相空間中含時滯的非保守力學系統的Noether定理*

金世欣,張 毅

(1．蘇州科技學院 數理學院，江蘇 蘇州 215009；2．蘇州科技學院 土木工程學院，江蘇 蘇州 215009)

時滯現象普遍存在于自然界和工程實際中，從自然界到人類社會，從自然科學、工程技術到社會科學，時間滯后現象無處不在[1]。即使一個很簡單的問題，一旦考慮時滯的影響，就使得動力學行為變得更為復雜，也更為接近力學本質[1-3]。而力學系統的對稱性對其動力學行為及其基本性質都具有深刻的影響，從基本理論到具體應用都顯示出對稱性的極端重要性[4-16]?？紤]含時滯的變分問題的研究可追溯到El’sgol’c[17]的工作；1968年，Hughes[18]討論了含時滯的變分和最優控制問題，建立了含時滯的Euler-Lagrange方程；隨后，Palm和Schmitendorf[19]，Rosenblueth[20]，Chan和Yung[21]以及Lee和Yung[22]對含時滯的變分問題做了進一步的研究。然而，含時滯的變分對稱性與守恒量的研究才剛剛開始。2012年，Frederico和Torres[23]首次討論了含時滯的變分和最優控制問題的Noether對稱性，得到了含時滯的Euler-Lagrange方程以及含時滯的最優控制問題的Hamilton正則方程，并討論了含時滯的Lagrange系統和最優控制Hamilton系統在點變換下的Noether對稱性與守恒量。2013年，張毅和金世欣[24-25]研究了含時滯的非保守系統動力學的Noether理論，建立了含時滯的非保守系統的Lagrange方程，給出了含時滯的Noether對稱變換、準對稱變換以及廣義準對稱變換的定義和判據，建立了在速度依賴的無限小群變換下含時滯的非保守力學系統的Noether理論，并將其進一步推廣到含時滯的Hamilton系統的Noether對稱性與守恒量。

本文進一步研究相空間中含時滯的非保守力學系統的Noether對稱性與守恒量。給出相空間中含時滯的非保守系統的Hamilton原理，建立含時滯的非保守系統的Hamilton正則方程；在依賴于廣義速度的無限小群變換下，給出含時滯的Hamilton作用量的變分公式，建立相空間中含時滯的非保守力學系統的Noether廣義準對稱變換的定義和判據；研究含時滯的Noether廣義準對稱性與守恒量之間的聯系，得到相空間中含時滯的非保守力學系統的Noether定理。

1 含時滯的非保守系統的Hamilton正則方程

設力學系統的位形由n個廣義坐標qs(s=1,2,…,n)來確定，考慮系統具有時滯，其Lagrange函數為[24]

(1)

引進含時滯的廣義動量和Hamilton函數

(s=1,2,…,n)

(2)

H=H(t,ps,qs,psτ,qsτ)=

(3)

含時滯的非保守系統的Hamilton原理為

(4)

qs(t)=δs(t),t1-τ≤t≤t1

(5)

qs(t)=qs(t2),t=t2,(s=1,2,…,n)

(6)

其中時滯常量τ

(7)

進行變量替換t=θ+τ，并考慮條件(5)，有

(8)

將(8)式代入(7)式，得到

(9)

利用分部積分計算，并考慮邊界條件(5)和(6)，得

(10)

以及

(11)

將式(10)和(11)代入式(9)，得到

(12)

將式(3)兩邊對廣義動量求偏導數，得到

t1≤t≤t2-τ,

(13)

ps(t)+psτ(t+τ)-

t1≤t≤t2-τ,

t2-τ

(14)

將式(14)對時間t求導，有

(15)

2 相空間中含時滯的Hamilton作用量的變分

相空間中含時滯的Hamilton作用量為

(16)

引入r-參數有限群的無限小變換

ps(t)+Δps(t) (s=1,2,…,n)

(17)

其展開式為

(18)

(19)

式(19)也可寫為

(20)

其中

(σ=1,2,…,r)

(21)

