填充右左手材料矩形屏蔽微帶線色散特性的比較研究

孫 海

（1.樂山師范學院數學與信息科學學院，樂山 614000；2.東華理工大學理學院，南昌 344000）

填充右左手材料矩形屏蔽微帶線色散特性的比較研究

孫 海1，2

（1.樂山師范學院數學與信息科學學院，樂山 614000；2.東華理工大學理學院，南昌 344000）

運用矢量有限元法對填充右左手材料的矩形屏蔽微帶線的色散特性進行比較研究，包括矩形單信號對稱屏蔽微帶線，矩形單信號不對稱屏蔽微帶線，矩形雙信號對稱屏蔽微帶線，矩形雙信號位置不對稱屏蔽微帶線，矩形雙信號寬度不對稱屏蔽微帶線以及矩形雙信號厚度不對稱屏蔽微帶線六種情況.討論這些屏蔽微帶線的主模色散特性隨填充材料的變化，色散特性的研究有助于矩形屏蔽微帶線和左手材料在新型微波器件中的應用.

色散特性；矢量有限元法；右手材料；左手材料；矩形屏蔽微帶線

0 引言

自上世紀四十年代末Cohn［1］開始研究波導的特性以來，對各種波導結構特別是微屏蔽線的研究越來越引起人們的關注.已有的研究表明，微屏蔽線作為一種微波毫米波傳輸線，具有以下優點：微屏蔽線不需要均衡接地的連接孔（Via-holes）與空氣橋（Air-bridge），從而簡化了設計制作工藝；屏蔽微帶線具有很寬的特性阻抗；屏蔽微帶線可以有效地降低與相鄰傳輸線之間的電磁耦合；低交調干擾，易于器件接地連接；屏蔽微帶線的金屬空腔，既能降低輻射損耗，又因無介質填充而消除了介質損耗.基于諸多特點，屏蔽微帶線成為毫米波和亞毫米波波段的主要傳輸線類型.

對屏蔽微帶線的討論，1991年，Dib與Harokopus等人首先提出了矩形屏蔽微帶線，并且用保角變換法分析了特性阻抗［2－3］；隨后，Schutt-Aine首次提出了V形屏蔽微帶線，且用矩量法計算了特性阻抗［4］；中科院院士林為干先生于1995年首次提出了圓形、橢圓形屏蔽微帶線，并利用保角變換法系統地計算了V形、圓形、橢圓形屏蔽微帶線的特性阻抗［5－6］；緊接著，Cheng與Robertson研究了非對稱V形屏蔽微帶線的特性阻抗［7］；Kiang利用點匹配法計算了多種復雜橫截面屏蔽微帶線的特性阻抗［8］；Yan與Pramanick在前人工作的基礎上，提出了一般化的V形與W形屏蔽微帶線，計算了特性阻抗與導體損耗［9］；2006年Guney和Robert等人發展了V形屏蔽微帶線和微矩形同軸傳輸線［10－11］，2011年和2012年孫海等分別對橢圓形屏蔽微帶線［12］和梯形屏蔽微帶線［13］的部分傳輸特性進行了討論.

前面的研究極大地豐富了屏蔽微帶線的應用，但對填充右、左手材料的矩形屏蔽微帶線的主模色散特性研究未見報道；基于此，本文運用矢量有限元方法對填充右手材料和左手材料的多種矩形屏蔽微帶線的主模色散特性進行比較研究，具體包括：矩形單信號對稱屏蔽微帶線，矩形單信號不對稱屏蔽微帶線，矩形雙信號對稱屏蔽微帶線，矩形雙信號位置不對稱屏蔽微帶線，矩形雙信號寬度不對稱屏蔽微帶線以及矩形雙信號厚度不對稱屏蔽微帶線.六種情況的橫截面示意圖如圖1.

