一類七次系統三次冪零奇點的中心判定

卜玨萍

(巢湖學院 數學系，安徽 巢湖238000)

0 引言

本文討論一類特殊的原點為三次冪零奇點的七次微分系統

由文獻［1］，容易驗證，系統(1)原點為中心或焦點。

1 正文

由文獻［4］，對系統(1)可待定形式級數M(x，y)=y2+x4+ο(r4)以及正整數s 使得成立。再由文獻［4］給出的遞推公式，在Mathematica 軟件上計算可得

由于s 是正整數，故可得系統(1)原點的前兩個擬Lyapunov 常數為

且當a02(a21+2b202)≠0 時，由ω7=ω9=0 可求得

以下取s=1，則可得:

定理1:對系統(1)，可逐項確定形式級數M(x，y)=y2+x4+ο(r4)，使得

其中，λm是系統(1)中原點的第m 個擬Lyapunov 常數，m=1，2，…，10.

由文獻［4］中的遞推公式，同時利用Mathematica 軟件繼續計算可得:

定理2:系統(1)中原點的前10 個擬Lyapunov 常數分別為:

當λi=0(i=1，2，…，10)時，可得

或

故由(7)與(8)，得

定理3:系統(1)中原點的前10 個擬Lyapunov 常數全為零，當且僅當下列條件之一成立:

(i)當(9)式成立時，系統(1)化為

此時，X=y+a21x2y+a03y3+a05y5+a07y7，Y=－2x3+b02y2，且

則由對稱原理，系統(1)的向量場對稱于x 軸，且原點為中心。

同理，系統(1)的向量場對稱于y 軸，且原點為中心。

2 結 語

由以上分析可得:

定理4:系統(1)中原點為中心的充要條件是原點的前10 個擬Lyapunov 常數全部為零，即定理3 中的兩組條件之一成立。

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［3］Alvarez.M.J.，Gasull.A..Cenerating limits cycles from a nilpotent critical point via normal forms［J］.J.Math.Anal.Appl，2006，318:271－287.

［4］劉一戎，李繼彬.平面向量場的若干經典問題［M］.北京:科學出版社，2010.

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