雙曲型臍點突變模型的向量場分析

荊小娜，趙立純,*，劉敬娜

(1.遼寧師范大學 數學學院,遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學院 數學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007)

R·Thom于1972年提出并系統地闡述了突變理論，給出了7類基本突變模型：折迭突變模型，尖角突變模型，燕尾突變模型，蝴蝶突變模型，橢圓型臍點突變模型，雙曲型臍點突變模型，拋物型臍點突變模型.這些模型可以用來描述自然界中存在的大量突變現象，如地震[1]、火山爆發[2]、泥石流[3]、病蟲害等的突然爆發.針對病蟲害的突然爆發，趙慧燕等[4]建立麥蚜生態系統的折迭突變模型，利用勢函數的極值解釋了蚜蟲種群數量在施藥后驟變的現象.趙立純等[5]基于尖角突變的性質將Logistic模型變換為尖角突變模型，并用微分方程定性理論對模型進行分析，得出突變發生的條件.李媛[6]利用微分方程定性理論分析了燕尾突變模型的突變特征.李楨[7]建立害蟲種群動態的蝴蝶突變模型，通過勢函數的極值來說明平衡點的穩定性，進而確定出控制點在分歧點集所處的區域.李建峰[8]通過建立害蟲-天敵捕食系統橢圓突變模型，利用分歧點集的截線圖和平衡點處的相軌線分析了模型的突變形式.

綜上可知，上述涉及的折迭突變模型、尖角突變模型、燕尾突變模型、蝴蝶突變模型，其狀態變量只有一個，且均用來刻畫不同生態系統中害蟲的突然爆發現象.對于橢圓型臍點突變模型、雙曲型臍點突變模型和拋物型臍點突變模型，狀態變量卻有兩個，而控制變量也均有三個，因此，對平衡點和分歧點集的分析有較大的難度.而這三類模型考慮的因素更多，如果能應用到病蟲害的研究中，可能會為生態系統中的突變現象提供更好的解釋，因此,本文選取雙曲型臍點突變模型進行分析.

通過傳統的方法分析模型會產生極大困難，本文利用Mathematica軟件繪制的向量場圖[9]分析模型的平衡點個數及穩定性變化情況，嘗試揭示害蟲種群的爆發現象.

1 模型的向量場分析

考慮雙曲型臍點突變模型[10]

(1)

其中,x，y為狀態變量，w，u，v為控制變量，相空間是五維空間(x，y，u，v，w).

由文獻[10]知，分歧點集是關于w=0平面對稱的，故應根據w=0，w>0，w<0三種情況繪制向量場圖形.

情況1w=0

針對模型(1)，進一步取u>0，u=0，u<0三種情況來討論：

情況1.1u>0

當w=0，u=1時，v分別取v=4，v=0，v=-2，得向量場圖(見圖1).

圖1 w=0，u=1時平衡點附近的向量場

從圖1可以看出，對w=0，u=1，當v由正連續變化到負時，模型的平衡點個數從4個變到0個，其中，A1為穩定結點，A2，A4為鞍點，A3為不穩定結點，B1，B2為鞍結點，說明w=0，u=1，v=0在模型的分歧點集上.

情況1.2u=0

當w=0，u=0時，v分別取v=4，v=0，v=-2，得向量場圖(見圖2).

圖2 w=0，u=0時平衡點附近的向量場

從圖2可以看出，對w=0，u=0，當v由正連續變化到負時，模型的平衡點從2個變到0個，其中，B3，B4為鞍結點，O為鞍點，說明w=0，u=0，v=0在模型的分歧點集上.

情況1.3u<0

當w=0，u=-1時，v分別取v=4，v=0，v=-2，得向量場圖(見圖3).

圖3 w=0，u=-1時平衡點附近的向量場

從圖3可以看出，對w=0，u=-1，當v由正連續變化到負時，模型的平衡點始終不存在，說明w=0，u=-1不在模型的分歧點集上.

情況2w>0

針對模型(1)，將參數u分為u>0，u=0，u<0三種情況來討論：

情況2.1u>0

當w>0，u>0時，v在v>0，v=0，v<0三種不同情況下平衡點的變化情況不同，因此需根據這三種情況來分別分析.

情況2.1.1v>0

當w=1，u=1時，v分別取v=4，v=3.013 9，v=2，得向量場圖(見圖4).

