基于數學史的中位數和眾數的教學實踐

吳駿+杜珺+邱寧+殷從全

中位數和眾數是繼平均數之后，表示數據集中趨勢的兩個統計量.在對學生的調查中發現，當需要表示一組數據的平均水平時，學生往往認為平均數才是這組數據的代表，而忽視了對中位數和眾數的選擇使用.究其原因，主要是學生不了解為何要學習中位數和眾數，也不知道如何運用這兩個統計量，這需要從概念的歷史產生過程中尋求解決問題的方案.為此，我們對中位數和眾數的歷史起源進行考察，設計符合學生認知發展的概念教學案例，并在八年級進行了教學實踐.1 教學案例的設計與實踐

歷史現象學為學生理解中位數和眾數概念提供了豐富的素材.然而，歷史現象學和教學現象學卻是不同的，其差異主要體現在學生缺乏相關的歷史背景知識，而且他們也擁有了前人未知的一些知識，因此，在實際教學中，教師需要遵循學生的認知發展規律，把歷史現象轉化為教學現象，采用自然的方式呈現所教的知識[1].

1.1 從“數”的角度引入中位數，激發學習動機

歷史現象 在歷史上，中位數幾乎是作為平均數的代替品而出現的.1874年，費歇爾（G. T. Fechner， 1801—1887）借助于天文學中行之有效的方法，使用中位數來描述社會和心理現象.埃其渥斯（F. Y. Edgeworth，1845-1926）發現平均數對極端值的敏感性，而中位數比平均數更穩?。╮obustness）（穩健性用于描述對極端值的不敏感性），因此選擇了中位數代替平均數.這可能源于埃其渥斯對經濟學的興趣，因為經濟學中大多是一些不規則的數據.現在，中位數的穩健性是使用它的主要原因.

教學案例1 在汶川大地震的捐款活動中，某校八年級（1）班第3小組11名同學的捐款數如下（單位：元）：1，1，2，2，3，4，1，5，8，10，80.這組數據的平均數能比較客觀地反映全班同學捐款的“平均水平”嗎？

設計說明 學生習慣于把平均數作為數據的平均水平，他們對平均數的選擇使用往往優于中位數和眾數.該案例的設計擬合了中位數的歷史發展規律，即采用一組帶有極端值的不規則數據，讓學生產生認知沖突，激發論證中位數代替平均數的合理性.

教學實踐 任課教師認為，如果先介紹中位數起源的歷史，則學生自然會想到用中位數作為平均水平的代表，這就失去了激發學生學習動機的目的.因此，教學中需要先講案例，引入中位數概念，再介紹中位數的歷來起源.以下是關于該案例的一段師生對話：

教師：你能求出這組數據的平均數嗎？

學生：能.（過了一會）平均數為106.

教師：平均數能反映全班同學捐款的“平均水平”嗎？

學生：捐款超過106的人數只有1個，因而不能代表全班同學捐款的平均水平.

教師：為什么會出現這種情況？

學生：最大值和最小值差異過大，其中最大值80遠遠大于其余的數據，拉大了這組數據的平均水平.

教師：也就是說，當數據中出現極端值時，平均數不能作為這組數據的代表，這時我們需要學習另外一個表示集中趨勢的概念，即中位數.

1.2 從“形”的角度考察中位數，強化概念理解

歷史現象 1882年，高爾頓（F. Galton，1822—1911）第一次使用“中位數”這個術語.與數學歷史經常發生的情況一樣，高爾頓在使用這個術語之前就已經知道了這個概念，但他使用其他的術語，如“最中間的值”，“中等的”等.1874年，他在一次演講中給出了下列描述：“一個占據中間位置的物體具有這樣的性質，比它多的物體的數目等于比它少的物體的數目.”[2]

教學案例2 如下圖，數軸的上方有一些質點，每個質點的取值用數軸上的坐標來表示，如何尋找這些質點的中位數位置[3]？

設計說明 數據的分布是決定使用平均數和中位數的關鍵所在，而大多數學生還沒有形成數據呈現偏態分布的意識，因此，當數據呈不規則分布時，他們容易混淆對平均數和中位數的理解.該案例改編自歷史現象，要求在偏態分布中，學生能夠區分平均數和中位數所處的位置.