1 原理

橫截面示意圖1中，中間虛線填充部分為填充介質區域，填充介質的介電常數和磁導率分布為εr和μr，

圖1 六種矩形屏蔽微帶線橫截面示意圖Fig.1 Cross-sections of six types of rectangle-shaped microshield lines

白色部分為真空區域，真空的介電常數和磁導率分別為ε0和μ0，而黑色部分表示金屬信號線，信號線的尺寸和位置由b／a，b1／a，b2／a，c2／a，c3／a和t／h1，t1／h1，t2／h1控制，填充區域由c1／a控制，并假設h1／a＝0.3，h2／a＝0.2．

使用矢量有限元方法對矩形屏蔽微帶線進行討論，根據Maxwell方程，矩形屏蔽微帶線中電場E與磁場H滿足以下矢量微分方程

利用電場E的矢量Helmholtz方程推導求解矩形屏蔽微帶線色散特性的矢量有限元公式.將式（1）的H代入式（2），得到基于電場E的矢量Helmholtz方程

在矩形屏蔽微帶線中，電場E滿足矢量微分方程（3）式，及邊界條件

經過推導，上述問題等效于下列變分問題

上式中

上式中的δkj用下式進行計算

在計算過程中，涉及到形如k1，k2由下標k決定；j1，j2由下標j決定；i1，i2由下標i決定，實際為邊所對應的起點和終點.其決定的方式由表1來確定.

利用里茲方法對（7）式進行變分，整理可以得到

表1 三角形單元中棱邊與節點之間的關系Table 1 Relation between edge and node in triangular elements

同理，將所有離散的三角形單元的矩陣方程進行合成，可以得到總矩陣方程，即特征值方程：

式（26）中的矩陣［S］和［T］均為方陣，且都是稀疏矩陣，式中β表示待求的特征值，在計算過程中，只要給出k0的取值，就可以求解這個方程.即可以通過求解（26）得到矩形屏蔽微帶線的色散特性.

2 數值計算結果

2.1 色散特性的矢量有限元公式的驗證

為了驗證所使用的矢量有限元公式的正確性和程序的可靠性，首先通過公式（26）求解了半填充波導的色散特性，計算結果如圖2所示.

通過圖2可以得出，本文的計算結果和相關文獻的結果吻合得很好，說明本文所推導的矢量有限元計算公式和所編寫的程序是可靠和可行的.下面運用以電場為工作變量的矢量有限元公式對六種矩形屏蔽微帶線的色散特性進行計算.在計算過程中，分兩組進行討論：第一組為兩種單信號矩形屏蔽微帶線；第二組為四種雙信號矩形屏蔽微帶線；主要進行填充右、左手材料后色散特性的比較，同時也進行兩種單信號線和四種雙信號線內部的比較.

2.2 矩形單信號屏蔽微帶線的色散特性

1）矩形單信號對稱屏蔽微帶線的色散特性

設c／a＝0.5，c1／a＝0.25，b／a＝0.1，t2／a＝0.1，c2／a＝0.2，且信號線位于模型正中央.

由圖3可以得出，當填充的右手材料和左手材料的折射率相同時，填充左手材料后的色散特性和填充右手材料的變化趨勢相似；而取相同的k0，填充左手材料的屏蔽微帶線比填充右手材料的屏蔽微帶線的β值要小.

圖3 填充右左手材料的矩形單信號對稱屏蔽微帶線的色散曲線Fig.3 Dispersions of rectangle-shaped microshield line with symmetrical single signal line loaded with right-handed materials and left-handed materials

2）矩形單信號不對稱屏蔽微帶線的色散特性

下面討論矩形單信號不對稱屏蔽微帶線的色散特性，設計尺寸為c／a＝0.5，c1／a＝0.25，b／a＝0.1，t2／a＝0.1，c2／a＝0.05，填充右左手材料后的色散特性如圖4.

由圖4知，對于填充相同折射率的右、左手材料后，矩形單信號不對稱屏蔽微帶線的色散特性的變化趨勢和矩形單信號對稱屏蔽微帶線相似.

圖4 填充右左手材料的矩形單信號不對稱屏蔽微帶線的色散曲線Fig.4 Dispersions of rectangle-shaped microshield line with asymmetrical single signal line loaded with right-handed materials and left-handed materials

根據上面兩個實例的計算得出了幾乎相似的結論，故在后面矩形雙信號屏蔽微帶線色散特性的討論中，不再討論同一種信號線隨填充材料的變化而引起的色散特性變化；而是重點去比較四種雙信號線的色散特性差別.在此之前，先比較兩種單信號線色散特性的差別.

