兩正態分布總體變異系數差的區間估計

張 千, 李新民

(1.山東理工大學 理學院， 山東 淄博 255091; 2.青島大學 數學科學學院， 山東 青島 266000)

對區間估計的一般方法是頻率方法，此方法只能在一些簡單情形下才能對參數和參數函數給出精確的置信區間，在大量較復雜的情形下，只能利用大樣本理論，或自助法，鞍點逼近等方法構造近似區間估計．Bayes方法也可用于區間估計，但前提是需要參數的先驗分布，并且不同的先驗分布給出不同的Bayes區間，而且一般它不是頻率意義下的置信區間，即其覆蓋率不等于要求的置信水平．本文采用Fiducial推斷[1]方法，這類方法不需要先驗分布，而是根據數據給出與參數的后驗分布有相同作用的Fiducial分布．它由Fisher[2]首先提出并研究．其后有不少統計學者對之進行討論． David和Stone[3]討論了在函數模型下求Fiducial分布的一般方法及有關的推斷．Barnard[4]基于樞軸模型研究了Fiducial推斷．雖然該類方法未能形成理論體系，但在一些頻率方法無法解決，而又沒有合適的先驗分布的具體問題上，用Fiducial方法給出合理可行的答案，仍很有意義． Weerahandi[5]提出了廣義樞軸量和廣義區間估計的概念，并通過一些實例進行研究，但并未提出如何構造廣義樞軸變量．李新民和李國英利用Fiducial推斷方法給出了構造方差分量的線性函數的廣義區間估計的一種方法．最近Hannig[6]等也討論了利用Fiducial推斷方法構造廣義區間估計，并把所得區間估計稱為Fiducial廣義區間估計．最近李新民等給出了限制參數空間上求參數Fiducial區間的一般方法，并將之應用于一些模型．徐興忠和李國英在樞軸分布族中給出了構造參數Fiducial分布的一般方法．李新民和李國英[7]利用廣義推斷法給出了非平衡設計中方差因素和的置信區間，并且說明了通過Fiducial推斷方法很容易構造廣義樞軸量．Bootstrap[8]方法是由美國斯坦福大學統計學教授Efron首先提出的，該方法通過對樣本的經驗分布進行隨機再抽樣、得到Bootstrap子樣本，然后再進行統計量的估計。該方法不僅對于很多統計量已被證明滿足大樣本的相合性，而且對于小樣本分析，更具有其不可替代的優越性。

1 參數Bootstrap區間估計

對于多元正態分布總體，Xi=(Xi1,Xi2，…，Xini)(i=1,2)為取自正態分布總體N(μi,σi)的樣本，其中，ni(i=1,2)為第i個樣本的樣本容量．變異系數為

易知

根據參數Bootstrap方法[4]，用樣本均值和方差分別代替總體均值和方差，得到

可以推得

其中Z為標準正態分布隨機變量．

用參數自助法計算基本步驟如下：

(2)運用Monte-Carlo模擬法，生成一個樣本容量ni的Bootstrap樣本．

(4)重復上述(2)-(3)步驟n次(一般大于1 000)．

(5)將θB(j)進行升序排列．

2 Fiducial區間估計

Tsui和Weerahandi[9]及Weerahandi[10]提出了廣義推斷的概念．設隨機變量X的概率分布Pη(·)，η=(θ,δ)為參數空間Ω上的未知參數，θ=θ(η)為所關心的實值參數函數，δ為討厭參數，記Θ為θ的參數空間，x為X的觀測值．

定義1[5]記R=R(X;x,η)為X和x及η=(θ,δ)的函數．如果R滿足以下性質：

(1)R的分布與未知參數無關.

(2)r=R(x;x,η)不依賴于討厭參數δ.

則稱R為廣義樞軸量．

定義2[6]設存在空間ε上的隨機變量E，它的分布已知，并且存在從Ω×ε到χ上的函數h(η,e)，使得當參數為η時，X=h(η,E)．

對一切η∈Ω成立．進一步，若對任意x∈χ和e∈ε，方程x=h(η,e)在Ω上有惟一解，記為ηx(e)．于是

(1)ηx(E)的分布稱為η的分布.

(2)θ(ηx(E))的分布稱為θ=θ(η)的(邊際)分布．

由定義2，從參數θ的Fiducial分布

Fx(θ)=Pr(θ(ηx(E))≤θ)．

易知0≤Fx(θ)≤1，并且Fx(θ)關于θ非減，于是可得到參數的Fiducial區間．

可知COVi的分布與未知參數無關，另一方面，COVi的觀測值為

不依賴于討厭參數，所以COVi為廣義樞軸量．

利用廣義推斷方法,具體的模擬步驟如下：

(2)隨機產生F1,F2的樣本f1,f2．

(4)重復上述(2)-(3)步驟n次(一般大于1 000)．

(5)將θG(j)(j=1,2,…，N)進行升序排列．

3 實例模擬

3.1 兩總體方差相同下的實例模擬

從表1中可以看出，當方差相同時,均值無論怎

表1 模擬組數相同且方差相同下的精度

么變化，廣義推斷法的覆蓋率比較穩定，并在95%左右,而參數Bootstrap方法的覆蓋率一般小于95%且不穩定，所以廣義推斷法較好．

3.2 兩總體方差均值不同下的實例模擬

表2 模擬組數相同且均值方差都不同下的精度

從表2中可以看出，當均值和方差任意取值時，廣義推斷法覆蓋率比較穩定，并且覆蓋率接近95%，效果較好．

綜上知，廣義推斷法要優于參數Bootstrap方法．

[1] 李新民，徐興忠，李國英.廣義P值的Fiducial推斷[J].中國科學A輯:數學，2007, 37(6): 733- 741.

[2] Fisher R A. Inverse probability[J]. Mathematical proceedings of the Cambridge Philosophical Society,1930, 26: 528-535.

[3] Dawid A P, Stone M. The functional model basis of fiducial inference[J].Ann Statist,1982, 10 (4):1054-1067.

[4] Barnard G A. Pivotal models and the fiducial argument[J]. Int Statist Rev, 1995, 63:309-323.

[5] Weerahandi S. Generalized confidence intervals[J]. Journal of the American Statistical Association, 1993, 88:899-905.

[6] Hannig J. On generalized fiducial inference[J]. Statistica Sinica, 2009, 19:491-544.

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[9] Tsui K, Weerahandi S. Generalized p-values in significance testing of hypotheses in the presence of nuisance parameters[J]. Journal of the American Statistical Association, 1989, 84: 602-607.

[10] Weerahandi S.Generalized confidence intervals[J]. Journal of the American Statistical Association, 1993,88:899-905.