教學實踐 有學生錯誤地認為，中位數就是質點最大坐標與最小坐標的中點值，或數軸的最大值與最小值的平均數，還有學生干脆把印發材料的那張紙對折，中間那條印痕就是中位數所在的位置.通過討論，大家澄清了各種錯誤認識，認為中位數所處位置應該使左右兩邊質點的個數相等，即在數軸上坐標34偏左一點.

課后有一個學生說，可以把右邊比較分散的點移到坐標34～36的上面，把左邊分散的點移到坐標30～32的上面，這時質點比較集中，就容易看出中位數的位置在坐標34附近.這個想法可謂別出心裁，大大超出教師和研究者的想象.研究者對該生進行了訪談：

研究者：你是如何想到移動質點這個方法的？

趙同學：這些質點一個一個地數就太多了，可以把它們移動了放在一起，兩邊相互對稱就容易找到中位數的位置了.

可見，該同學尋找質點中位數位置的方法與高爾頓描述的方法具有歷史相似性.

教學反思 在實際教學中，學生對中位數的理解比平均數更困難.（1）“獻愛心”捐款活動，中位數的引入遵循歷史發展順序，學生感受到中位數存在的意義與必要.（2）設計質點中位數問題，從“形”的視角加深對中位數意義的理解.同時也發現，學生思維的活躍性不可低估.

1.3講述古代戰爭故事，引入眾數概念

相對來說，眾數容易理解.第一個使用眾數的例子，可能出現在雅典和斯巴達戰爭中發生的故事.

教學案例3 在公元前428年冬天，普拉鐵阿人被伯羅奔尼撒人和皮奧夏人包圍.不久，他們開始出現糧食短缺，處于絕望之中.由于從雅典人那里獲得援助已經沒有希望了，也看不到其他安全突圍的方法，普拉鐵阿人和被包圍的一些雅典人計劃棄城而去，他們打算做梯子翻過敵人的城墻.由于梯子的高度要與敵人城墻的高度一樣，為此，可以數敵人城墻上磚塊的層數來計算城墻的高度.在相同的時間，很多人數了磚塊的層數.問：如何確定磚塊的層數[2]？endprint

設計說明 歷史故事情節可以直接用作教學案例，提高學生的學習興趣.在該案例的情境中，很多人去數城墻磚塊的層數，也就是對磚塊重復計數，出現頻率最高的值就是正確的，這時已經使用了眾數概念.

教學實踐 教師神情激昂地講故事，讓學生仿佛置身于戰爭之中.學生討論的氛圍非常熱烈，他們認為，士兵在數磚塊層數時，有些可能數錯了，但大多數可能得到一個真實的數目，特別是那些距離城墻不太遠，能看清城墻的人多次數的結果，然后再估計出一塊磚的厚度，從而計算出梯子的高度.隨著戰爭故事的結束和課堂氛圍的降溫，學生知道了，眾數就是一群人數一堵墻的磚塊，所得數據中出現次數最多的那個數.

1.4 聯系現實生活問題，拓展眾數應用

歷史現象 還有一個眾數使用的例子，即關于選舉的問題.在古希臘和意大利，選舉機構已經作為一個基本形式存在很長的歷史時期了.在原始的君主統治時期，往往通過一些喧鬧的聚會來記錄他們的觀點.隨著政治的發展，這些國家已經牢固建立了政府行事采納大多數人意愿的原則.根據憲法規定，幾乎每一個重要的法案都要通過正式的投票來決定.

教學案例4 如何表示八年級一個教室里學生鞋子的顏色？在投票表決中，當票數相對集中時，如何確定票數的代表性？眾數一定是一個數字嗎？

設計說明 當一組數據呈現明顯的集中趨勢時，宜采用眾數作為其平均值的代表，而且眾數還是測量非數字類型的統計量.本案例與人教版教材中鞋子銷售問題是不同的，教材中的眾數指鞋子的尺碼，這里是鞋子的顏色.把眾數的概念拓展到非數字類型，雖然超出了教材的要求，但由于非數字類型數據在現實生活中的普遍存在性，因此，適當拓展眾數的應用范圍是必要的，學生也并不難理解.實際上，美國Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中數學教材就已經指出，sad，glad，glad，mad，sad的眾數是sad和glad.