圖4 w=1，u=1，v>0時平衡點附近的向量場

從圖4可以看出，對w=1，u=1，當v逐漸減小時，模型的平衡點個數從2個變化到4個，其中，C0為鞍結點，C1，C3為鞍點，C2為不穩定結點，C4為穩定結點，說明w=1，u=1，v=3.013 9在模型的分歧點集上.

情況2.1.2v=0

當w=1，u=1，v=0時，得向量場圖(見圖5).

圖5 w=1，u=1，v=0時平衡點附近的向量場

從圖5可以看出，當w>0，u>0，v=0時，模型存在2個平衡點，其中C1為鞍點，C2為不穩定結點，而這與圖4(a)平衡點的個數及穩定性一致.

情況2.1.3v<0

當w=1，u=1時，v分別取v=-0.1，v=-0.581 4，v=-2，得向量場圖(見圖6).

圖6 w=1，u=1，v<0時平衡點附近的向量場

從圖6可以看出，對w=1，u=1，當v逐漸減小時，模型的平衡點個數從2個變到0個，其中，C0為鞍結點，C1為鞍點，C2為不穩定結點，說明w=1，u=1，v=-0.581 4在模型的分歧點集上.

情況2.2u=0

當w=1，u=0時，v分別取v=4，v=-0.157 5，v=-2得向量場圖(見圖7).

圖7 w=1，u=0時平衡點附近的向量場

從圖7可以看出，對w=1，u=0，當v由正連續變化到負時，模型的平衡點個數從2個變到0個，其中，C0為鞍結點，C1為鞍點，C2為不穩定結點，說明w=1，u=0，v=-0.157 5在模型的分歧點集上.

情況2.3u<0

當w=1，u=-1時，v分別取v=4，v=2.986 1，v=-2,得向量場圖(見圖8).

圖8 w=1，u=-1時平衡點附近的向量場

從圖8可以看出，對w=1，u=-1，當v由正連續變化到負時，模型的平衡點個數從2個變到0個，其中，C0為鞍結點，C1為鞍點，C2為不穩定結點，說明w=1，u=-1，v=2.981 6在模型的分歧點集上.

情況3w<0

情況2分析了w>0時模型的平衡點個數及穩定性，那么對w<0時模型的分析將w取相反數.

情況3.1u>0

將v分為v>0，v=0，v<0三種情況來繪制向量場圖.

情況3.1.1v>0

當w=-1，u=1時，v分別取v=4，v=3.013 9，v=2，得向量場圖(見圖9).

圖9 w=-1，u=1,v>0時平衡點附近的向量場

注1 由于w>0與w<0時模型的分歧點集是對稱的，因此不再重復敘述.

情況3.1.2v=0

當w=-1，u=1，v=0時，得向量場圖(見圖10).

圖10 w=-1，u=1，v=0時平衡點附近的向量場

情況3.1.3v<0

當w=-1，u=1時，v分別取v=-0.1，v=-0.581 4，v=-2，得向量場圖(見圖11).

圖11 w=-1，u=1,v<0時平衡點附近的向量場

情況3.2u=0

當w=-1，u=0時，v分別取v=4，v=-0.157 5，v=-2,得向量場圖(見圖12).

圖12 w=-1，u=0時平衡點附近的向量場

情況3.3u<0

當w=-1，u=-1時，v分別取v=4，v=2.986 1，v=-2,得向量場圖(見圖13).

圖13 w=-1，u=-1時平衡點附近的向量場

針對模型(1)，本節保持控制參數w，u取值不變，使參數v逐漸減少時，得到模型的平衡點變化情況，并根據平衡點個數的突然變化找到模型的分歧點集.

2 討論與結論

由于雙曲型臍點突變模型分歧點集的方程太過復雜，不能直接從方程得到模型的突變形式，因而本文利用向量場圖刻畫模型平衡點的變化狀況，且能觀察到模型的分歧點集，進而揭示出模型在整個控制空間中的突變行為.

針對雙曲臍點突變模型，在第一部分中已經討論了當控制參數w，u不變，而v逐漸減少時，模型平衡點的變化狀況.根據情況2.1.1，情況2.2，情況2.3，從向量場圖可以看出保持控制參數w，v不變，當u變化時，模型平衡點的個數及穩定性的變化，如圖4(a)→圖7(a)→圖8(a).