高 云, 常星星, 肖 凌
(山東理工大學 理學院, 山東 淄博 255091)
近十年來,碼的各種距離分布[1-3]及重量分布成為編碼理論的研究熱點之一. 碼的距離分布能確定各種譯碼程序(如極大似然譯碼,誤差檢測等)的譯碼誤差的概率,可以反映碼的一些結構性質,并且能判斷一些給定參數的碼是否存在.1997年,萬哲先[4]給出二元碼距離分布的MacWilliams變換.2013年Huffman在文獻[5]中給出擴域Fqt上的Fq-線性碼的跡內積,對偶碼,重量計數器,完全重量計數器,MacWilliams等式及Gleason多項式等問題.但目前還沒有看到有關q元碼距離分布的MacWilliams變換的研究.本文將[4]中二元碼距離分布的MacWilliams變換理論推廣到任意q元碼.本文章列出Krawtchouk多項式的定義和部分性質,利用p次本原單位根給出Krawtchouk多項式值Kk(i)的另一種表達式,再利用此表達式給出q元碼C的距離分布和重量分布的刻畫.
設n為固定的正整數,q為一素數方冪,x為不定元,則
例1由Krawtchouk多項式的定義及三項遞推式得:K0(x)=1,
K1(x)=nq-n-qx,
(1)
其中
并且
依此類推,得到
利用Kk(i)的上述表達式,可得到q元碼C距離分布的MacWilliams變換的性質.
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