加交叉項對擬合的結果影響很小，超靜定結構增加交叉項后精度有所提高，但是也不能滿足實際需求.

3 基于泰勒展開的響應面方法

(9)

若線性形式的基于泰勒展開的響應面方程不能滿足精度的要求，則可增加高階形式的差分來進行補充構建響應面函數，根據工程經驗和大量的資料分析可知，多元的二階泰勒展開形式就能很好的滿足實際需要，基于多元泰勒展開形式的二次響應面公式.

(10)

其中：若式(10)中不含混合的二階偏導數，則稱該展開為二次形式展開，若式(10)中含有混合的二階偏導數，則稱為完整二次形式展開.

寫成矩陣形式為

S=S0+[S0]T(x-x0)+

其中H為海森矩陣

在差分網格圖3中，Si,j，Si+1,j，…,Si-1,j-1,Si+1,j-1，分別表示節點(i,j)，(i+1,j)，…，(i-1,j-1)，(i+1,j-1)處性能函數S的響應值，若以節點(i,j)為展開點，則上述各式中偏導數的求解公式如下：

圖3 差分的網格圖

一階偏導數：

(11)

二階偏導數：

(12)

混合的二階偏導數：

(Si+1,j+1+Si-1,j-1)]

(13)

對超靜定結構利用基于泰勒展開的響應面進行分析時，超靜定結構的響應S(內力、應力、位移、固有頻率、振型以及失穩波形)等都是隨設計變量X而變化的，是設計變量的函數[7].將S在X0處進行多元泰勒展開，得到型如式(10)形式的多元泰勒展開式.對于梁、桿、板、殼這類單元，其應力可由內力與截面幾何性質的關系式求出，而截面幾何性質就是設計變量，因此只要求得內力，就可以得到應力約束的顯函數表達式.

4 算例驗證

為了驗證基于泰勒展開的響應面方法的求解精

度，這里主要分析第一節中介紹的算例.

4.1 二桿靜定桁架

我們選擇在設計變量的中心點處進行泰勒展開得到如式(10)形式的基于泰勒展開的顯式化的響應面方程;對構建的響應面方程進行精度檢驗時，選擇在各設計變量的相鄰節點附近進行精度的驗算，利用基于泰勒展開的響應面法求解的結果與通過結構的解析解求得結果的相對誤差見表3.

表3 二桿桁架的泰勒展開形式及檢驗點處的相對誤差%

由表3可以看出利用線性形式的泰勒展開求解的精度較差，增加了二階泰勒展開的響應面求解的精度有所提高，增加了二次交叉項的泰勒展開的響應面驗算點處求解的精度變化不大，平均相對誤差可以控制在2%左右，驗算點處的精度能夠滿足工程實際的需要，可認為求解結果是準確的，同時與表1對比分析可知基于泰勒展開的響應面方法求解的精度比利用傳統多項式基響應面方法求解的精度有了明顯的提高，因此可以構建二次形式的基于泰勒展開的響應面方程，實現該結構的隱函數的顯示化.

4.2 六桿超靜定桁架

利用基于泰勒展開的響應面法求解驗算點的結果與通過結構的解析解求得結果的相對誤差見表4.

表4 六桿桁架的泰勒展開形式及檢驗點處的相對誤差%

由表4可以看出來，增加了二階泰勒展開的二次型和完整二次型的響應面方法，求解的精度比線性展開的形式有所提高，基本能夠保證工程實際的需要；同時與表2對比分析可知基于泰勒展開的響應面方法求解的精度比利用傳統多項式基響應面方法求解的精度有了明顯的提高.因此可以構建含交叉項的完整二次形式的基于泰勒展開的響應面方程，實現該結構的隱函數的顯示化.

傳統的響應面方法本質上是在零點作泰勒展開，而文中提出的方法是在設計變量的中間值做泰勒展開，因此擬合精度會比傳統方法高；同時通過數據的變化趨勢分析可知越遠離展開點相對誤差越大，本文的方法是在一個較小的區域內才能獲得較好的精度，此時可采用文獻[4]中介紹的運動極限的計算方法給出運動極限的粗估，并限制泰勒展開的步長來保證解的有效性和準確性.

5 結論

1)通過桁架算例分析表明傳統多項式基響應面在處理桁架問題時擬合精度較差.

2)基于傳統多項式基響應面算法存在的問題，提出了基于泰勒展開的響應面方法,并通過區域網格劃分和差分公式的推導給出了該算法中各階偏導數的求解公式.

3)通過桁架結構的算例分析，驗證了本文提出的基于泰勒展開的響應面方法，能夠有效地提高桁架結構的位移求解精度問題，并通過運動極限的合理設置能夠高質量的實現桁架結構優化設計中隱函數的顯式化.

[1] 孫煥純,柴山,王躍方,等.離散變量結構優化設計[M].大連：大連理工大學出版社，2001.

[2] Box G E P,Wilson K B.On the experimental attainment of optimum conditions (with discussion)[J]. Journal of Royal Statistical Society,1951,13(1):1-45.

[3] Myers R H,Montgomery D C. Response surface methodology: process and product optimization using designed experiments, [M].New York:John Wiley&Sons,Inc,1995.

[4] 隋允康,宇慧平.響應面方法的改進及其對工程優化的應用[M].北京：科學出版社，2011.

[5] 隋允康,張立新,杜家政.基于響應面方法的桁架截面敏度分析和優化[J].力學季刊,2006,27(1):96-102.

[6] 李廉錕.結構力學[M].北京：高等教育出版社.2004.

[7] 錢令希.工程結構優化設計[M].北京:水利電力出版社.1983.