教學實踐 學生熱烈討論鞋子顏色問題，有些同學彎腰去看，有些站起來看，還有些跑到其他組去看，整個教室熱鬧非凡，課堂氣氛非?；钴S.討論結束后，教師和學生發生了一段對話：

教師：如何描述全班同學鞋子的顏色？

學生：鞋子有各種各樣的顏色，例如有紅色、白色、黑色、彩色等.

教師：用哪一個數作為鞋子顏色的代表？

學生：為了反映大多數同學鞋子的顏色，應該采用眾數作為代表.

教師：今天我們選舉一個臨時的數學科代表，當選的依據是什么？

學生：選票.

教師：如何確定選舉產生的科代表？

學生：票數最多的當選.

教師：用哪一個數表示票數的多少？

學生：眾數.

教師：在描述鞋子顏色的問題中，眾數是什么？

學生：白色鞋子.

教師：在剛才選舉的例子中，眾數是什么？

學生：（思考之后得出）得票最多的同學.

教師：那么，現在我問大家，眾數一定是一個數字嗎？

學生：不一定.

教學反思 （1）以歷史故事作為背景引入眾數，能夠吸引學生注意力，讓學生參與到整個教學活動中.（2）設計學生最喜歡的電影或鞋子出現最多的顏色，是眾數的一個直觀應用，這種拓展是有必要的.

2 學生反饋

2.1 問卷測試

為考察學生對平均數、中位數和眾數的理解，在本單元教學前后對學生進行了測試，結果見表1所示.

前測試題：某人花費在因特網上的時間分別為（單位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均數、中位數和眾數中的哪一個數最能描述他花費在因特網上的時間？說明理由.

后測試題：某人11天看電視的時間分別為：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（單位：分鐘），用平均數、中位數和眾數中的哪一個數最能描述他看電視的時間？說明理由.

從表1可以看出，教學之前，很多學生認為平均數就是數據的典型代表，因此選擇平均數的人數最多.教學之后，選擇中位數的人數有了大幅度上升，達到班級人數的一半以上.學生對中位數的學習感到困難，主要是他們還沒有形成數據呈現偏態分布的意識.為了解學生是否真正理解中位數，對學生前后測中選擇中位數的理由進行統計，發現前測中僅有6名學生給出正確理由，而在后測中卻有32名學生說理正確.究其原因，筆者推測，這可能與基于數學史設計的中位數的教學案例有關.

2.2 個別訪談

梁同學是一個學困生，在這個階段的學習中，他積極參與小組討論，主動回答問題，有了較大的進步.葉同學是一個優秀學生，近期表現更為突出，作業多次受到老師的表揚.為了解這兩位同學產生變化的原因，在該單元教學內容結束之后，研究者對他們進行了訪談.下面是研究者對梁同學的訪談片段：

研究者：老師上課的方式與以前有什么不同嗎？

梁同學：討論比以前多了，一個人在那里想，只有一種思路，4個人圍在那里討論，就可以有不同的想法.

研究者：在這些課中，你最喜歡哪一節課？

梁同學：眾數比較好學，我比較感興趣.這一節，既講了故事又學習了知識.

由于數學歷史故事吸引了梁同學，按照他說的“有興趣就學會了”，從而提高了學習的積極性.下面是對葉同學訪談的一個片段：

研究者：你認為這些歷史知識有用嗎？有什么用？

葉同學：有用.這些歷史知識能夠幫助我們更好地理解這些概念.

研究者：你最感興趣的是哪一個內容？

葉同學：中位數.

研究者：為什么最喜歡這個內容？

葉同學：老師用數形結合的形式幫助我們判斷中位數的位置，小于和大于它的數各占一半（意指判斷質點中位數位置的那個示意圖）.

從這個訪談中可以看出，利用數學史設計的教學案例加強了葉同學對統計概念的理解，特別是她能用數形結合的觀點去理解中位數概念，這是一個優秀學生難能可貴的思維品質.

綜上，基于數學史的中位數和眾數的教學案例，讓學生經歷了概念的自然發生過程，加強了對概念的理解，在教學實踐中取得了很好的效果.

參考文獻

[1] 吳駿，黃青云.基于數學史的平均數、中位數和眾數的理解[J].數學通報，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗

[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗

[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗endprint

設計說明 歷史故事情節可以直接用作教學案例，提高學生的學習興趣.在該案例的情境中，很多人去數城墻磚塊的層數，也就是對磚塊重復計數，出現頻率最高的值就是正確的，這時已經使用了眾數概念.