3）兩種矩形單信號屏蔽微帶線色散特性的差別

設矩形單信號對稱屏蔽微帶線的尺寸為c／a＝0.5，c1／a＝0.25，b／a＝0.1，t2／a＝0.1，c2／a＝0.2，而矩形單信號不對稱屏蔽微帶線的尺寸為c／a＝0.5，c1／a＝0.25，b／a＝0.1，t2／a＝0.1，c2／a＝0.05，即兩種單信號屏蔽微帶線除了兩信號間的距離不同以外，其他尺寸都相同.填充三種材料（εr＝1，μr＝1；εr＝10，μr＝1；εr＝－10，μr＝－10）后的色散特性比較如圖5～圖7所示.

圖5 填充εr＝1，μr＝1后兩種矩形單信號屏蔽微帶線色散特性Fig.5 Dispersions of two kinds of rectangle-shaped microshield line with single signal line loaded with εr＝1，μr＝1

由圖5～圖7可以看出：無論填充右手材料還是左手材料，矩形單信號對稱屏蔽微帶線和矩形單信號不對稱屏蔽微帶線的色散特性差距不大；也就是說在這種情形下，右手材料和左手材料的特性相似.如果要找出兩種信號線色散特性之間的細微差別的話，當填充的材料εr＝10，μr＝1時，相比填充其它兩種材料（εr＝1，μr＝1；εr＝－10，μr＝－10），兩種屏蔽微帶線色散特性間的差距稍大一些.

2.3 四種矩形雙信號屏蔽微帶線色散特性的差別

將MIKE11水動力模塊與水質模塊進行耦合，模擬計算水庫運行期間典型枯水年南碧河水質變化情況，選取南木老河與南碧河交匯口斷面、芒片河與南碧河交匯口斷面、入小黑江匯口斷面3個代表斷面進行對比分析，各斷面水質預測結果如表2，表3和圖2。

這里將對矩形雙信號線的四種情況在填充右、左手材料后的色散特性進行比較.這其中包括：雙信號線對稱，雙信號線位置不對稱，雙信號寬度不對稱以及雙信號線厚度不對稱四種情況.

圖6 填充εr＝10，μr＝1后兩種矩形單信號屏蔽微帶線色散特性Fig.6 Dispersions of two kinds of rectangle-shaped microshield line with single signal line loaded with εr＝10，μr＝1

圖7 填充εr＝－10，μr＝－10后兩種矩形單信號屏蔽微帶線色散特性Fig.7 Dispersions of two kinds of rectangle-shaped microshield line with single signal line loaded with εr＝－10，μr＝－10

首先作以下總體假設，假設c／a＝0.5，c1／a＝0.25，c3／a＝0.05，且左側信號線的寬度和厚度均為0.1.而右側信號線的尺寸以及位置根據四種不同情況分別定義：

1）雙信號對稱線為：為了保證對稱性，兩信號線間的距離為c2／a＝0.2，右側信號線的寬度和厚度與左側的一樣均為0.1；

2）雙信號位置不對稱線：右側信號線的寬度和厚度仍然定義為0.1，兩信號線間的距離為c2／a＝0.05；

3）雙信號寬度不對稱線：兩信號線間的距離為c2／a＝0.05，右側信號線的厚度仍為0.1，而寬度定義為0.2；

4）雙信號厚度不對稱線：兩信號線間的距離為c2／a＝0.2，右側信號線的寬度仍定義為0.1，而厚度為0.2.

由圖8可以得出：當填充的材料為εr＝1，μr＝1，即為均勻傳輸線時，β的排列順序為：“厚度不對稱”＞“寬度不對稱”＞“位置不對稱”≈“對稱”；且相比之下，“厚度不對稱”的β值大得較多.

由圖9可以得出：當填充的材料為εr＝10，μr＝1時，β最大的還是“厚度不對稱”情況，而且大得很多；相比“位置不對稱”和“對稱”情況，當k0較小時，“寬度不對稱”的β值較大；但隨著k0的增加，四種情況的β值幾乎沒有差別.

由圖10和圖11可以得出：當填充材料為左手材料εr＝－10，μr＝－10和右手材料εr＝10，μr＝10后，即材料的折射率較大時，無論右左手材料，矩形雙信號屏蔽微帶線的四種情況的色散特性相差無幾.

