于海杰
(赤峰學院 初等教育學院,內蒙古 赤峰 024000)
論連分數的應用
于海杰
(赤峰學院 初等教育學院,內蒙古 赤峰 024000)
實數通常用十進制數表示,可寫成整數部分與小數部分.實數也可用連分數表示.本文簡要介紹連分數的幾點應用.
連分數;應用
所謂連分數就是一種特殊類型的繁分數.如
定義 設a0,a1,a2,……是一個無窮實數列,ai>0,i≥1.對于給定的n≥0,我們把表示式
稱為有限連分數,通常簡寫為[a0,a1,a2,……,an].
在(1)式中當n→∞時,我們把相應的表達式
稱為無限連分數,通常簡寫為[a0,a1,a2,……,an,…].
定理(1)有限連分數[a0,a1,a2,……,an]是一個有理數.
(2)任意一個有理數都可以表示為有限連分數.
(3)任意一個無限連分數[a0,a1,a2,……,an,…]是一個無理數.
(4)每一無理數只有唯一一種方法表示成無限簡單連分數.
證明略,詳見參考文獻[1].
利用分數的連分數表達式的逐次截斷值可求出該分數的近似值.
According to the Japanese guidelines on the gastric cancer treatment issued by JGCA (2011)[13], the algorithm of surgical treatment in patients with GC is as follows (Figure 7).
其截斷值依次是:
可以發現以下不等式:a0 這說明上述連分數的逐次截斷值從左、右兩個方向交叉地逐次逼近真值.可以證明,任意一個數的連分數的逐次截斷值都有這個漸進逼近性[1],每一個截斷值稱為漸進分數. 4.1 無理數化為無限連分數 4.2 有理數化為有限連分數 將有理數化為有限連分數,用輾轉相除法即可得到. 4.3 連分數在求解一元二次方程方面的應用 例3求x2-3x-1=0的解. 依次得到方程的近似解,而且越往后越精確:3,3.3,L,3.333,3.303L 4.4 利用連分數求最大公約數[3] 例4求61446與18326的最大公約數. 4.5 連分數在歷法方面的應用[4] 閏年,是陰歷中的一種現象,固定在二月,比平年加一天即29天.我們通常所說的一年365天,其實是個約數,比較準確的應該是365.2422天.那么一年365天就與實際一年少0.2422日,這樣四年后就比實際的四年少了近一天,為了彌補這個差值,歷法中規定了四年一潤,百年少一潤. 〔1〕王進明.初等數論[M].北京:人民教育出版社,2007. 〔2〕楊中和.二次無理數的連分數[J].西安文理學院學報(自然科學版),2008(11). 〔3〕袁明豪,等.有限簡單連分數的幾個應用[J].黃岡師范學院學報,2003(23). 〔4〕徐誠浩.連分數與歷法[M].北京:高等教育出版社,2008. O112 A 1673-260X(2014)02-0004-024 簡單應用