式(19)和(20)是相空間中含時滯的Hamilton作用量的變分的兩個基本公式。

3 相空間中含時滯的Noether廣義準對稱變換

下面我們來建立相空間中含時滯的Noether廣義準對稱變換的定義和判據。

假設H′是某個另外的Hamilton函數，若變換(17)精確到一階小量滿足

(22)

則稱這種不變性為相空間中含時滯的Hamilton作用量在無限小變換(17)下的廣義準不變性，而變換(17)稱為相空間中含時滯的Noether廣義準對稱變換。于是有

定義1 若含時滯的Hamilton作用量(16)在無限小群變換(17)作用下，滿足條件

(23)

其中ΔG=εσGσ，Gσ=Gσ(t,ps,qs,psτ,qsτ)為規范函數，則稱無限小變換(17)為相空間中含時滯的Noether廣義準對稱變換。

由定義1和變分公式(19)，(20)式，得到如下判據。

判據1 如果無限小群變換(17)，當t1≤t≤t2-τ時，滿足條件

(24)

當t2-τ

(25)

則變換(17)是相空間中含時滯的Noether廣義準對稱變換。

式(24)和(25)也可寫成：當t1≤t≤t2-τ時，有

(26)

當t2-τ

(27)

當r=1時，式(26)和(27)稱為相空間中含時滯的非保守力學系統的Noether等式。

判據2 如果無限小群變換(18)，當t1≤t≤t2-τ時，滿足條件

(σ=1,2,…,r)

(28)

當t2-τ

(29)

則變換(18)是相空間中含時滯的Noether廣義準對稱變換。

利用判據1或判據2，可以判斷相空間中含時滯的非保守力學系統的Noether對稱性。

4 相空間中含時滯的非保守力學系統的Noether定理

對于相空間中含時滯的非保守力學系統(13)和(15)，若能夠找到系統的Noether廣義準對稱變換，便可求得相應的守恒量。有如下定理：

定理1 對于相空間中含時滯的非保守力學系統，如果無限小群變換(17)是相空間中含時滯的Noether廣義準對稱變換，則系統存在r個線性獨立的守恒量，當t1≤t≤t2-τ時，形如

(30)

當t2-τ

(31)

證明將相空間中含時滯的非保守力學系統的運動微分方程(13)和(15)代入式(28)和(29)，由定義1和判據2，得到：當t1≤t≤t2-τ時

(32)

當t2-τ

(σ=1,2,…,r)

(33)

對式(32)和(33)積分，便得到結果。證畢。

定理1稱為相空間中含時滯的非保守力學系統的Noether定理。由定理1知，如果能找到系統的一個Noether廣義準對稱變換，便可能得到系統的一個守恒量。

5 算 例

例已知含時滯的力學系統的Lagrange函數為

(34)

非勢廣義力為

(35)

由(2)式，得到

(36)

則系統的運動微分方程為

t∈[t1,t2-τ]；

(37)

由Noether等式(26)和(27)，得到

(38)

(39)

方程(38)有解

(40)

方程(39)有解

t∈(t2-τ,t2]

(41)

生成元(40)和(41)相應于所論含時滯的非保守系統的Noether對稱性，根據定理1，系統有如下守恒量

t∈[t1,t2-τ]

(42)

t∈(t2-τ,t2]

(43)

式(42)和(43)是所論相空間中含時滯的非保守系統相應于Noether對稱性(40)和(41)的Noether守恒量。

6 結 論

文中研究了相空間中含時滯非保守力學系統的Noether對稱性與守恒量。建立了含時滯的非保守力學系統的運動微分方程；依據相空間中含時滯的Hamilton作用量的兩個基本公式，定義了相空間中含時滯的Noether廣義準稱變換，給出了相空間中含時滯的Noether廣義準稱變換的判據；建立了相空間中含時滯的非保守力學系統的Noether對稱性與守恒量之間的聯系。本文的結果具有普遍性，可以進一步拓展到含時滯的最優控制系統、含時滯的Birkhoff系統等。

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