由圖8～圖11，得出綜合結論：在填充右手材料時，當材料的折射率較小時，在相同的k0下，矩形雙信號線的“厚度不對稱”和“寬度不對稱”的β值比“位置不對稱”和“對稱”要大很多，究其原因，相比“位置對稱”和“位置不對稱”，信號線的寬度和厚度增加了，信號線所占的面積也增加了，說明其色散特性與信號線所占

圖8 填充εr＝1，μr＝1后四種矩形雙信號屏蔽微帶線色散特性Fig.8 Dispersions of four kinds of rectangle-shaped microshield line with dual signal lines loaded with εr＝1，μr＝1

圖9 填充εr＝10，μr＝1后四種矩形雙信號屏蔽微帶線色散特性Fig.9 Dispersions of four kinds of rectangle-shaped microshield line with dual signal lines loaded with εr＝10，μr＝1

圖10 填充εr＝－10，μr＝－10后四種矩形雙信號屏蔽微帶線色散特性Fig.10 Dispersions of four kinds of rectangle-shaped microshield line with dual signal lines loaded with εr＝－10，μr＝－10

面積有關；但當填充的右手材料折射率較大時，四種矩形雙信號屏蔽微帶線的色散特性變化不大，這點與填充較大折射率的左手材料的變化規律一致.

3 結語

運用矢量有限元方法對填充右手材料和左手材料的矩形屏蔽微帶線六種情況的主模色散特性進行比較

圖11 填充εr＝10，μr＝10后四種矩形雙信號屏蔽微帶線色散特性Fig.11 Dispersions of four kinds of rectangle-shaped microshield line with dual signal lines loaded with εr＝10，μr＝10

研究.計算結果顯示，填充左手材料和填充右手材料后，矩形屏蔽微帶線的色散特性呈現出不同規律，這對拓展左手材料的應用有重要的實際意義；另外，以信號線個數分組，對單信號的兩種情況和雙信號的四種情況進行了比較計算，得出了一些有意義的結果，這對矩形屏蔽微帶線的進一步發展和應用有指導意義.

［1］Cohn S B.Properties of ridge waveguide［J］.Proc IRE，1974，35（8）：783－788.

［2］Dib N I，Harokopus Jr W P，Katehi P B，Ling C C，Rebeiz G M.Study of a novel planar transmission line［J］.IEEE MTTS International Microwave Symposium Digest，1991：623－626.

［3］Dib N I，Katehi L P B.Impedance calculation for the microshield line［J］.IEEE Microwave and Guided Wave Letters-2，1992：406－408.

［4］Schutt-Aine J E.Static analysis of V-transmission lines［J］.IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques，1992，40（5）：659－664.

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［12］Sun H，Wu Y J，Ruan Z S.A study of transmission characteristics in elliptic-shaped microshield lines［J］.Journal of Electromagnetic Waves and Applications，2011，25（17）：2353－2364.

［13］Sun H，Wu Y J.Research on cutoff wavelength of dominant mode and field patterns in trapezoidal-shaped microshield lines ［J］.Turkish Journal of Electrical Engineering＆Computer Sciences，2012，20（4）：463－477.

A Comparative Study on Dispersions of Rectangle-shaped Microshield Lines Loaded with Right-handed Materials and Left-handed Materials

SUN Hai1，2
（1.School of Mathematics and Informational Sciences，Leshan Normal University，Leshan 614000，China；2.School of Science，East China Institute of Technology，Nanchang 344000，China）

Edge-based finite element method is introduced to study dispersions of six types of rectangle-shaped microshield lines loaded with right-handed materials and left-handed materials.They are rectangle-shaped microshield lines with symmetrical single signal line，with asymmetrical single signal line，with symmetrical dual signal lines，with asymmetrical dual signal lines of position，with asymmetrical dual signal lines of width and with asymmetrical dual signal lines of height.Dispersions of microshield lines with changed dielectric constant of dielectric substrate are discussed.Numerical results are helpful in design of microwave components that use rectangle-shaped microshield lines and left-handed materials.

dispersion；edge-based finite element method；right-handed material；left-handed material；rectangle-shaped microshield line

date：2013－10－08；Revised date：2014－02－19

TN81

A

2013－10－08；

2014－02－19

四川省教育廳資助科研項目（14ZB0250）；樂山師范學院博士啟動項目（Z1326）及江西省自然科學青年基金項目（20122BAB211008）資助

孫海（1981－），男，理學博士，講師，主要從事計算電磁學研究，E-mail：sunhai0804＠126.com

1001-246X（2014）05-0593-09