教學實踐 教師神情激昂地講故事，讓學生仿佛置身于戰爭之中.學生討論的氛圍非常熱烈，他們認為，士兵在數磚塊層數時，有些可能數錯了，但大多數可能得到一個真實的數目，特別是那些距離城墻不太遠，能看清城墻的人多次數的結果，然后再估計出一塊磚的厚度，從而計算出梯子的高度.隨著戰爭故事的結束和課堂氛圍的降溫，學生知道了，眾數就是一群人數一堵墻的磚塊，所得數據中出現次數最多的那個數.

1.4 聯系現實生活問題，拓展眾數應用

歷史現象 還有一個眾數使用的例子，即關于選舉的問題.在古希臘和意大利，選舉機構已經作為一個基本形式存在很長的歷史時期了.在原始的君主統治時期，往往通過一些喧鬧的聚會來記錄他們的觀點.隨著政治的發展，這些國家已經牢固建立了政府行事采納大多數人意愿的原則.根據憲法規定，幾乎每一個重要的法案都要通過正式的投票來決定.

教學案例4 如何表示八年級一個教室里學生鞋子的顏色？在投票表決中，當票數相對集中時，如何確定票數的代表性？眾數一定是一個數字嗎？

設計說明 當一組數據呈現明顯的集中趨勢時，宜采用眾數作為其平均值的代表，而且眾數還是測量非數字類型的統計量.本案例與人教版教材中鞋子銷售問題是不同的，教材中的眾數指鞋子的尺碼，這里是鞋子的顏色.把眾數的概念拓展到非數字類型，雖然超出了教材的要求，但由于非數字類型數據在現實生活中的普遍存在性，因此，適當拓展眾數的應用范圍是必要的，學生也并不難理解.實際上，美國Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中數學教材就已經指出，sad，glad，glad，mad，sad的眾數是sad和glad.

教學實踐 學生熱烈討論鞋子顏色問題，有些同學彎腰去看，有些站起來看，還有些跑到其他組去看，整個教室熱鬧非凡，課堂氣氛非?；钴S.討論結束后，教師和學生發生了一段對話：

教師：如何描述全班同學鞋子的顏色？

學生：鞋子有各種各樣的顏色，例如有紅色、白色、黑色、彩色等.

教師：用哪一個數作為鞋子顏色的代表？

學生：為了反映大多數同學鞋子的顏色，應該采用眾數作為代表.

教師：今天我們選舉一個臨時的數學科代表，當選的依據是什么？

學生：選票.

教師：如何確定選舉產生的科代表？

學生：票數最多的當選.

教師：用哪一個數表示票數的多少？

學生：眾數.

教師：在描述鞋子顏色的問題中，眾數是什么？

學生：白色鞋子.

教師：在剛才選舉的例子中，眾數是什么？

學生：（思考之后得出）得票最多的同學.

教師：那么，現在我問大家，眾數一定是一個數字嗎？

學生：不一定.

教學反思 （1）以歷史故事作為背景引入眾數，能夠吸引學生注意力，讓學生參與到整個教學活動中.（2）設計學生最喜歡的電影或鞋子出現最多的顏色，是眾數的一個直觀應用，這種拓展是有必要的.

2 學生反饋

2.1 問卷測試

為考察學生對平均數、中位數和眾數的理解，在本單元教學前后對學生進行了測試，結果見表1所示.

前測試題：某人花費在因特網上的時間分別為（單位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均數、中位數和眾數中的哪一個數最能描述他花費在因特網上的時間？說明理由.

后測試題：某人11天看電視的時間分別為：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（單位：分鐘），用平均數、中位數和眾數中的哪一個數最能描述他看電視的時間？說明理由.

從表1可以看出，教學之前，很多學生認為平均數就是數據的典型代表，因此選擇平均數的人數最多.教學之后，選擇中位數的人數有了大幅度上升，達到班級人數的一半以上.學生對中位數的學習感到困難，主要是他們還沒有形成數據呈現偏態分布的意識.為了解學生是否真正理解中位數，對學生前后測中選擇中位數的理由進行統計，發現前測中僅有6名學生給出正確理由，而在后測中卻有32名學生說理正確.究其原因，筆者推測，這可能與基于數學史設計的中位數的教學案例有關.

