何巧玲, 阿布都熱西提·阿布都外力
(新疆大學 數學與系統科學學院, 新疆 烏魯木齊 830046)
考慮熱傳導方程
(1)
式中:u=u(x,t)是擴散過程中某種物質的濃度,或者固體產熱過程中在x處t時刻的溫度;f(x),g(t),h(t)是已知函數.
(2)
熱傳導方程的顯示格式為
即得
(3)
由(3)式可得
(4)
(1)1 (5) 此法為熱傳導方程顯示的五點差分格式. 即 即 (1+r)vn+1=[r2cos2kh+2(r-r2)coskh+1-r+r2]vn 令coskh=t,t∈[-1,1],則 (1+r)vn+1=(2r2t2+2(r-r2)t+1-r)vn 于是格式(5)的穩定性條件為r≤3. 證明格式(5)U(xj,tn)在(xj,tn)對時間變量t進行泰勒展開 (6) 對定解問題 (i)τ=0.008,h=0.0 167,從圖(1)可以看到C-N格式(2)雖然是無條件穩定的,但在不連續的邊界附近有振動.當然,理論上講,C-N格式對某些參數的選取會出現計算不穩定、編程復雜、計算量大等缺點. (ii)τ=0.008,h=0.0 334,從圖(2)可以看到修正C-N格式(5)滿足穩定性條件為r≤3,在不連續的邊界附近圖像很光滑且沒有任何振動,修正C-N格式不會出現不穩定的現象,節省計算工作量而且利用格式本身就可以計算出第一時間層上的值,這就克服了隱格式解線性方程組的缺點.求解熱傳導方程的顯修正C-N格式豐富了數值求解熱傳導方程的理論方法. 圖1 t=0.01時,C-N格式的計算結果和準確值比較 圖2 t=0.01時,修正C-N格式的計算結果和準確值比較 本文提出了一種修正Crank-Nicolson法,是r≤3顯格方法.結果表明,該方法具有計算簡單、穩定性好的優點,是求解熱傳導方程的有效實用方法. [1] 李德元,晨光南.拋物型方程差分方法引論[M].北京:科學出版社,1995. [2] 熱米娜·沙比爾,阿布都熱西提·阿布都外力.對熱傳導方程近似解在邊界附近的變化研究[J]首都師范大學學報:自然科學版,2013,34(2):10-13. [3] Harwood R C,Zhang L K,Vogel G M,etal.Oscillation-free operator splitting method for semilinear diffusion equations[J].Journal of Applied Mathematics and Computation,2013,18(7):7-18. [4] 馮青華.四階拋物方程的一類交替分組方法[J].山東大學學報:理學版,2007,42(8):79-82. [5] 左進明,張天德.五階色散KdV方程的交替分段顯-隱差分格式[J].山東大學學報:理學版,2010,45(10):116-121. [6] 陸金莆,關治編.偏微分方程數值解法[M].3版.北京:清華大學出版社,2003.3 五點差分格式的穩定性
4 關于收斂性定理
5 數值實驗