2.2 個別訪談

梁同學是一個學困生，在這個階段的學習中，他積極參與小組討論，主動回答問題，有了較大的進步.葉同學是一個優秀學生，近期表現更為突出，作業多次受到老師的表揚.為了解這兩位同學產生變化的原因，在該單元教學內容結束之后，研究者對他們進行了訪談.下面是研究者對梁同學的訪談片段：

研究者：老師上課的方式與以前有什么不同嗎？

梁同學：討論比以前多了，一個人在那里想，只有一種思路，4個人圍在那里討論，就可以有不同的想法.

研究者：在這些課中，你最喜歡哪一節課？

梁同學：眾數比較好學，我比較感興趣.這一節，既講了故事又學習了知識.

由于數學歷史故事吸引了梁同學，按照他說的“有興趣就學會了”，從而提高了學習的積極性.下面是對葉同學訪談的一個片段：

研究者：你認為這些歷史知識有用嗎？有什么用？

葉同學：有用.這些歷史知識能夠幫助我們更好地理解這些概念.

研究者：你最感興趣的是哪一個內容？

葉同學：中位數.

研究者：為什么最喜歡這個內容？

葉同學：老師用數形結合的形式幫助我們判斷中位數的位置，小于和大于它的數各占一半（意指判斷質點中位數位置的那個示意圖）.

從這個訪談中可以看出，利用數學史設計的教學案例加強了葉同學對統計概念的理解，特別是她能用數形結合的觀點去理解中位數概念，這是一個優秀學生難能可貴的思維品質.

綜上，基于數學史的中位數和眾數的教學案例，讓學生經歷了概念的自然發生過程，加強了對概念的理解，在教學實踐中取得了很好的效果.

參考文獻

[1] 吳駿，黃青云.基于數學史的平均數、中位數和眾數的理解[J].數學通報，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗

[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗

[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗endprint

設計說明 歷史故事情節可以直接用作教學案例，提高學生的學習興趣.在該案例的情境中，很多人去數城墻磚塊的層數，也就是對磚塊重復計數，出現頻率最高的值就是正確的，這時已經使用了眾數概念.

教學實踐 教師神情激昂地講故事，讓學生仿佛置身于戰爭之中.學生討論的氛圍非常熱烈，他們認為，士兵在數磚塊層數時，有些可能數錯了，但大多數可能得到一個真實的數目，特別是那些距離城墻不太遠，能看清城墻的人多次數的結果，然后再估計出一塊磚的厚度，從而計算出梯子的高度.隨著戰爭故事的結束和課堂氛圍的降溫，學生知道了，眾數就是一群人數一堵墻的磚塊，所得數據中出現次數最多的那個數.

1.4 聯系現實生活問題，拓展眾數應用

歷史現象 還有一個眾數使用的例子，即關于選舉的問題.在古希臘和意大利，選舉機構已經作為一個基本形式存在很長的歷史時期了.在原始的君主統治時期，往往通過一些喧鬧的聚會來記錄他們的觀點.隨著政治的發展，這些國家已經牢固建立了政府行事采納大多數人意愿的原則.根據憲法規定，幾乎每一個重要的法案都要通過正式的投票來決定.

教學案例4 如何表示八年級一個教室里學生鞋子的顏色？在投票表決中，當票數相對集中時，如何確定票數的代表性？眾數一定是一個數字嗎？

設計說明 當一組數據呈現明顯的集中趨勢時，宜采用眾數作為其平均值的代表，而且眾數還是測量非數字類型的統計量.本案例與人教版教材中鞋子銷售問題是不同的，教材中的眾數指鞋子的尺碼，這里是鞋子的顏色.把眾數的概念拓展到非數字類型，雖然超出了教材的要求，但由于非數字類型數據在現實生活中的普遍存在性，因此，適當拓展眾數的應用范圍是必要的，學生也并不難理解.實際上，美國Pearson Prentice Hall出版社2008年出版的初中數學教材就已經指出，sad，glad，glad，mad，sad的眾數是sad和glad.

教學實踐 學生熱烈討論鞋子顏色問題，有些同學彎腰去看，有些站起來看，還有些跑到其他組去看，整個教室熱鬧非凡，課堂氣氛非?；钴S.討論結束后，教師和學生發生了一段對話：

教師：如何描述全班同學鞋子的顏色？

學生：鞋子有各種各樣的顏色，例如有紅色、白色、黑色、彩色等.

教師：用哪一個數作為鞋子顏色的代表？

學生：為了反映大多數同學鞋子的顏色，應該采用眾數作為代表.

教師：今天我們選舉一個臨時的數學科代表，當選的依據是什么？

學生：選票.

教師：如何確定選舉產生的科代表？

學生：票數最多的當選.

教師：用哪一個數表示票數的多少？

學生：眾數.

教師：在描述鞋子顏色的問題中，眾數是什么？

學生：白色鞋子.

教師：在剛才選舉的例子中，眾數是什么？

學生：（思考之后得出）得票最多的同學.

教師：那么，現在我問大家，眾數一定是一個數字嗎？

學生：不一定.

教學反思 （1）以歷史故事作為背景引入眾數，能夠吸引學生注意力，讓學生參與到整個教學活動中.（2）設計學生最喜歡的電影或鞋子出現最多的顏色，是眾數的一個直觀應用，這種拓展是有必要的.

2 學生反饋

2.1 問卷測試

為考察學生對平均數、中位數和眾數的理解，在本單元教學前后對學生進行了測試，結果見表1所示.

前測試題：某人花費在因特網上的時間分別為（單位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均數、中位數和眾數中的哪一個數最能描述他花費在因特網上的時間？說明理由.

后測試題：某人11天看電視的時間分別為：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（單位：分鐘），用平均數、中位數和眾數中的哪一個數最能描述他看電視的時間？說明理由.

從表1可以看出，教學之前，很多學生認為平均數就是數據的典型代表，因此選擇平均數的人數最多.教學之后，選擇中位數的人數有了大幅度上升，達到班級人數的一半以上.學生對中位數的學習感到困難，主要是他們還沒有形成數據呈現偏態分布的意識.為了解學生是否真正理解中位數，對學生前后測中選擇中位數的理由進行統計，發現前測中僅有6名學生給出正確理由，而在后測中卻有32名學生說理正確.究其原因，筆者推測，這可能與基于數學史設計的中位數的教學案例有關.

2.2 個別訪談

梁同學是一個學困生，在這個階段的學習中，他積極參與小組討論，主動回答問題，有了較大的進步.葉同學是一個優秀學生，近期表現更為突出，作業多次受到老師的表揚.為了解這兩位同學產生變化的原因，在該單元教學內容結束之后，研究者對他們進行了訪談.下面是研究者對梁同學的訪談片段：

研究者：老師上課的方式與以前有什么不同嗎？

梁同學：討論比以前多了，一個人在那里想，只有一種思路，4個人圍在那里討論，就可以有不同的想法.

研究者：在這些課中，你最喜歡哪一節課？

梁同學：眾數比較好學，我比較感興趣.這一節，既講了故事又學習了知識.

由于數學歷史故事吸引了梁同學，按照他說的“有興趣就學會了”，從而提高了學習的積極性.下面是對葉同學訪談的一個片段：

研究者：你認為這些歷史知識有用嗎？有什么用？

葉同學：有用.這些歷史知識能夠幫助我們更好地理解這些概念.

研究者：你最感興趣的是哪一個內容？

葉同學：中位數.

研究者：為什么最喜歡這個內容？

葉同學：老師用數形結合的形式幫助我們判斷中位數的位置，小于和大于它的數各占一半（意指判斷質點中位數位置的那個示意圖）.

從這個訪談中可以看出，利用數學史設計的教學案例加強了葉同學對統計概念的理解，特別是她能用數形結合的觀點去理解中位數概念，這是一個優秀學生難能可貴的思維品質.

綜上，基于數學史的中位數和眾數的教學案例，讓學生經歷了概念的自然發生過程，加強了對概念的理解，在教學實踐中取得了很好的效果.

參考文獻

[1] 吳駿，黃青云.基于數學史的平均數、中位數和眾數的理解[J].數學通報，2013，52（11）：16-21.〖ZK）〗

[2] Bakker， A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools[D]. Ph.D. thesis， The Freudenthal Inistitute， Utrecht， 2004. 〖ZK）〗

[3] Bakker， A. & Koeno， P. E. An historical phenomenology of mean and median[J]. Educatioal Studies in Mathematics， 2006， 62（2）：149-168.〖ZK）〗endprint